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历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析


历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选 100 题详析
题 1 已知 0 ? a ? b, x ?

a ? b ? b , y ? b ? b ? a , 则x, y 的大小关系是

.

(第十一届高二第一试第 11 题) 解法 1

x ? a?b ? b ?

a a ,y ? b ? b?a ? . a?b ? b b ? b?a

? 0 ? a ? b,? a ? b ? b ? b ? b ? a ,? x ? y .
解法 2

x a?b ? b b ? b?a x ? ? ,? a ? b ? b ? a,? ? 1,? x ? y . y y b ? b?a a?b ? b 1 1 ? ? x y 1 1 ? ? a?b ? b b ? b?a a?b ? b b ? b?a ? a a

解法 3

=

a?b ? b?a 1 1 ? 0,? ? ? 0,? x ? y . a x y
解 法 4 原 问 题 等 价 于 比 较

a ? b ? b ? a 与 2 b 的 大 小 . 由 x2 ? y 2 ?

( x ? y)2 , 得 2

( a ? b ? b ? a ) 2 ? 2(a ? b ? b ? a) ? 4b ,? a ? b ? b ? a ? 2 b . ? a ? b ? b ? a ,? a ? b ? b ? a ? 2 b ,? x ? y .
解法 5 如图 1,在函数 y ?

x 的图象上取三个不同的

y C B A

点 A( b ? a ,

b?a ) 、B( b , b ) 、C( a ? b , a ? b ).
由图象, 显然有 k BC ? k AB , 即

a?b ? b b ? b?a ? , ( a ? b) ? b b ? (b ? a)
O

即 a ? b ? b ? b ? b ? a ,亦即 x ? y . 解法 6 令 f (t ) ?

b-a

b 图1

b+a

x

a?t ? t , ? f (t ) ?

a 单 a?t ? t

调递减,而

b ? b ? a ,? f (b) ? f (b ? a) ,即 a ? b ? b ? b ? b ? a ,? x ? y .
解法 7 考虑等轴双曲线 x ? y ? a( x ? 0) .
2 2

如图 2,其渐近线为 y ? x .在双曲线上取两点

A( b , b ? a ) 、B( b ? a , b ). 由图形,显然有 k AB ? 1 ,即

y B A AC=

b ? b?a ? 1 ,从而 x ? y . a?b ? b

解法 8 如图 3.在 Rt△ABC 中,∠C 为直角,BC= a , O BD= b ,则 AB= a ? b ,DC= b ? a . 在△ABD 中,AB-AD<BD,即 a ? b ? AD ? 从而 a ? b ? AD-DC< b ? DC, 即 a ? b ? b ? b ? b ? a ,故 x ? y . 评析 比较大小是中学代数中的常见内容 .其最基本的方法是 作商比较法、利用函数的单调性.解法 1 通过分子有理化(处理无理 将问题转化成比较两个分母的大小.解法 2 直接作商与 1 比较大小,

a

b

a?b x

b ,

b,
图2

A D

a?b b
B

b b?a
C

作差比较法、 式常用此法) 顺理成章, 也

a a 很简洁 . 要注意的是: a, b ? 0 时, ? 1 ? a ? b ; a, b ? 0 时, 图3 b a ? 1 ? a ? b .此题直接作差难以确定差与 0 的大小,解法 3 对 x, y 的倒数作差再与 0 比较大小,使得问题顺利 b
获解,反映了思维的灵活性.解法 6 运用函数的单调性解题,构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数 应使得 x, y 恰为其两个函数值, 且该函数还应是单调的 (最起码在包含 x, y 对应的自变量值的某区间上是单调的) . 解法 5 与解法 7 分别构造函数与解几模型, 将 x, y 的大小关系问题转化成斜率问题加以解决, 充分沟通了代数与 几何之间的内在联系,可谓创新解法.解法 8 充分挖掘代数式的几何背景,构造平面图形,直观地使问题得到解 决,这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法. 有人对此题作出如下解答: 取 a ? 1, b ? 2, 则 x ?

3? 2 ?

