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大一高数试题及答案


大一高数试题及答案
一、填空题(每小题1分,共10分) 1.函数 y ? arcsin 1 ? x ?
2

1 1? x2

的定义域为______________________。

2.函数

y ? x ? e2

上点( 0,1 )处的切线方程是___

___________。

3.设f(X)在 x0 可导,且 f' (x) ? = _____________。

A ,则 lim0 h?

f ( x0 ? 2h) ? f ( x 0 ? 3h) h

4.设曲线过(0,1),且其上任意点(x,y)的切线斜率为 2x,则该曲线的方程是 ____________。

x dx ? _____________。 5. ? 1? x4
6. lim
x ??

x sin

1 ? __________。 x

7.设 f(x,y)=sin(xy),则 fx(x,y)=____________。

9.微分方程

d3y 3 d2y 2 ? ( ) 的阶数为____________。 x dx 2 dx3
_______________。

∞ ∞ 10.设级数 ∑ an 发散,则级数 ∑ an n=1 n=1000

二、单项选择题。(1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分)

1.设函数

f ( x) ?

1 , g ( x) ? 1 ? x 则f[g(x)]= x
②1 ?

( )

①1 ?

1 x

1 x



1 1? x

④x

2.

x sin

1 ?1 是 x

( )

①无穷大量

②无穷小量 ( )

③有界变量

④无界变量

3.下列说法正确的是 ①若f( ②若f( ③若f( ④若f( X X X X )在 )在 )在 )在

X=Xo 连续, 则f( X=Xo 不可导,则f( X=Xo 不可微,则f( X=Xo 不连续,则f(

X X X X

)在 X=Xo 可导 )在 X=Xo 不连续 )在 X=Xo 极限不存在 )在 X=Xo 不可导

4.若在区间(a,b)内恒有

f ' ( x) ? 0, f " ( x) ? 0 ,则在(a,

b)内曲线弧y=f(x)为 ( ) ①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧

5.设

F ' ( x) ? G' ( x) ,则

( )

① F(X)+G(X) 为常数 ② F(X)-G(X) 为常数 ③ F(X)-G(X) =0 ④

d dx
1

? F ( x)dx ?
x dx ? (
② 1

d G ( x ) dx dx ?

6.

?

1

?1

)
③ 2 ④ 3

-1 ① 0

7.方程2x+3y=1在空间表示的图形是 ( ) ①平行于xoy面的平面 ②平行于oz轴的平面 ③过oz轴的平面 ④直线 8.设 ( ) ① tf

f ( x, y ) ? x 3 ? y 3 ? x 2 y t an

x y

,则 f(tx,ty)=

( x, y)

②t

2

f ( x, y)

③t

3

f ( x, y )



1 ( x, y ) t2

an+1 ∞ 9.设an≥0,且lim ───── =p,则级数 ∑an n→∞ a n=1 ①在p〉1时收敛,p〈1时发散 ②在p≥1时收敛,p〈1时发散 ③在p≤1时收敛,p〉1时发散 ④在p〈1时收敛,p〉1时发散 10.方程 y'+3xy=6x y 是 ①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程 ③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程 (二)每小题2分,共20分 11.下列函数中为偶函数的是
x 3 2

( )

( )

( )

①y=e ②y=x +1 3 ③y=x cosx ④y=ln│x│ 12.设f(x)在(a,b)可导,a〈x1〈x2〈b,则至少有一点 ζ ∈(a,b) 使( ) ①f(b)-f(a)=f'(ζ )(b-a) ②f(b)-f(a)=f'(ζ )(x2-x1) ③f(x2)-f(x1)=f'(ζ )(b-a) ④f(x2)-f(x1)=f'(ζ )(x2-x1) 13.设f(X)在 X=Xo 的左右导数存在且相等是f(X)在 X=Xo 可导的 ①充分必要的条件 ②必要非充分的条件 ③必要且充分的条件 ④既非必要又非充分的条件 d 2 14.设2f(x)cosx=──[f(x)] ,则f(0)=1, ( )

