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第二章 基本初等函数(Ⅰ) 章末复习课 教案(人教A版必修1)


题型一 指数、对数的运算 1. 指数、对数的运算应遵循的原则 指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运 算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注 意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质并结合对 数恒等式,换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧. 2. 对于底数相同的对数式的化简,常用的方法: (1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数. (2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).
4 1

例1

(1)化简

a 3 ? 8a 3 b 4b ? 23 ab ? a
2 3 2 3

? (1 ? 23

b 3 ) ? ab; a

(2)计算:2log32-log3
1 3

32 +log38-25log53. 9
1 1 1

a (a ? 8b) 3 ? a ? a 3 b 3 ? a3 b . 解 (1)原式= a ? 8b

(2)原式=log34-log3

32 +log38-52log53 9

9 ? =log3? ?4×32×8?-5log59 =log39-9=2-9=-7. 4 3 跟踪训练 1 计算 80.25× 2+( 2× 3)6+log32×log2(log327)的值为________. 答案 111 解析 ∵log32×log2(log327)=log32×log23 = lg 2 lg 3 × =1, lg 3 lg 2

3 1 ∴原式=2 ×2 +22×33+1=21+4×27+1=111. 4 4 题型二 数的大小比较 数的大小比较常用方法: (1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型, 主要考查幂函数、 指数函 数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调 性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法. (2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数 函数或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较. (3)比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点,即把它们分为“小于 0”, “大于等于 0 小于等于 1”, “大于 1”三部分, 然后再在各部分内利用函数的性质比较 大小. 例 2 比较下列各组数的大小: 1?-1.5 (1)40.9,80.48,? ?2? ; (2)log20.4,log30.4,log40.4. 解 1?-1.5 1.5 (1)40.9=21.8,80.48=21.44,? ?2? =2 ,

∵y=2x 在(-∞,+∞)上是增函数, 1?-1.5 0.48 ∴40.9>? ?2? >8 . (2)∵对数函数 y=log0.4x 在(0,+∞)上是减函数, ∴log0.44<log0.43<log0.42<log0.41=0. 又幂函数 y=x
-1

在(-∞,0)上是减函数,

1 1 1 所以 < < , log0.42 log0.43 log0.44 即 log20.4<log30.4<log40.4.

跟踪训练 2 比较下列各组数的大小: (1)27,82;(2)log0.22,log0.049;(3)a1.2,a1.3;(4)0.213,0.233. 解 (1)∵82=(23)2=26, lg 9 lg 32 = lg 0.04 lg 0.22

由指数函数 y=2x 在 R 上单调递增知 26<27 即 82<27. (2)∵log0.049= =

2lg 3 lg 3 = =log0.23. 2lg 0.2 lg 0.2

又∵y=log0.2x 在(0,+∞)上单调递减, ∴log0.22>log0.23, 即 log0.22>log0.049. (3)因为函数 y=ax(a>0 且 a≠1),当底数 a 大于 1 时在 R 上是增函数;当底数 a 小于 1 时在 R 上是减函数, 而 1.2<1.3,故当 a>1 时, 有 a1.2<a1.3; 当 0<a<1 时,有 a1.2>a1.3. (4)∵y=x3 在 R 上是增函数, 且 0.21<0.23,∴0.213<0.233. 题型三 复合函数的单调性 1.一般地,对于复合函数 y=f(g(x)),如果 t=g(x)在(a,b)上是单调函数,并且 y=f(t) 在(g(a),g(b))或者(g(b),g(a))上是单调函数,那么 y=f(g(x))在(a,b)上也是单调函数. 2.对于函数 y=f(t),t=g(x). 若两个函数都是增函数或都是减函数,则其复合函数是增函数;如果两个函数中一增一 减,则其复合函数是减函数,即“同增异减”,但一定要注意考虑复合函数的定义域. 例 3 已知 a>0,且 a≠1,试讨论函数 f(x)= a 解 设 u=x2+6x+17=(x+3)2+8, 则当 x≤-3 时,其为减函数, 当 x>-3 时,其为增函数, 又当 a>1 时,y=au 是增函数, 当 0<a<1 时,y=au 是减函数, 所以当 a>1 时,原函数 f(x)= a 函数. 当 0<a<1 时,原函数 f(x)= a 数.
x 2 ?6 x?17 x 2 ?6 x?17 x 2 ?6 x?17

的单调性.

