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导数公式大全


导数的基本公式与运算法则 基本初等函数的导数公式

c ? 0 (c为任意常数)
'

(x? )? = ?x? -1 . (ax)? = ax lna .

(ex)? = ex.

1 1 (log a x )? ? . (ln x )? ? . x x ln a

r />(sin x)? = cos x. (tan x)? = sec2x . (sec x)? = sec x tan x .

(cos x)? = - sin x. (cot x)? = - csc2x . (csc x)? = - csc x cot x .

另外还有反三角函数的导数公式:

(arcsin x )? ? (arccos x )? ?

1 1 - x2 -1

, ,

1 - x2 1 (arctan x )? ? , 2 1? x -1 (arc cot x )? ? . 2 1? x

导数的四则运算
设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导, v( x ) ( u( x ) ? 0) 则它们的和、差、积与商 u( x ) 在 x 处也可导, 且
(u(x) ? v(x))? = u?(x) ? v ?(x); (u(x)v(x))? = u(x)v?(x) + u?(x)v(x);
? v( x ) ? u( x )v?( x ) - u?( x )v( x ) ? . 2 ? u( x ) ? ? ? [u( x )] ? ? ?

定理2. 1

推论 1 推论 2

(cu(x))? = cu?(x) (c 为常数).
? 1 ? u?( x ) ? ? u( x ) ? ? - u 2 ( x ) . ? ? ? ?

乘法法则的推广:

(uvw) ' ? u ' vw ? uv ' w ? uvw '

补充例题: 求下列函数的导数: 例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1,求 f ?(x) 及 f ?(0). 解 根据推论 1 可得 (3x4)? = 3(x4)?, (5cos x)? = 5(cos x)?, 4)? = 4x3,(cos x)? = - sin x, 又(x (ex)? = ex, (1)? = 0, 故 f ?(x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) ? = (3x4) ? -(ex )? + (5cos x) ? - (1)?

= 12x3 - ex - 5sin x .
f ?(0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1

例2

设 y = xlnx , 求 y ?.

解 根据乘法公式,有

y? = (xlnx)? = x (lnx)? ? (x)?lnx
1 ? x ? ? 1 ? ln x x

? 1 ? ln x.

例3


x -1 设 y ? 2 , 求 y ?. x ?1

根据除法公式,有
2 2 ? x - 1 ? ( x ? 1)( x - 1)? - ( x ? 1)?( x - 1) y? ? ? 2 ? ? x ?1? ( x 2 ? 1) 2 ?

?

( x 2 ? 1)[( x )? - (1)?] - [( x 2 )? ? (1)?]( x - 1) ? ( x 2 ? 1) 2

( x 2 ? 1) - 2 x( x - 1) 2 x - x 2 ? 1 ? ? . 2 2 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1)

教材P32 例2 求下列函数的导数:

(1) y ? x - cos x (2) y ? x e
3

2 x

x (3) y ? 2 1- x
解:

(4) y ? 2 x ? 3x sin x ? e
3

2

(1) y ' ? ( x3 - cos x) ' ? ( x3 ) '- (cos x) ' ? 3x 2 ? sin x
(2) y ' ? ( x 2e x ) ' ? ( x 2 ) ' e x ? x 2 (e x ) ' ? 2 xe x ? x 2e x ? ( x ? 2) xe x
x x '(1 - x 2 ) - x(1 - x 2 ) ' 1 - x 2 - x(-2 x) (3) y ' ? ( )' ? ? 2 2 2 2 2 1- x 2 (1 - x ) (1 - x ) 1? x ? (1 - x 2 ) 2

(4) y ' ? (2 x3 ) '? (3x sin x) '? (e2 ) '? 2( x 3 )'-3( x sin x)'?0 2 ? 6 x - 3(sin x ? x cos x)

高阶导数
如果可以对函数 f(x) 的导函数 f ?(x) 再求导,
所得到的一个新函数, 称为函数 y = f(x) 的二阶导数,
d 2 y 如对二阶导数再求导,则 . 记作 f ?(x) 或 y? 或 2 dx d3 y 称三阶导数, 记作 f ??(x) 或 3 . 四阶或四阶以上导 dx

数记为

y(4),y(5),·· (n) ·,y

f ?(x) 称为 f (x) 的一阶导数.

dn y d4 y 或 ·, n , , ·· 4 dx dx

而把

例3 求下列函数的二阶导数

(1) y ? x cos x (2) y ? arctan x

(1) y ' ? cos x ? x(- sin x) ? cos x - x sin x
y" ? - sin x - (sin x ? x cos x) ? -2 sin x - x cos x

