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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 11.1 随机事件的概率


§ 11.1

随机事件的概率

1.概率和频率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的 nA 次数 nA 为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 fn(A)= 为事件 A 出现的频率. n (2)对于给定的随机事件 A,在相同条件下,随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率会在某 个常数附近摆动并趋于稳定,我们可以用这个常数来刻画随机事件 A 发生的可能性大小,并 把这个常数称为随机事件 A 的概率,记作 P(A). 2.事件的关系与运算 定义 包含关系 相等关系 并事件(和 事件) 交事件(积 事件) 互斥事件 对立事件 如果事件 A 发生, 则事件 B 一定发生, 这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) 若 B?A 且 A?B 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生, 称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生, 则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件) 若 A∩B 为不可能事件(A∩B=?), 则称事件 A 与事 件 B 互斥 若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件, 那么称 符号表示 B?A(或 A?B) A=B A∪B(或 A+B)

A∩B(或 AB)

A∩B=? P(A)+P(B)=1

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事件 A 与事件 B 互为对立事件 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率 P(E)=1. (3)不可能事件的概率 P(F)=0. (4)概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B). (5)对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 P(A)=1-P(B). [知识拓展] 互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立 事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是 互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生频率与概率是相同的.( × (2)随机事件和随机试验是一回事.( × ) )

(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( √ ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( × ) (5)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.( √ (6)“方程 x2+2x+8=0 有两个实根”是不可能事件.( √ ) )

1 1.总数为 10 万张的彩票,中奖率是 ,下列说法中正确的是( 1 000 A.买 1 张一定不中奖 B.买 1 000 张一定有一张中奖 C.买 2 000 张一定中奖 D.买 2 000 张不一定中奖 答案 D

)

解析 由题意知,彩票中奖属于随机事件,故买 1 张也可能中奖,买 2 000 张也可能不中奖. 2.将一枚硬币向上抛掷 10 次,其中“正面向上恰有 5 次”是( A.必然事件 B.随机事件 )

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C.不可能事件 答案 B

D.无法确定

解析 抛掷 10 次硬币正面向上的次数可能为 0~10,都有可能发生,正面向上 5 次是随机事 件. 3.袋中装有 3 个白球,4 个黑球,从中任取 3 个球,则 ①恰有 1 个白球和全是白球 ; ②至少有 1 个白球和全是黑球; ③至少有 1 个白球和至少有 2 个白球; ④至少有 1 个白球和至少有 1 个黑球. 在上述事件中,是对立事件的为( A.① B.② C.③ D.④ 答案 B 解析 至少有 1 个白球和全是黑球不同时发生,而且两者定有一个发生. 故②中两事件互为对立事件. 4.给出下列三个命题,其中正确的命题有________个. ①有一大批产品,已知次品率为 10%,从中任取 100 件,必有 10 件是次品;②做 7 次抛硬币 3 的试验,结果 3 次出现正面,因此正面出现的概率是 ;③随机事件发生的频率就是这个随机 7 事件发生的概率. 答案 0 3 解析 ①错,不一定是 10 件次品;②错, 是频率而非概率;③错,频率不等于概率,这是 7 两个不同的概念. )

题型一 随机事件的关系 例 1 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记事件 A 为“只订甲报纸”,事件 B 为“至少 订一种报纸”,事件 C 为“至多订一种报纸”,事件 D 为“不订甲报纸”,事件 E 为“一种 报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件. (1)A 与 C;(2)B 与 E;(3)B 与 C;(4)C 与 E. 解 (1)由于事件 C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”,即事件 A 与事件 C 有可能 同时发生,故 A 与 C 不是互斥事件. (2)事件 B“至少订一种报纸”与事件 E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故 B 与 E 是互斥事件.由于事件 B 不发生可导致事件 E 一定发生,且事件 E 不发生会导致事件 B 一定