在(-∞,-3]上是减函数,在(-3,+∞)上是增

在(-∞,-3]上是增函数,在(-3,+∞)上是减函

跟踪训练 3 求下列函数的单调区间: (1)y=log0.2(9x-2×3x+2); (2)y=loga(a-ax). 解 (1)令 t=3x,

u=9x-2×3x+2=t2-2t+2=(t-1)2+1≥1>0. 又 y=log0.2u 在定义域内递减, ∴当 3x≥1(t≥1),即 x≥0 时,u=9x-2×3x+2 递增, ∴y=log0.2(9x-2×3x+2)递减. 同理,当 x≤0 时,y=log0.2(9x-2×3x+2)递增. 故函数 y=log0.2(9x-2×3x+2)的递增区间为(-∞,0],递减区间为[0,+∞). (2)①若 a>1,则 y=logat 递增,且 t=a-ax 递减,而 a-ax>0,即 ax<a,∴x<1, ∴y=loga(a-ax)在(-∞,1)上递减. ②若 0<a<1,则 y=logat 递减,且 t=a-ax 递增,而 a-ax>0,即 ax<a,∴x>1, ∴y=loga(a-ax)在(1,+∞)上递减. 综上所述,函数 y=loga(a-ax)在其定义域上递减. 题型四 幂、指数、对数函数的综合应用 指数函数与对数函数性质的对比: 指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数,它们的定义、图象、性质、运算既有区别又 有联系. (1)指数函数 y=ax(a>0,a≠1),对数函数 y=logax(a>0,a≠1,x>0)的图象和性质都与 a 的取值有密切的联系.a 变化时,函数的图象和性质也随之变化. (2)指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象恒过定点(0,1),对数函数 y=logax(a>0,a≠1,x>0) 的图象恒过定点(1,0). (3)指数函数 y=ax(a>0,a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,a≠1,x>0)具有相同的单调性. (4)指数函数 y=ax(a>0,a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,a≠1,x>0)互为反函数,两函数 图象关于直线 y=x 对称. 例 4 已知函数 f(x)=lg 解 因为 f(x)=lg 1+2x+a· 4x 在 x∈(-∞,1]上有意义,求实数 a 的取值范围. 3

1+2x+a· 4x 在(-∞,1]上有意义, 3

所以 1+2x+a· 4x>0 在(-∞,1]上恒成立.

?1?x+?1?x?在(-∞,1]上恒成立. 因为 4x>0,所以 a>-? ??4? ?2? ? ?1?x+?1?x?,x∈(-∞,1]. 令 g(x)=-? ??4? ?2? ?

1?x ?1?x 由 y=-? 1]上均为增函数, 可知 g(x)在(-∞, 1]上也是增函数, ?4? 与 y=-?2? 在(-∞, 1 1? 3 所以 g(x)max=g(1)=-? ?4+2?=-4.

?1?x ?1?x? 因为 a>-? ??4? +?2? ?在(-∞,1]上恒成立,
3 所以 a 应大于 g(x)的最大值,即 a>- . 4 3 ? 故所求 a 的取值范围为? ?-4,+∞?. 跟踪训练 4 已知函数 f(x)=lg(1+x)+lg(1-x). (1)判断函数的奇偶性; (2)若 f(x)=lg g(x),判断函数 g(x)在(0,1)上的单调性并用定义证明. 解
?1+x>0 ? (1)由? , ? ?1-x>0

得-1<x<1,∴x∈(-1,1), 又 f(-x)=lg(1-x)+lg(1+x)=f(x), ∴f(x)为偶函数. (2)g(x)在(0,1)上单调递减. 证明如下: ∵f(x)=lg(1-x2)=lg g(x), ∴g(x)=1-x2, 任取 0<x1<x2<1,
2 则 g(x1)-g(x2)=1-x2 1-(1-x2)

=(x1+x2)(x2-x1), ∵0<x1<x2<1, ∴x1+x2>0,x2-x1>0, ∴g(x1)-g(x2)>0, ∴g(x)在(0,1)上单调递减.

1.函数是高中数学极为重要的内容,函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程,纵观历 年高考试题, 对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题, 一直是常考不衰的 热点问题. 2.从考查角度看,指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主;对图象的考 查重在考查平移变换、 对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力; 对幂 函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查.


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