1 , y ? 2 ?1 ? 3? 2

1 ,? 3 ? 2 ? 2 2 ?1

?1 ? 0 ,

1 ? 3? 2

1 ,? x ? y. 可再取两组特殊值验证,都有 x ? y .故答案为 x ? y . 2 ?1

从逻辑上讲,取 a ? 1, b ? 2 ,得 x ? y .即使再取无论多少组值(也只能是有限组值)验证,都得 x ? y ,也 只能说明 x ? y 或 x ? y 作为答案是错误的,而不能说明 x ? y 一定是正确的,因为这不能排除 x ? y 的可能性.因 此答案虽然正确,但解法是没有根据的.当然,如果将题目改为选择题: 已知 0 ? a ? b, x ? A、 x ? y

a ? b ? b , y ? b ? b ? a , 则x, y 的大小关系是
B、 x ? y C、 x ? y D、 x ? y





此时用上述解法,且不用再取特殊值验证就可选 D,并且方法简单,答案一定正确. 总而言之,特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷,那是因为选择支中的正确答案是唯一的,从而通过特 殊值排除干扰支,进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论,而不能直接肯定正确答案,因此,用此法 解填空题(少数特例除外)与解答题是没有根据的.当然,利用特殊值指明解题方向还是十分可取的. 题 2 设 a ? b ? c , n ? N ,且 A、2 B 、3

1 1 n 恒成立,则 n 的最大值为 ? ? a ?b b?c a ?c
C、4 D、5





(第十一届高二第一试第 7 题) 解法 1 原式 ?

a?c a?c a?c a?c ?a ?c a ?c? ? .而 ? ? n .? n ? ? ? ? a ?b b?c a?b b?c ? a ? b b ? c ? min

?

a ?b?b?c b?c ? a ?b b?c a?b b?c a?b ? 2+ ? , 即 a ? c ? 2b 时 取 等 ? 4 ,且当 ? ? a ?b b?c a?b b?c a?b b?c
?a ?c a ?c? ? ? 4 .?n ? 4 .故选 C . ?a ?b b ?c ? ? min

号.? ?

解法 2 ? a ? b ? c ,? a ? b ? 0, b ? c ? 0, a ? c ? 0 ,已知不等式化为

?a ? c? ?a ? c? ? ?a ? c? n? .由 ? a ? b ?? b ? c ? ? a ? b ?? b ? c ? ? a ? b ? b ? c ?2
2

2

2

? ?

2

? ?

? ?a ? c ?2 ? ? 4 ,即 ? ? ? 4 ,故由已知得 n ? 4 , ? ?a ? b ??b ? c ? ? min

选C . 解 法 3 由 a ? b ? c , 知 a ? b ? 0, b ? c ? 0, a ? c ? 0 , 有 n ? ?a ? c ??

1 ? ? 1 ? ? . 又 ?a ?b b?c?

?a ? c ?? ?
? ?

1 1 ? 1 ? ? 1 2 ? ? ? ? ??a ? b ? ? ?b ? c ??? ? ? ?1 ? 1? ? 4 , ?a ?b b?c? ?a ?b b?c?
1 ?? ? 1 ? ?? ? 4 ,由题意, n ? 4 .故选 C . ? a ? b b ? c ?? min

即 ??a ? c ??

解法 4 ? a ? b ? c ,? a ? b ? 0, b ? c ? 0, a ? c ? 0 .?已知不等式可变形为

?a ? c? ?a ? c? n? .记 k ? , ? a ? b ?? b ? c ? ? a ? b ?? b ? c ?
2 2

??a ? b ? ? ?b ? c ??2 则k ? ?a ? b ??b ? c ?

?2 ?

?a ? b ??b ? c ?? ?a ? b ??b ? c ?

2

? 4 .由题意, n ? 4 .故选 C .

解法 5 ? a ? b ? c ?

1 1 ? 0, ? 0. 于是 a ?b b?c

1 1 4 4 ? ? ? .比较得 n ? 4 .故选 C . a ? b b ? c ?a ? b ? ? ?b ? c ? a ? c
评析 由已知,可得 n ? ?a ? c ??