则f(x)=

( ) dx

①cosx sinx

②2-cosx

③1+sinx

④1-

15.过点(1,2)且切线斜率为 4x 的曲线方程为y= ①x 1 1 x 2 16.lim ─── ∫ 3tgt dt= 3 x→0 x 0
4

3

( ) ④x -
4

②x +c

4

③x +1

4





① 0

② 1

1 ③ ── 3

④ ∞

xy 17.lim xysin ───── = 2 2 x→0 x +y y→0 ① 0 in1 ② 1





③ ∞

④ s

18.对微分方程 y"=f(y,y'),降阶的方法是 ① 设y'=p,则 y"=p' dp ② 设y'=p,则 y"= ─── dy dp ③ 设y'=p,则 y"=p─── dy 1 dp ④ 设y'=p,则 y"=── ─── p dy

( )

∞ ∞ n n 19.设幂级数 ∑ anx 在xo(xo≠0)收敛, 则 ∑ anx 在│x│〈│xo│ ( ) n=o n=o

①绝对收敛

②条件收敛

③发散

④收敛性与an 有关

sinx 20.设D域由y=x,y=x 所围成,则∫∫ ─────dσ = D x
2

( )

1 1 sinx ① ∫ dx ∫ ───── dy 0 x x __ 1 √y sinx ② ∫ dy ∫ ─────dx 0 y x __ 1 √x sinx ③ ∫ dx ∫ ─────dy 0 x x __ 1 √x sinx ④ ∫ dy ∫ ─────dx 0 x x 三、计算题(每小题5分,共45分)

1.设

y ?

x ?1 x ( x ? 3)



y’ 。

sin(9x -16) 2.求 lim ─────────── 。 x→4/3 3x-4 dx 3.计算 ∫ ─────── 。 x 2 (1+e ) t dy 4.设 x= ∫(cosu)arctgudu,y=∫(sinu)arctgu du,求 ─── 。 1

2

0 dx

t

5.求过点 A(2,1,-1),B(1,1,2)的直线方程。 ___ 6.设 u=e +√y +sinz,求 du
x



x asinθ 7.计算 ∫ ∫ rsinθ drdθ 。 0 0 y+1 2 8.求微分方程 dy=( ──── ) dx 通解 。 x+1 3 9.将 f(x)= ───────── 展成的幂级数 。 (1-x)(2+x) 四、应用和证明题(共15分) 1.(8分)设一质量为m的物体从高空自由落下,空气阻力正比于速度 ( 比例常数为k〉0 )求速度与时间的关系。 ___ 1 2.(7分)借助于函数的单调性证明:当x〉1时,2√x 〉3- ── 。 x 附:高数(一)参考答案和评分标准 一、填空题(每小题1分,共10分) 1.(-1,1) 2.2x-y+1=0 4.y=x +1 7.ycos(xy) π /2 π 2 8.∫ dθ ∫ f(r )rdr 0 0 9.三阶 10.发散
2

3.5A 6.1

5.

1 arctan x 2 ? c 2

二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的 ( )内,1~10每小题1分,11~20每小题2分,共30分) (一)每小题1分,共10分 1.③ 6.② 2.③ 7.② 3.④ 8.⑤ 4.④ 9.④ 5.② 10.③

(二)每小题2分,共20分 11.④ 16.② 12.④ 17.① 13.⑤ 18.③ 14.③ 19.① 15.③ 20.②

三、计算题(每小题5分,共45分) 1 1.解:lny=──[ln(x-1)-lnx-ln(x+3)] (2分) 2 1 1 1 1 1 ──y'=──(────-──-────) (2分) y 2 x-1 x x+3 __________ 1 / x-1 1 1 1 y'=── /──────(────-──-────) (1分) 2 √ x(x+3) x-1 x x+3 18xcos(9x -16) 2.解:原式=lim ──────────────── (3分) x→4/3 3 2 18(4/3)cos[9(4/3) -16] = ────────────────────── =8 (2分) 3 1+e -e 3.解:原式=∫───────dx (2分) x 2 (1+e ) x dx d(1+e ) =∫─────-∫─────── (1分) x x 2 1+e (1+e ) x x 1+e -e 1 =∫───────dx + ───── (1分)
x x 2