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发生,故 B 与 E 还是对立事件. (3)事件 B“至少订一种报纸”中有这些可能:“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、 乙两种报纸”,事件 C“至多订一种报纸”中有这些可能:“一种报纸也不订”、“只订甲报 纸”、“只订乙报纸”,由于这两个事件可能同时发生,故 B 与 C 不是互斥事件. (4)由(3)的分析,事件 E“一种报纸也不订”是事件 C 的一种可能,即事件 C 与事件 E 有可能 同时发生,故 C 与 E 不是互斥事件. 思维升华 对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外,其并事

件应为必然事件.这些也可类比集合进行理解,具体应用时,可把所有试验结果写出来,看 所求事件包含哪几个试验结果,从而判定所给事件的关系. 从 40 张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从 1~10 各 10 张)中,任取一张, 判断下列给出的每对事件,互斥事件为________,对立事件为________. ①“抽出红桃”与“抽出黑桃”; ②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; ③“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9”. 答案 ①② ② 解析 ①是互斥事件. 理由是: 从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张, “抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的, 所以是互斥事件. ②是互斥事件,且是对立事件. 理由是:从 40 张扑克牌中,任意抽取 1 张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可 能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件. ③不是互斥事件. 理由是:从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张,“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大 于 9”这两个事件可能同时发生,如抽得点数为 10.因此,二者不是互斥事件,当然也不可能 是对立事件. 题型二 随机事件的频率与概率 例 2 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球, 目前有关部门对某批产品进行 了抽样检测,检查结果如下表所示: 抽取球数 n 优等品数 m m 优等品频率 n (1)计算表中乒乓球优等品的频率; (2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点后三 50 45 100 92 200 194 500 470 1 000 954 2 000 1 902

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位) 解 (1) 依 据 公 式 f = m , 计 算 出 表 中 乒 乓 球 优 等 品 的 频 率 依 次 是 n

0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951. (2)由(1)知,抽取的球数 n 不同,计算得到的频率值不同,但随着抽取球数的增多,频率在常 数 0.950 的附近摆动,所以质量检查为优等品的概率约为 0.950. 思维升华 频率是个不确定的数,在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小,但无

法从根本上刻画事件发生的可能性大小.但从大量重复试验中发现,随着试验次数的增多, 事件发生的频率就会稳定于某一固定的值,该值就是概率. 某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量 Y(单位:万千瓦时)与该河上 游在六月份的降雨量 X(单位:毫米)有关.据统计,当 X=70 时,Y=460;X 每增加 10,Y 增 加 5. 已 知 近 20 年 X 的 值 为

140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表: 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 频率 70 1 20 110 140 4 20 160 200 220 2 20

(2)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求 今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率. 解 (1)在所给数据中,降雨量为 110 毫米的有 3 个,为 160 毫米的有 7 个,为 200 毫米的有 3 个.故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 频率 X (2)由已知可得 Y= +425, 2 故 P(“发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时”) =P(Y<490 或 Y>530)=P(X<130 或 X>210) =P(X=70)+P(X=110)+P(X=220) 1 3 2 3 = + + = . 20 20 20 10 3 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率为 . 10 题型三 互斥事件、对立事件的概率 例 3 某商场有奖销售中,购满 100 元商品得 1 张奖券,多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单 位,设特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的
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70 1 20

110 3 20

140 4 20

160 7 20

200 3 20

220 2 20

事件分别为 A、B、C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1 张奖券的中奖概率; (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. 思维点拨 事件 A、B、C 两两互斥. 解 (1)P(A)= P(C)= 1 10 1 ,P(B)= = , 1 000 1 000 100

50 1 = . 1 000 20 1 1 1 , , . 1 000 100 20

故事件 A,B,C 的概率分别为

(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1 张奖券中奖”这个事件为 M,则 M= A∪B∪C. ∵A、B、C 两两互斥, ∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) = 1+10+50 61 = . 1 000 1 000 61 . 1 000

故 1 张奖券的中奖概率为

(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N, 则事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中一 等奖”为对立事件, 1 1 989 + ?= ∴P(N)=1-P(A∪B)=1-? 1 000 100 ? ? 1 000. 989 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 . 1 000 思维升华 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解法,将所求事件的概率

