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宁夏六盘山高级中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题


宁夏六盘山高级中学 2015—2016 学年第一学期高二期末测试卷 学科:理科数学 测试时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:王晓方

(A 卷) 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.命题:“若 a ? b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? 0且b ? 0 ”的逆否命题是(
2 2

>)
2 2

A.若 a ? b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2 2

B.若 a ? b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2

C.若 a ? 0, 且b ? 0(a, b ? R) ,则 a ? b ? 0
2

D.若 a ? 0, 或b ? 0(a, b ? R) ,则

a 2 ? b2 ? 0
2.抛物线 x 2 ? y 的准线方程是( A. x ? ) C. x ? ?

1 2

B. y ?

1 2

1 4

D. y ? ?

1 4

3.已知条件 p : x < 1 ,条件 q : A.充分不必要条件 C.充要条件 4.已知焦点在 x 轴上的椭圆

1 ? 1 ,则 p 是 q 成立的的( x



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y2 3 ? ? 1 ,其离心率为 ,则实数 m 的值是( m 1 2
C. 4 或



A. 4

B.

1 4

1 4

D.

1 2


5. 若 n ? ?1,?2,2? 是平面 ? 的一个法向量,则下列向量能作为平面 ? 法向量的是( A.(1,-2,0) B.(0,-2,2)C.(2,-4,4) D.(2,4,4) 6. 设抛物线 x ? 2 py 的焦点与双曲线
2

?

y2 ? x 2 ? 1 的上焦点重合,则 p 的值为( 3
2 2

).

A. 2

B.

4

C.

D. 8

1 x2 y 2 7.若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ,则该双 4 a b
曲线的渐近线方程是( )

A. x ? 2 y ? 0

B. 2 x ? y ? 0

C. x ? 3 y ? 0

D. 3x ? y ? 0 )

8.已知 a ? ?0,2t ? 1,1 ? t ? , b ? ?t , t ,2? ,则 b ? a 的最小值是( A. 5 B. 6 C. 2
2

?

?

?

?

D. 3

9.若点 A 的坐标为 (3, 2) , F 是抛物线 y ? 2 x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时,使

MF ? MA 取得最小值的 M 的坐标为(
A. 3, 6



?

?

B.

C. 1, 2

?

?

D. ?2,2?

10.菱形 ABCD 中,AB=2,∠BCD=60°,现将其沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD-C(如图),则异面直 ? ,1? 线 AB 与 CD 所成角的余弦值为(

?1 ? ?2 ?



A.

15 5

B.

10 5

C.

1 4

D.

3 4

11.如图,已知︱AB︱=10,图中的一系列圆是圆心分别为 A、B 的两组同心圆,每组同心圆的 半径分别是 1,2,3,?,n,?.利用这两组同心圆可以画出以 A、B 为焦点的椭圆或双曲线. 若其中经过点 M、N 的椭圆的离心率分别是 eM ,eN ,经过点 P,Q 的双曲线的离心率分别是

eP ,eQ ,则它们的大小关系是(

) A. eM<eN<eQ<eP B. eN<eM<eP<eQ

? Q

C. eP<eQ<eM<eN D. eQ<eN<eM<eP

12. 设双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 与直线 l :x+y=1 相交于两个不同点,则双曲线的离心 a2

率 e 的取值范围为 A.?

? 6 ? , 2?∪( 2,+∞) 2 ? ?

C.( 2,+∞) (B 卷)

? 3 ? , 2?∪( 2,+∞) 2 ? ? ? 3 ? D.? ,+∞? ?2 ?
B.?

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知命题 p : ?x ? [1, ? ?) , ln x ? 0 ,那么命题的否定
?

p为

.

14.求方程为

x2 ? y 2 ? 1的双曲线的顶点坐标____________. 4
.

15. 已知 A?4,1,3? , B?2,?5,1? , C ?3,7, ? ? , AB ? AC ,则 ? 等于 16.下列有关命题的说法正确的是 ①|x|≠3? x≠3 或 x≠-3; .

②命题“a、b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是“a+b 不是偶数,则 a、b 都不是偶 数”; ③“|x-1|<2”是“x<3”的充分不必要条件 ④若一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定是真. 三、解答题。 (本题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题 10 分) (1)已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为 6,离心率为 3,求双曲线的标准 方程方程; (2)已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,且焦点到准线的距离为 1,求抛物线的标准 方程;

C1 A1 M B1

18.(本小题 12 分) 如图, 直三棱柱 ABC-A1B1C1 底面△ABC 中, CA=CB=1, ∠BCA=90°,棱 AA1=2,M 是 A1B1 的中点. (1)求 cos

C A B

BA1 , CB1 的值;

(2)求证:A1B⊥C1M.