1+e 1 x =x-ln(1+e )+ ───── + c x 1+e

1+e

x

x

(1分)

4.解:因为dx=(cost)arctgtdt,dy=-(sint)arc tgtdt (3分) dy -(sint)arctgtdt 所以 ─── = ──────────────── = -tgt (2分) dx (cost)arctgtdt 5.解:所求直线的方向数为{1,0,-3} (3分) x-1 y-1 z-2 所求直线方程为 ────=────=──── (2分) 1 0 -3 __ __ x +√y + sinz 6.解:du=e d(x+√y +sinx) (3分) __ 一、 D C B C D A A D A C B B C B A D A A D A

二课程代码:00020 一、单项选择题(本大题共 20 小题,每小题 2 分,共 40 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的 括号内。错选、多选或未选均无分。

1 x 1.设函数 f ( ) ? ,则f (2x) ? ( x x ?1
A. C.

) B.

1 1 ? 2x

2 1? x

2(x ? 1) 2(x ? 1) D. 2x x 2.已知 f(x)=ax+b,且 f(-1)=2,f(1)=-2,则 f(x)=( ) A.x+3 B.x-3 C.2x D.-2x
3. lim(
x ??

x x ) ?( x ?1

) B.e-1 C. ? ) D.1

A.e 4.函数 y ?

x ?3 的连续区间是( ( x ? 2)( x ? 1)

A. (??,?2) ? (?1,??) B. (??,?1) ? (?1,??) C. (??,?2) ? (?2,?1) ? (?1,??) D. ?3,???
?(x ? 1) ln(x ? 1) 2  ,x ? ?1 5.设函数 f (x ) ? ? 在 x=-1 连续,则 a=( ?a       , x ? ?1



A.1 B.-1 6.设 y=lnsinx,则 dy=( A.-cotx dx C.-tanx dx 7.设 y=ax(a>0,a ? 1),则 y(n)

C.2 ) B.cotx dx D.tanx dx
x ?0 ?

D.0





A.0 B.1 C.lna D.(lna)n 8.设一产品的总成本是产量 x 的函数 C(x),则生产 x0 个单位时的总成本变化率(即边际成本) 是( ) A. C.

C( x ) x

B.

C(x) x

x ?x 0

dC( x ) dC(x) D. x ?x0 dx dx 9.函数 y=e-x-x 在区间(-1,1)内( ) A.单调减小 B.单调增加 C.不增不减 D.有增有减 10.如可微函数 f(x)在 x0 处取到极大值 f(x0),则( )
A. f ?( x 0 ) ? 0 C. f ?( x 0 ) ? 0 11. [f ( x ) ? xf ?( x )]dx ? ( A.f(x)+C C.xf(x)+C B. f ?( x 0 ) ? 0 D. f ?(x 0 ) 不一定存在 ) B. xf ( x )dx D. [ x ? f ( x )]dx

?

?

?

12.设 f(x)的一个原函数是 x2,则 xf ( x )dx ? ( A. C.
x3 ?C 3

?



B.x5+C D. )
x5 ?C 15

2 3 x ?C 3

13.

?e
?8

8

3

x

dx ? (

A.0 C.

B. 2 e
0 2 2

? ?

8

3

x

dx

?

?2

e x dx


D. 3

?2

x 2 e x dx

14.下列广义积分中,发散的是( 1 dx A. 0 x 1 dx C. 3 0 x

?

B. D.

?

1

dx x dx

0 1

?

?

0

1? x

15.满足下述何条件,级数

?U
n ?1

?

n

一定收敛(



A.

? U 有界
i i ?1

n

B. lim U n ? 0
n ??
?

C. lim

U n ?1 ? r ?1 n ?? U n

D.

?| U
n ?1

n

| 收敛

16.幂级数 A. ?0,2? C. ?0,2?

? (x ? 1)
n ?1

?

n

的收敛区间是 (



B.(0,2) D.(-1,1)
? x2 y

17.设 z ? e
x2 y

,则

?z ?( ?y


x2 y

?