分解为一些彼此互斥的事件的概率的和;二是间接法,先求该事件的对立事件的概率,再由 P(A)=1-P( A )求解.当题目涉及“至多”“至少”型问题,多考虑间接法. 国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩,正在加紧备战,经过近期训 练,某队员射击一次命中 7~10 环的概率如下表所示: 命中环数 概率 求该射击队员射击一次: (1)射中 9 环或 10 环的概率; (2)命中不足 8 环的概率. 解 记事件“射击一次,命中 k 环”为 Ak(k∈N,k≤10),则事件 Ak 彼此互斥. 10 环 0.32 9环 0.28 8环 0.18 7环 0.12

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(1)记“射击一次,射中 9 环或 10 环”为事件 A,那么当 A9,A10 之一发生时,事件 A 发生, 由互斥事件的加法公式得 P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60. (2)设“射击一次,至少命中 8 环”的事件为 B,则 B 表示事件“射击一次,命中不足 8 环”. 又 B=A8∪A9∪A10,由互斥事件概率的加法公式得 P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10) =0.18+0.28+0.32=0.78. 故 P( B )=1-P(B)=1-0.78=0.22. 因此,射击一次,命中不足 8 环的概率为 0.22.

用正难则反思想求互斥事件的概率 典例: (12 分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息, 安排一名员工随机收集了在该 超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/人) 1至4件 x 1 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 y 2.5 17 件及以上 10 3

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 ...2 分钟的概率.(将频率视为概率) 思维点拨 若某一事件包含的基本事件多,而它的对立事件包含的基本事件少,则可用 “正 难则反”思想求解. 规范解答 解 (1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45, 所以 x=15,y=20.[2 分] 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结算时 间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样 本平均数估计,其估计值为 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 100 =1.9(分钟).[6 分] (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”,A1,A2 分别表示事件“该顾 客一次购物的结算时间为 2.5 分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟”,将频率视为 20 1 10 1 概率得 P(A1)= = ,P(A2)= = .[9 分] 100 5 100 10

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1 1 7 P(A)=1-P(A1)-P(A2)=1- - = .[11 分] 5 10 10 7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 .[12 分] 10 温馨提醒 (1)要准确理解题意,善于从图表信息中提炼数据关系,明确数字特征含义. (2)正确判定事件间的关系,善于将 A 转化为互斥事件的和或对立事件,切忌盲目代入概率加 法公式. 易错提示 (1)对统计表的信息不理解,错求 x,y 难以用样本平均数估计总体. (2)不能正确地把事件 A 转化为几个互斥事件的和或对立事件,导致计算错误.

方法与技巧 1. 对于给定的随机事件 A, 由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率 P(A), 因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A). 2.从集合角度理解互斥事件和对立事件 从集合的角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为 空集,事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合,是全集中由事件 A 所含的结果组成的集 合的补集. 失误与防范 1.正确认识互斥事件与对立事件的关系:对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互 斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件. 2.需准确理解题意,特别留心“至多??”“至少??”“不少于??”等语句的含义.

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( A.至多有一次中靶 C.只有一次中靶 答案 D 解析 射击两次的结果有:一次中靶;二次中靶;两次都不中靶, 故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶. 2.下列命题:①将一枚硬币抛两次,设事件 M:“两次出现正面”,事件 N:“只有一次出
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)

