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指数与指数函数






指数与指数函数
1.了解指数函数模型的实际背景 2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 1. 理解指数函数的概念, 并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点. 2.知道指数函数是一类重要的函数模型. 指数函数图像及性质
教学内容

教学目标

>重点、难点

考点及考试要求

一、自主梳理 1.指数幂的概念 (1)根式 如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且 n∈N*),那么这个数叫做 a 的 n 次实数方根.也就是,若

n xn = a ,则 x 叫做 ______________ ,其中 n>1 且 n∈N*. 式子 a 叫做 ________ ,这里 n 叫做 ____________,a 叫做____________.
(2)根式的性质 ①当 n 为奇数时,正数的 n 次实数方根是一个正数,负数的 n 次实数方根是一个负数,这时, a 的 n 次实数方根用符号________表示. ②当 n 为偶数时,正数的 n 次实数方根有两个,它们互为相反数,这时,正数 a 的正的 n 次实 数方根用符号______表示,负的 n 次实数方根用符号________表示.正负两个 n 次实数方根可以合 写成________(a>0). ③( a)n=____. ?a, a≥0, n ④当 n 为偶数时, an=|a|=? ?-a,a<0. ⑤当 n 为奇数时, an=____. ⑥负数没有偶次方根. ⑦零的任何次方根都是零. 2.有理指数幂 (1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂是
a =________(a>0,m,n∈N*,n>1). ②正数的负分数指数幂是 a =____________=____________(a>0,m,n∈N*,n>1). ③0 的正分数指数幂是____,0 的负分数指数幂无意义.
? m n m n

n

n

1

(2)有理指数幂的运算性质 ①asat=________(a>0,s,t∈Q). ②(as)t=_______(a>0,s,t∈Q). ③(ab)t=_______(a>0,b>0,t∈Q).

3.指数函数的图象与性质

a>1
图象 定义域 值域

0<a<1

性质

(1)过定点________ (2)当 x>0 时, (2)当 x>0 时,______;当 ________;当 x<0 时, x<0 时,________ ______ (3)在(-∞,+∞) (3)在(-∞,+∞) 上是______ 上是______

答案 自主梳理 1.(1)a 的 n 次实数方根 根式 根指数 被开方数 n (2)① a (2)①as
+t

n ② a

n - a

n ± a

③a ⑤a

n 2.(1)① am



1
m n

1 n
m

③0

②ast ③atbt 3.R

a a (0, +∞) (1)(0,1) (2)y>1 0<y<1 (2)0<y<1 y>1 (3)增函数 (3)减函数

二、自我检测 1.下列结论中正确的有________(填序号).
3

①当 a<0 时, ( a 2 ) 2 =a3;② an=|a|; ③函数 y= ( x ? 2) -(3x-7) 的定义域是(2,+∞); ④若 100a=5,10b=2,则 2a+b=1.
0

n

1 2

1.④ n 解析 只有④正确.①中 a<0 时, ( a ) >0,a <0,所以 ( a ) ≠a3;②中,n 为奇数时且 a<0 时, an=a; 7 7 ③中定义域为[2, )∪( ,+∞). 3 3
3

3 2 2

3 2 2

2.函数 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,则 a=________.
2

2.2 解析 ∵y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,∴a2-3a+3=1,解得 a=2 或 a=1(舍去).

3.如图所示的曲线 C1,C2,C3,C4 分别是函数 y=ax,y=bx,y=cx,y=dx 的图象,则 a,b,c, d 的大小关系为____________.

3.b<a<d<c 解析 y 轴左、右的图象对应函数的底数按逆时针方向增大.所以 c>d>1,1>a>b>0.

4.若 a>1,b>0,且 ab+a-b=2 2,则 ab-a-b 的值为________.
4.2 - - 解析 (ab-a b)2=(ab+a b)2-4=4, -b - b ∵a>1,b>0,∴a >1,0<a <1,∴ab-a b=2.

5.函数 f(x)=ax-b 的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是________(填序号).

①a>1,b<0; ②a>1,b>0; ③0<a<1,b>0; ④0<a<1,b<0.
5.④ - - 解析 由 f(x)=ax b 的图象可以观察出,函数 f(x)=ax b 在定义域上单调递减,所以 0<a<1; x-b x 函数 f(x)=a 的图象是在 f(x)=a 的基础上向左平移得到的,所以 b<0.

三、例题精讲

3

探究点一 有理指数幂的化简与求值 例 1 已知 a,b 是方程 9x2-82x+9=0 的两根,且 a<b, a-1+b-1 求:(1) ; ?ab?-1 (2) a 2 a?3 ?
3 7 3

a?8 ?3 a15 .