A. e

B.
x2

x2 y2

?

e

2x ? y C. ? e y

1 ? D. ? e y y
) B.(-1,2) D.(1,-2)

x2

18.函数 z=(x+1)2+(y-2)2 的驻点是( A.(1,2) C.(-1,-2) 19.
? 0? x ? 2 ? 0? y ? 2

?? cos x cos ydxdy ? (
B.1



A.0 20.微分方程

C.-1

D.2 )

dy ? 1 ? sin x 满足初始条件 y(0)=2 的特解是( dx

A.y=x+cosx+1 B.y=x+cosx+2 C.y=x-cosx+2 D.y=x-cosx+3 二、简单计算题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 21.求极限
1
n ??

l i m n ? 3 ? n ) n ? 1. (

22.设 y ? x x , 求y ?(1). 23.求不定积分

? 1 ? sin x cos x dx.
?
n ?1 ?

cos 2x

24.求函数 z=ln(1+x2+y2)当 x=1,y=2 时的全微分. 25.用级数的敛散定义判定级数
1 n ? n ?1 的敛散性.

三、计算题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) y ?z ?z ?y . 26.设 z ? xy ? xF (u ), u ? , F(u )为可导函数 , 求x x ?x ?y 27.计算定积分 I ? 28.计算二重积分 I ?

?

2

x ln x dx.
2

1

?? cos(x
D

? y 2 )dxdy ,其中 D 是由 x 轴和 y ?

? ? x 2 所围成的闭区域. 2

dy ? y ? e x ? 0 满足初始条件 y(1)=e 的特解. dx 四、应用题(本大题共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分)
29.求微分方程 x 30.已知某厂生产 x 件某产品的成本为 C=25000+200x+

1 2 x . 问 40

(1)要使平均成本最小,应生产多少件产品? (2)如产品以每件 500 元出售,要使利润最大,应生产多少件产品? 31.求由曲线 y ? x ,直线 x+y=6 和 10.设函数 y=ln x,则它的弹性函数

Ey =_____________. Ex

11.函数 f(x)=x2e-x 的单调增加区间为______________. 12.不定积分

? 2 x ? 3 =__________________.

dx

13.设 f(x)连续且

?

x

0

f (t )dt ? x 2 ? cos2 x ,则 f(x)=________________.

14.微分方程 xdy-ydx=2dy 的通解为____________________. 15.设 z=xexy,则

?2z =______________________. ?x ?y
?k ? e x ? 3x ? 1 x?0 在 x=0 处连续,试求常数 k. x?0

三、计算题(一) (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 16.设函数 f(x)= ?

17.求函数 f(x)=

ex +x arctan x 的导数. sin 2 x

18.求极限 lim
x ?0

x2 . xe x ? sin x

19.计算定积分 20.求不定积分

?

?2 2 0

sin 2 xdx .
dx.

?1? x

1? x
2

四、计算题(二) (本大题共 3 小题,每小题 7 分,共 21 分) 3 21.求函数 f(x)=x -6x2+9x-4 在闭区间[0,2]上的最大值和最小值. 22.已知 f(3x+2)=2xe-3x,计算 23.计算二重积分

?

5

2

f ( x)dx .

?? x
D

2

ydxdy ,其中 D 是由直线 y=x,x=1 以及 x 轴所围的区域.

五、应用题(本大题 9 分) 24.已知矩形相邻两边的长度分别为 x,y, 其周长为 4.将矩形绕其一边旋转一周得一旋转体 (如 图).问当 x,y 各为多少时可使旋转体的体积最大?

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 三

-3/2 -e^-1 x- arctgx + C 3/2 y+2=0 t^2f(x,y) -1/(2sqrt(x)sqrt(y)) 2pi/3 1/2 (c_1x + c_2 ) e^(4x)



一、 D C B C D A A D 二 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 三

A C B B

C B A D

A A D A

-3/2 -e^-1 x- arctgx + C 3/2 y+2=0 t^2f(x,y) -1/(2sqrt(x)sqrt(y)) 2pi/3 1/2 (c_1x + c_2 ) e^(4x)




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