B.两次都中靶 D.两次都不中靶

现反面”,则事件 M 与 N 互为对立事件;②若事件 A 与 B 互为对立事件,则事件 A 与 B 为互 斥事件;③若事件 A 与 B 为互斥事件,则事件 A 与 B 互为对立事件;④若事件 A 与 B 互为对 立事件,则事件 A∪B 为必然事件,其中,真命题是( A.①②④ C.③④ 答案 B 解析 对①一枚硬币抛两次,共出现{正,正},{正,反},{反,正},{反,反}四种结果,则 事件 M 与 N 是互斥事件,但不是对立事件,故①错;对②对立事件首先是互斥事件,故②正 确;对③互斥事件不一定是对立事件,如①中两个事件,故③错;对④事件 A、B 为对立事件, 则这一次试验中 A、B 一定有一个要发生,故④正确.故 B 正确. 3.从 6 个男生 2 个女生中任选 3 人,则下列事件中必然事件是( A.3 个都是男生 C.3 个都是女生 答案 B 解析 因为只有 2 名女生,所以选出的 3 人中至少有一个男生. 4.在 5 张电话卡中,有 3 张移动卡和 2 张联通卡, 从中任取 2 张,若事件“2 张全是移动卡” 3 7 的概率是 ,那么概率是 的事件是( 10 10 A.至多有一张移动卡 C.都不是移动卡 答案 A 解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件, ) B.至少有 1 个男生 D.至少有 1 个女生 ) B.②④ D.①② )

B.恰有一张移动卡 D.至少有一张移动卡

它是“2 张全是移动卡”的对立事件,故选 A. 5.甲、乙二人玩数字游戏,先由甲任想一数字,记为 a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜 出的数字记为 b,且 a,b∈{1,2,3},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两个人 玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( 1 5 2 7 A. B. C. D. 3 9 3 9 答案 D 解析 甲想一数字有 3 种结果,乙猜一数字有 3 种结果,基本事件总数为 3×3=9. 设甲、乙“心有灵犀”为事件 A,则 A 的对立事件 B 为“|a-b|>1”,即|a-b|=2 包含 2 个基 本事件, 2 ∴P(B)= , 9 2 7 ∴P(A)=1- = . 9 9
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)

6.在 200 件产品中,有 192 件一级品,8 件二级品,则下列事件: ①在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是一级品; ②在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是二级品; ③在这 200 件产品中任意选出 9 件,不全是二级品. 其中________是必然事件;________是不可能事件;________是随机事件. 答案 ③ ② ① 7.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出 1 个球,摸出红球的概率为 0.42, 摸出白球的概率为 0.28,若红球有 21 个,则黑球有________个. 答案 15 解析 1-0.42-0.28=0.30,21÷ 0.42=50, 50×0.30=15. 8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投 篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1,2,3,4 表示命 中,5,6,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产 生了如下 20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________. 答案 0.25 5 解析 20 组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是 191,271,932,812,393,其频率为 = 20 0.25,以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 0.25. 9.黄种人群中各种血型的人所占的百分比如下表所示: 血型 该血型的人所占比/% A 28 B 29 AB 8 O 35

已知同种血型的人可以输血,O 型血可以输给任一种血型的人,任何人的血都可以输给 AB 型 血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是 B 型血,若小明因病需要输血,问: (1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少? (2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少? 解 (1)对任一人,其血型为 A,B,AB,O 型血的事件分别记为 A′,B′,C′,D′,它 们是互斥的. 由已知,有 P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35. 因为 B,O 型血可以输给 B 型血的人,故“可以输给 B 型血的人”为事件 B′∪D′. 根据互斥事件的加法公式, 有 P(B′∪D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.
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(2)方法一