解:

2x 1 ?(2) y ' ? 2 2 2 1? x (1 ? x ) 2 (1 ? x )' y" ? 2 2 (1 ? x )
二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算

复合函数的求导法则
定理2.2 若函数u ? u ( x)在点x可导,函数y=f (u ) 在点u处可导,则复合函数y ? f (u ( x)) 在点x可导,且 dy dy du ? ? dx du dx

dy 或记作: ? f '(u ) ? u '( x) dx
推论 设 y = f (u) , u = ? (v), v = ? (x) 均
可导,则复合函数 y = f [? (? (x))] 也可导,

? x y? ? y? ? uv ? v? . x u

以上法则说明:复合函数对自变量的导数等于复合 函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.

例4.求下列函数的导数: 1 y ? (3x ? 1) ; )
2 3

2) y ? sin( x - 2); 4) y ? e
tan x

3) y ? ln cos x; 5) y ? 2
-x

;

解: 函数可以分解为y ? u ( x), u ( x) ? 3x ? 1, (1)
3 2

y ' ? [u ( x)]' ? 3u ( x) ? u ( x) ' ? 3(3x ? 1) ? (3x ? 1) '
3 2 2 2 2

? 3(3x ? 1) ? 6 x ? 18 x(3x ? 1)
2 2 2

2

(2)把 x - 2当作中间变量, y ' ? cos( x - 2) ? ( x - 2) ' ? cos( x - 2) ? cos( x - 2) ? 2 x 1 2 x

(3)把 cos x当作中间变量, 1 sin x y' ? ? (cos x) ' ? ? - tan x cos x cos x

(4) 把 tan x 当作中间变量, y ' ? (e
tan x

)' ? e

tan x

? (tan x) ' ? sec xe
2

tan x

(5) 把 - x 当作中间变量, y ' ? (2- x ) ' ? 2- x ln 2 ? (- x) ' ? -2- x ln 2

求导方法小结: 先将要求导的函数分解成基本初等函数,或 常数与基本初等函数的和、差、积、商. 任何初等函数的导数都可以按常数和基本 初等函数的求导公式和上述复合函数的求导 法则求出. 复合函数求导的关键: 正确分解初等函数 的复合结构.

练习:求下列函数的导数(课堂练习) (2) y ? cos 3 x ; (3) y ? x 2 - 3 x ? 2; (4) cos(3 ? 2 x 2 ) lg

(1 y ? ( -1 ? x 2 )3 ; )

解: (1) y ' ? 6 x( -1 ? x 2 ) 2 (2) y ' ? -3x ln 3 ? sin 3x (3) y ' ? 2x - 3 2 x 2 - 3x ? 2

[cos(3 ? 2 x 2 )]' - sin(3 ? 2 x 2 ) (4) y ' ? ? ? (3 ? 2 x 2 ) ' ? -4 x tan(3 ? 2 x 2 ) cos(3 ? 2 x 2 ) cos(3 ? 2 x 2 )

例5:求下列函数的导数

y (1) ?

cos x

2

(2)y ? e

x 2 -3 x - 2

(3)y ? ln ln ln x

(4)y ? ln( x ?

x ? 1)
2

隐函数的导数
y与x的关系由方程F x,y)=0确定,未解出因变量的 ( 方程F x,y)=0所确定的函数y ? y ( x)称为隐函数 (

dy 例6 设函数y ? y( x)由方程y ? 1 ? xe 所确定,求 . dx
y

解:上式两边对x求导,则有y '=(1) '? ( xe ) ', 即
y

y ' ? e ? x ? (e ) ? e ? x ? e ? y '
y y y y

? (1 - xe ) y ' ? e
y

y

e ? y' ? 1 - xe y

y

隐函数的求导步骤: 得到一个含有y '的等式;

()方程两边对x求导,求导过程中把y视为中间变量, 1

(2)从所得等式中解出y '.

dy 例7 设函数y ? y( x)由方程y - cos( x ? y ) ? x所确定,求 . dx
2 2

解:方程两边分别对x求导,得 x ' ? y '? sin( x ? y ) ? ( x ? y ) '
2 2 2 2 2 2

? 1 ? y '? sin( x ? y ) ? (2 x ? 2 yy ') ? 1 ? y '? 2 x sin( x ? y ) ? 2 y sin( x ? y ) ? y '
2 2 2 2