19.(本小题 12 分) 已知 p : 直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与抛物线 y ? ax(a ? 0) 没有交点; q : 方程
2

x2 y2 ? ? 1 表示 4 ? a a ?1

焦点在 y 轴上的椭圆;若 p, q 都为假命题,试求实数 a 的取值范围.

?

?

20.(本小题 12 分) 如图 3, 在正四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? AB ? 2 , 点 M , N 分别在线段 PA 和 BD 上, BN ? (1)若 PM ?

1 BD . 3

1 PA ,求证: MN ? AD ; 3

(2)若二面角 M ? BD ? A 的大小为

? ,求线段 MN 的长度. 4

21.(本小题 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 3 倍,其上一点到右焦点的 最短距离为 3 ? 2 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l : y ? kx ? 1 交椭圆 C 于 A, B 两点,当 AB ? 2 时求直线 l 的方程.

22.(本小题 12 分) 如图 1,平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称, ?A ? 60? , ?C ? 90? , CD ? 2 ,把△ABD 沿 BD 折起 (如图 2) ,使二面角 A ? BD ? C 为直二面角.如图 2, (Ⅰ)求 AD 与平面 ABC 所成的角的余弦值; (Ⅱ)求二面角 B ? AC ? D 的大小的正弦值.

高二理科期末参考答案 1.D 2.D 3.B 4.A 5.C 6.B 7.C 8.C 9.D 10.C 11.A 12.A

?c ? 5 , 11.【解析】由题意可知:所有的双曲线的焦距一定为 AB ? 10 ,即 2c ? 10,

?a ? 由椭圆的定义:对过 M 点的椭圆: PA ? PB ? 2a ? 3 ? 10 ? 13,

13 5 10 ,eM ? = ; 13 13 2 2

? a ? 6,eN ? 对过 N 点的椭圆: PA ? PB ? 2a ? 5 ? 7 ? 12,
由双曲线的定义:

5 ; 6

PA ? PB ||? 2a ? 7 ? 3 ? 4, ? a ? 2,eP ? 对过 P 点的双曲线 :
对过 Q 点的双曲线: PA ? PB ||? 2a ? 3 ? 8 ? 5, ?a ?

5 ; 2

5 5 ,eQ ? ? 2. 5 2 2

?eM<eN<eQ<eP
x ? ? 2-y2=1, 2 2 2 2 12.【解析】 依题由?a 有两个不同的解,消去 y 整理得(1-a )x +2a x-2a ? ?x+y=1
?1-a ≠0, ? =0,? 4 又 a>0,解得 0<a< 2且 a≠1, 2 2 ?4a +8a (1-a )>0, ?
2 2

又 e= +∞). 答案 A

a2+1 = a

1 6 ? 6 ? 1+ 2,∴e> 且 e≠ 2,即离心率 e 的取值范围为? , 2?∪( 2, a 2 ?2 ?

考点:向量数量积的含义及几何意义,椭圆的标准方程及图象.

二、填空题

, ? ?),lnx ? 0. 13. ?p:?x ?[1
14.(±2,0) 15. -14 16. ③④ 三.解答题

17.



1



x2 ?

y2 x2 ? 1或y 2 ? ?1 8 8

???????5





2



y 2 ? 2 x或y 2 ? ?2 x ???????5 分

18. 【解析】以 C 为原点, CA,CB,CC1 分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系.

(0, 1, 0), (1)依题意得出 B A (, , 2),B (0, 1 , 0),( C 0, 0, 0),B ( , 1 , 2) 1 10 1 0

? BA1 ? ( 1, ? 1, 2), CB1 ? (0, 1, 2), BA1 ? CB1 ? 3, BA1 ? 6, CB1 ? 5
∴ cos﹤ BA CB1 ﹥= 1,

BA1 ? CB1 BA1 ? CB1

?

1 30 ???????6 分 10
?1 1 ? ?2 2 ? ?1 1 ? ?2 2 ?