例 1 解题导引 1.指数幂的化简原则 (1)化负数指数为正指数; (2)化根式为分数指数幂; (3)化小数为分数. 2.指数幂的化简结果要求为 有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂,也不要既有分母又含有负指幂,即尽量化成与 题目表示形式一致且统一的最简结果. 1 1 解 ∵a,b 是方程的两根,而由 9x2-82x+9=0 解得 x1= ,x2=9,且 a<b,故 a= ,b=9, 9 9 (1)化去负指数后求解. 1 1 a+b + -1 -1 a b ab a +b = = =a+b. - 1 1 ?ab? 1 ab ab 1 82 82 ∵a= ,b=9,∴a+b= ,即原式= . 9 9 9 7 1 3 1 8 1 15 1 7 1 4 5 1 (2)原式=a × · a- × ÷ (a(- )× · a × )=a - -(- + )=a- . 2 3 2 3 3 2 3 2 6 2 3 2 2 1 ∵a= , 9 ∴原式=3.

变式迁移 1
a b

a 3b 2 3 ab 2 化简 1 1 (a、b>0)的结果为____________. b 4 4 43 (a b ) a
3 2 1 6 1 3 1 3

变式迁移 1

解析 原式=

a b?a b
1 ? 3

=a

3 1 1 1 1 ? ?1? 1? ? 2? 2 6 3 3 3

b

ab 2 ?a b

a - =ab 1= . b

探究点二

指数函数的图象及其应用

4

1 例 2 已知函数 y=( )|x+1|. 3 (1)作出函数的图象(简图); (2)由图象指出其单调区间; (3)由图象指出当 x 取什么值时有最值,并求出最值.
例 2 解题导引 在作函数图象时,首先要研究函数与某一基本函数的关系,然后通过平移、对称或伸缩来 完成. 解 (1)方法一 由函数解析式可得 ? 1 x+1 1 |x+1| ??3? , x≥-1, y=( ) =? 3 ? ?3x+1, x<-1. 其图象由两部分组成: 1 一部分是:y=( )x(x≥0) 3 1 x+1 y=( ) (x≥-1); 3 另一部分是:y=3x(x<0) 如图所示. y=3x 1(x<-1).


1 1 方法二 ①由 y=( )|x|可知函数是偶函数, 其图象关于 y 轴对称, 故先作出 y=( )x 的图象, 保留 x≥0 的部分, 3 3 1 1 当 x<0 时,其图象是将 y=( )x(x≥0)图象关于 y 轴对折,从而得出 y=( )|x|的图象. 3 3 1 |x| 1 |x+1| ②将 y=( ) 向左移动 1 个单位,即可得 y=( ) 的图象,如图所示. 3 3 (2)由图象知函数的单调增区间为(-∞,-1),单调减区间为(-1,+∞). (3)由图象知当 x=-1 时,有最大值 1,无最小值.

变式迁移 2

若曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围为________.

变式迁移 2 [-1,1] 解析 分别作出两个函数的图象,通过图象的交点个数来判断参数的取值范围.曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 的图象如图所示,由图象可得:如果|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 应满足的条件是 b∈[-1,1].

5

探究点三 指数函数的性质及应用 例 3 如果函数 y=a2x+2ax-1(a>0 且 a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.
例 3 解题导引 1.指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图象与性质与 a 的取值有关, 要特别注意区分 a>1 与 0<a<1 来研究. 2.指数函数与二次函数复合而成的初等函数的性质可通过换元的方法转化为指数函数或二次函数的性质. 解 设 t=ax,则 y=f(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2. - (1)当 a>1 时,t∈[a 1,a], 2 ∴ymax=a +2a-1=14,解得 a=3,满足 a>1; - (2)当 0<a<1 时,t∈[a,a 1], -1 2 -1 ∴ymax=(a ) +2a -1=14, 1 1 解得 a= ,满足 0<a<1.故所求 a 的值为 3 或 . 3 3

变式迁移 3

已知函数 f(x)=(

1 1 + )x3. 2x-1 2

(1)求 f(x)的定义域; (2)证明:f(-x)=f(x); (3)证明:f(x)>0.
变式迁移 3 (1)解 由 2x-1≠0?x≠0, 所以定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 2x+1 3 1 1 3 (2)证明 f(x)=( x + )x 可化为 f(x)= x · x, 2 -1 2 2?2 -1? -x 2 +1 则 f(-x)= -x (-x)3 2?2 -1? 2x+1 3 = x x =f(x), 2?2 -1? 所以 f(-x)=f(x). 1 1 (3)证明 当 x>0 时,2x>1,x3>0,所以( x + )x3>0. 2 -1 2 因为 f(-x)=f(x),所以当 x<0 时,f(x)=f(-x)>0. 综上所述,f(x)>0.

探究点四

分类讨论思想

例 4 已知 f(x)=

a a -1
2

(ax-a-x)(a>0 且 a≠1).

(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈[-1,1]时 f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围.
【答题模板】 解 (1)函数定义域为 R,关于原点对称.