? [1 ? 2 y sin( x ? y )] y ' ? 1 - 2 x sin( x ? y )
2 2 2 2

1 - 2 x sin( x 2 ? y 2 ) ? y'? 2 2 1 ? 2 y sin( x ? y )

dy 练习:设函数y ? y( x)由方程xy ? y ? 2 x所确定,求 . dx
2

解:两边分别对x求导,得 ( xy ) '? ( y ) ' ? 2
2

? y ? x ? y '? 2 y ? y ' ? 2 ? ( x ? 2 y) ? y ' ? 2 - y 2- y ? y' ? x ? 2y

二元函数的偏导数的求法
求 z ? f ( x, y) 对自变量 x (或 y )的偏导数时,只须将另一 自变量 y (或 x )看作常数,直接利用一元函数求导公式和 四则运算法则进行计算. 例1 设函数 f ( x, y) ? x3 - 2 x 2 y ? 3 y 4 , f x? ( x, y ), f y? ( x, y ), f x? (1,1), f y? (1, -1), 求 解: f x? ( x, y ) ? ( x - 2 x y ? 3 y )?x ? 3x - 4 xy
3 2 4 2

f y? ( x, y ) ? ( x 3 - 2 x 2 y ? 3 y 4 )?y ? -2 x 2 ? 12 y 3 2 f x? (1,1) ? 3 ? 1 - 4 ? 1 ? 1 ? -1 ? (1,-1) ? -2 ? 12 ? 12 ? (-1) 3 ? -14 fy

?z 例2 设函数 z ? ( x ? y ) ln( x ? y ), 求 ?x
2 2 2 2

?z ?y

解:?z

?x

?x ln( x 2 ? y 2 ) ? ( x 2 ? y 2 )[ln( x 2 ? y 2 )]?x ? (x ? y )
2 2

1 ? 2 x ln( x ? y ) ? ( x ? y ) 2 ( x 2 ? y 2 )?x 2 x ?y
2 2 2 2

? 2 x ln( x ? y ) ? 2 x
2 2

? 2 x[ln( x 2 ? y 2 ) ? 1]
类似可得 ?z ? 2 y ln( x 2 ? y 2 ) ? ( x 2 ? y 2 )

?y

2y x2 ? y2

? 2 y[ln( x 2 ? y 2 ) ? 1]

二元函数的二阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数

?z ? ? f x ( x, y ), ?x

?z ? f y? ( x , y ), ?y

如果这两个函数关于 一般说来仍然是 x , y 的函数, x , y 的偏导数也存在,则称它们的偏导数是 f (x , y)
的二阶偏导数.

依照对变量的不同求导次序, 二阶偏导数有四 个:(用符号表示如下)

2 ? ?z ? ? ? ?z ? ? ? z ? ??x? ? ?x ??x? ? ? ? ? ? x2 ? ?x ? ?

? ?? ? f xx ( x, y) ? z?xx ;

? ?z ? ? ? ? ?z ? ? 2z ? ?? ? f xy ( x, y ) ? z ?? ; xy ??x? ? ?y??x? ? ? ? ? ? x? y ? ?y ? ?

? ?z ? ? ? ? ?z ? ? 2z ? ? ?? ? f yx ( x, y ) ? z ?yx ; ??y? ? ?x ??y? ? ? ? ? ? y? x ? ?x ? ?
2 ? ?z ? ? ? ?z ? ? ? z ? ??y? ? ?y??y? ? ? ? ? ? y2 ? ?y ? ?

? ?? ? f yy ( x, y ) ? z ?yy .

?? ?? 其中 f xy ( x , y ) 及 f yx ( x , y ) 称为二阶混合偏导数.
类似的,可以定义三阶、四阶、… 、n 阶偏导数,
而 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数, f x? ( x , y ) , f y? ( x, y ) 称为函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数.

注:当两个二阶导数连续时,它们是相等的 即 f ?? ( x , y ) ? f ?? ( x, y )
xy

yx

例3

设 z ? arctan xy,
试求函数的四个二阶偏导函数

? z 2 ?x
2

? z 2 ?y
2

? z ? x? y
2

?2z ? y? x

思考题一
y ? 2 x - x 3上与 x 轴平行 求曲线
的切线方程.

思考题一解答
y? ? 2 - 3 x 2
令 y? ? 0

?

2 - 3x2 ? 0

2 x1 ? 3

2 x2 ? 3

? 2 4 6? 切点为 ? , ? ? 3 9 ?

2 4 6? ? ?- , ? 3 9 ? ? 4 6 4 6 所求切线方程为 y ? 和 y?9 9


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