(2) 证明:依题意将 C ( 0, 2),M ? , , 2 ?, A1 B1 ? ( ? 1, 1, ? 2), C1 M ? ? , , 0 ?, 1 0,

1 1 ? A1 B ? C1 M ? ? ? ? 0 ? 0, ? A1 B ? C1 M ???????12 分 2 2 ? A1 B ? C1 M
? ? 19. ( ,3) 试题解析:因为若 p, q 都为假命题,所以 p , q 都为真命题

3 2

?x ? 2 y ? 3 ? 0 2 消去 x 得 y ? 2ay ? 3a ? 0 p: ? 2 y ? ax ?
直线与抛物线没有交点, ? ? 4a ? 12a ? 0 ,解得 0 ? a ? 3 2

? 4?a ? 0 x2 y2 ? q : 方程 ? ? 1 表示交点在 y 轴上的椭圆,则 ? a ? 1 ? 0 4 ? a a ?1 ?4 ? a ? a ? 1 ?
解得

3 ?a?4 2

由上可知 a 的取值范围是 ( ,3)

3 2

???????12 分 20.

【解析】(1)见解析;(2) MN ?

22 6

解析:连接 AC , BD 交于点 O ,以 OA 为 x 轴正方向,以 OB 为 y 轴正方向, OP 为 z 轴建

1 ,0,0) , B(0,1, 0) , D(0, ?1, 0) , P(0, 0,1) . 立空间直角坐标系.因为 PA ? AB ? 2 ,则 A(
( 1 ) 由 BN ?

? ? ? ?? ? ? ?? 1 1 1 1 2 BD , 得 N ( 0 , , , 0 )由 P M ? PA , 得 M ( , 0, ) , 所 以 3 3 3 3 3 ???? ? ???? ? ???? ???? 1 1 2 MN ? (? , ? , ) , AD ? (?1, ?1,0) . 因 为 M ?N ?A 0 D . 所 以 3 3 3

MN ? AD .

???????6 分

( 2 )因为 M 在 PA 上,可设 PM ? ? PA ,得 M (? , 0,1? ? ) .所以 BM ? (? , ?1,1? ? ) ,

???? ?

??? ?

???? ?

??? ? ? BD ? (0, ?2,0) .设平面 MBD 的法向量 n ? ( x, y, z) , ? ??? ? ? ?n ? BD ? 0 ??2 y ? 0 由 ? ? ???? 得? 其中一组解为 x ? ? ? 1 , y ? 0 , z ? ? ,所以可取 ? ? x ? y ? (1 ? ? ) z ? 0 n ? BM ? 0 ? ? ? ? ??? ? n ? (? ?1,0, ?) .因为平面 ABD 的法向量为 OP ? (0,0,1) ,
所以 ,解得 ? ? ? ?? , 即 1 , 2 ? ? ? ? n? OP ? c o s ? ? ? ? ?? 2 2 (? ? 1) 2 ? ? 2 4 n OP ???????12 分 从而

1 1 , M ( , 0, ) 2 2

,所以 1 22 . N (0, , 0) MN ? 3 6 21.(1) x 2

3

? y2 ? 1

; (2)直线 l : y ? kx ? 1 代入 x 2

3

? y2 ? 1

( 1 ) 由 题 可 知 : a ? c ? 3 ? 2 , a ? 3b

?a ? 3 , b ? 1 所 以 椭 圆 方 程 为

x2 ? y 2 ? 1 ???????6 分 3

? y ? kx ? 1 ? ? (3k 2 ? 1) x 2 ? 6kx ? 0 (2)由 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?3
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

? 6k , x1 x2 ? 0 3k 2 ? 1

? AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ? 6k 2 1 3 ) ? 4 ? k2 ? ? k ? ? 2 3k ? 1 3 3

? 6k ?2 3k 2 ? 1

? (1 ? k 2 )(

所以直线 l 的方程为: y ? ?

3 x ? 1 ???????12 分 3

22. 解析:如图 2 所示,以 BD 的中点 O 为原点,OC 所在的直线为 x 轴,OD 所在的直线为 y 轴, OA 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系,则

O?0,0,0?

, D 0, 2 ,0

?

?

B 0,? 2 ,0

?

?

C 2 ,0,0

?

?

A 0,0, 6

?

?

(Ⅰ)设面 ABC 的法向量为 n ? ?x, y, z ?
? ?n ? AB ? 0 ? ? ?n ? BC ? 0

取 z ?1有n ?

? 3,? 3,1?
21 7

AD ? 0, 2 ,? 6 ,

?

?

cos AD, n ? ?

? AD 与面 ABC 所成角的余弦值是

(Ⅱ)同理求得面 ACD 的法向量为 n1 ? 则二面角 B ? AC ? D 的正弦值为

? 3,

2 7 . 7

???????6 分

3 ,1 ,则 cos n, n1 ?

?

1 7

4 3 . 7

???12 分


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