6

a - 又因为 f(-x)= 2 (a x-ax)=-f(x), a -1 所以 f(x)为奇函数.[3 分] (2)当 a>1 时,a2-1>0, - y=ax 为增函数,y=a x 为减函数, - 从而 y=ax-a x 为增函数, 所以 f(x)为增函数.[6 分] 当 0<a<1 时,a2-1<0, - y=ax 为减函数,y=a x 为增函数, -x x 从而 y=a -a 为减函数, 所以 f(x)为增函数.[9 分] 故当 a>0,且 a≠1 时,f(x)在定义域内单调递增.[10 分] (3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数, ∴在区间[-1,1]上为增函数, ∴f(-1)≤f(x)≤f(1), 2 a a 1-a - ∴f(x)min=f(-1)= 2 (a 1-a)= 2 · =-1. a -1 a -1 a ∴要使 f(x)≥b 在[-1,1]上恒成立,则只需 b≤-1, 故 b 的取值范围是(-∞,-1].[14 分]

四、课堂小结 1.一般地,进行指数幂的运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数 进行运 算,便于用运算性质进行乘、除、乘方、开方运算,可以达到化繁为简的目的. 2.比较两个指数幂大小时,尽量化同底数或同指数,当底数相同,指数不同时,构造同一指 数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小. 3.指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,则 0<c<d<1<a<b.在 y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在 y 轴左侧,图象从下到上相应的 底数由大变小;即无论在 y 轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大. 五、回家作业 3 ?1 3 ?1 3 ?3 1.已知 a= ( ) 3 ,b= ( ) 4 ,c= ( ) 4 ,则 a、b、c 的大小关系为______________. 4 4 2
1.c<b<a 3 1 1 解析 ∵y=( )x 单调递减,且- <- <0, 4 3 4 3 1 3 1 30 ∴( )- >( )- >( ) , 4 3 4 4 4 即 a>b>1,又 0<c<1,∴c<b<a.

2.函数 y=|2x-1|在区间(k-1,k+1)内不单调,则 k 的取值范围为________.
2.(-1,1) 解析 由于函数 y=|2x-1|在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,而函数在区间(k-1,k+1)内不 单调,所以有 k-1<0<k+1,解得-1<k<1.
7

1 3.已知集合 M={-1,1},N={x∈Z| <2x+1<4},则 M∩N=________. 2
3.{-1}

?a?a≤b?, 4.定义运算 a?b=? ?b?a>b?,

则函数 f(x)=1?2x 的值域为________.

4.(0,1] 解析 当 x<0 时,0<2x<1,此时 f(x)=2x∈(0,1); 当 x≥0 时,2x≥1,此时 f(x)=1. ?2x ?x<0?, x ? 所以 f(x)=1?2 =? 其值域为(0,1]. ?1 ?x≥0?. ?

5.若关于 x 的方程|ax-1|=2a(a>0,a≠1)有两个不等实根,则 a 的取值范围为________.
1 5.(0, ) 2 解析 方程|ax-1|=2a 有两个不等实根可转化为函数 y=|ax-1|与函数 y=2a 有两个不同交点,作出函数 y= 1 |ax-1|的图象,从图象观察可知只有 0<2a<1 时,符合题意,即 0<a< . 2

?-x+3a,x<0, 6. 函数 f(x)=? x x≥0 ?a ,

(a>0 且 a≠1)是 R 上的减函数, 则 a 的取值范围为________.

1 6.[ ,1) 3 解析 据单调性定义,f(x)为减函数应满足: ? ?0<a<1, 1 ? 即 ≤a<1. 0 3 ?3a≥a , ?

7.设函数 f(x)=x(ex+ae-x),x∈R 是偶函数,则实数 a=________.
7.-1 - 解析 设 g(x)=ex+ae x,则 f(x)=xg(x)是偶函数. - ∴g(x)=ex+ae x 是奇函数. - ∴g(0)=e0+ae 0=1+a=0,∴a=-1.

-2x+b 8.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.
8.解 (1)∵f(x)是定义在 R 上奇函数, -1+b ∴f(0)=0,即 =0,解得 b=1,…………………………………………………(2 分) 2+a -2x+1 从而有 f(x)= x+1 . 2 +a

8

1 - +1 2 -2+1 又由 f(1)=-f(-1)知 =- , 4+a 1+a 解得 a=2.经检验 a=2 适合题意, ∴a=2,b=1.……………………………………………………………………………(4 分) -2x+1 1 1 (2)由(1)知 f(x)= x+1 =- + x . 2 2 +1 2 +2 由上式易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.…………………………………………(8 分) 又因 f(x)是奇函数, 从而不等式 f(t2-2t)<-f(2t2-k) =f(-2t2+k).…………………………………………………………………………(10 分) 因为 f(x)是减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+k. 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0. 1 从而判别式 Δ=4+12k<0,解得 k<- . 3 1 故 k 的取值范围为(-∞,- ).………………………………………………………(14 分) 3

9


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