由于 A,AB 型血不能输给 B 型血的人,故“不能输给 B 型血的人”为事件

A′∪C′,且 P(A′∪C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36. 方法二 因为事件“其血可以输给 B 型血的人”与事件“其血不能输给 B 型血的人”是对立 事件,故由对立事件的概率公式,有 P(A′∪C′)=P( B? ? D? )=1-P(B′∪D′)=1-0.64 =0.36. 10.对一批衬衣进行抽样检查,结果如表: 抽取件数 n 次品件数 m m 次品率 n (1)求次品出现的频率(次品率); (2)记“任取一件衬衣是次品”为事件 A,求 P(A); (3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换,销售 1 000 件衬衣,至少需进货多少件? 解 (1)次品率依次为 0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05. m (2)由(1)知,出现次品的频率 在 0.05 附近摆动, n 故 P(A)=0.05. (3)设进衬衣 x 件, 则 x(1-0.05)≥1 000, 解得 x≥1 053, 故至少需进货 1 053 件. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 11. 一个人掷骰子(均匀正方体形状的骰子)游戏, 在他连续掷 5 次都掷出奇数点朝上的情况下, 掷第 6 次奇数点朝上的概率是( 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 6 4 答案 A 解析 无论哪一次掷骰子都有 6 种情况. 其中有 3 种奇数点朝上,另外 3 种偶数点朝上. 1 故掷第 6 次奇数点朝上的概率是 ,故选 A. 2 1 1 8 12.设事件 A,B,已知 P(A)= ,P(B)= ,P(A∪B)= ,则 A,B 之间的关系一定为( 5 3 15 A.两个任意事件 C.非互斥事件 B.互斥事件 D.对立事件 ) ) 50 0 100 2 200 12 500 27 600 27 700 35 800 40

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答案 B 1 1 8 解析 因为 P(A)+P(B)= + = =P(A∪B), 5 3 15 所以 A,B 之间的关系一定为互斥事件. 13.一只袋子中装有 7 个红玻璃球,3 个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一 个,取得两个红球的概率为 7 1 ,取得两个绿球的概率为 ,则取得两个同颜色的球的概率为 15 15

________;至少取得一个红球的概率为________. 答案 解析 8 14 15 15 (1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件,取得两个同色球,只需两

7 1 8 互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色球的概率为 P= + = . 15 15 15 (2)由于事件 A“至少取得一个红球”与事件 B“取得两个绿球”是对立事件, 则至少取得一个 1 14 红球的概率为 P(A)=1-P(B)=1- = . 15 15 14.某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组,3 个小组分别有 39、 32、 33 个成员, 一些成员参加了不止一个小组, 具体情况如图所示. 现随机选取一个成员,他属于至少 2 个小组的概率是________,他属于 不超过 2 个小组的概率是________. 答案 3 13 5 15

解析 “至少 2 个小组”包含“2 个小组”和“3 个小组”两种情况,故他属于至少 2 个小组 的概率为 11+10+7+8 3 P= = . 6+7+8+8+10+10+11 5 “不超过 2 个小组”包含“1 个小组”和“2 个小组”,其对立事件是“3 个小组”. 故他属于不超过 2 个小组的概率是 8 13 P=1- = . 6+7+8+8+10+10+11 15 15.如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中 一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________. 答案 4 5

1 解析 记其中被污损的数字为 x,依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是 (80×2+90×3+ 5 1 1 8+9+2+1+0)=90,乙的五次综合测评的平均成绩是 (80×3+90×2+3+3+7+x+9)= 5 5

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1 (442+x),令 90> (442+x),解得 x<8,所以 x 的可能取值是 0~7,因此甲的平均成绩超过乙 5 8 4 的平均成绩的概率为 = . 10 5 16.如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进 行调查,调查结果如下:

所用时间(分钟) 选择 L1 的人数 选择 L2 的人数

10~20 6 0

20~30 12 4

30~40 18 16

40~50 12 16

50~60 12 4

(1)试估计 40 分钟内不能 赶到火车站的概率; .. (2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的频率; (3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时 间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. 解 (1)由已知共调查了 100 人,其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12+12+16+4=44(人), ∴用频率估计相应的概率为 0.44. (2)选择 L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人, 故由调查结果得频率为 所用时间(分钟) L1 的频率 L2 的频率 10~20 0.1 0 20~30 0.2 0.1 30~40 0.3 0.4 40~50 0.2 0.4 50~60 0.2 0.1

(3)设 A1,A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时,在 40 分钟内赶到火车站;B1,B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时,在 50 分钟内赶到火车站.由(2)知 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6, P(A2)=0.1+0.4=0.5, ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择 L1. 同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, ∵P(B1)<P(B2),∴乙应选择 L2.

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