1 ? ? 1 ? ? 恒成立.根据常识“若 a ? f ? x ? 恒成立,则 a ? f ?x ?min ; ?a ?b b?c? 1 ? ? 1 ? ? 的最小值就是所求 n 的最大值,故问题转化为求 ?a ?b b?c?

若 a ? f ?x ? 恒成立,则 a ? f ? x ?max ,” ?a ? c ??

?a ? c ?? ?

1 1 ? ? ? 的最小值,上述各种解法都是围绕这一中心的,不过采用了不同的变形技巧,使用了不同 ?a ?b b?c?

b a ?a ?b? “ab ? ? 的基本不等式而已.解法 1 运用了 ;解法 2 运用了 ;解法 3 运用了 “ ? ? 2, a, b ? R ?” ? ” a b ? 2 ?

2

1 1 4 ? 1 1? “a ? b ? 2 ab ?a, b ? R ? ? ” ; 解法 4 运用了 ; 解法 5 运用了 . 虽 “?a ? b ?? ? ? ? 4” “ ? ? a, b ? R ? ” a b a?b ?a b?
解法异彩纷呈,但却殊途同归. 此题使我们联想到最新高中数学第二册(上)P 30 第 8 题: 已知 a ? b ? c ,求证:

?

?

1 1 1 ? ? ? 0. a ?b b?c c?a

证:令 a ? b ? x, b ? c ? y?x ? 0, y ? 0? ,则 a ? c ? x ? y .

?

1 1 1 1 1 1 x 2 ? y 2 ? xy ? ? ? ? ? ? .? x ? 0, y ? 0 , a ?b b?c c ?a x y x ? y xy ? x ? y ?

?

1 1 1 ? ? ? 0. a ?b b?c c?a

此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式,使得推证更简单了.运用这一思路,又可得本赛题如下解 法: 设 a ? b ? x, b ? c ? y?x ? 0, y ? 0? , 则a?c ? x? y.

1 1 n 1 1 n 恒成立, 就是 ? ? ? ? x y x? y a ?b b?c a ?c
1?

恒成立.也就是 n ? ? x ? y ?? ? x ? y? ? 恒成立.? ? x ? y ?? ? x ? y? ? ? 4 恒成立, ? ? ? ?

?1

1?

?1

?由题意得 n ? 4 .故选 C .
再看一个运用这一思想解题的例子. 例 设 a, b, c ? R ,求证:
?

a2 b2 c2 a?b?c ? ? ? . b?c c?a a?b 2
(第二届“友谊杯”国际数学竞赛题)

证明

设 b ? c ? x, c ? a ? y, a ? b ? z, 则 a ? b ? c ?

1 ?x ? y ? z ??x, y, z ? 0? . 2
2

2 2 a 2 b2 ? a ? b ? ? a 2 b 2 ?a ? b ? ay ? bx? ? ? ? ? ? 0 ,? ? ? x y x? y x y x? y xy?x ? y ?
2 2 2

①,

?a ? b ? c? ? a ? b ? c a 2 b2 c2 ? a ? b ? c2 ? a ? b ? c ? ? ? ? ? ? ? ? ,即 x y z x? y z x? y?z 2?a ? b ? c? 2
a2 b2 c2 a ? b ? c a2 b2 c2 a?b?c ? ? ? ? ? ? ,? . x y z 2 b?c c?a a?b 2
本赛题还可直接由下面的命题得解. 命题 若 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 0 ,则

?n ? 1? . 1 1 1 ? ??? ? a1 ? a 2 a 2 ? a3 a n ?1 ? a n a1 ? a n
2

证明 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 0 , ? a1 ? a 2 , a 2 ? a3 ,?, a n ?1 ? a n 都大于 0 .反复运用①式,可得 : “ 若

? n ? xi ? ? n xi 2 ? i ?1 ? ? ? n ? xi , yi ? R (i ? 1, 2,?, n) , 则 ? y i ?1 i ? yi
i ?1

2

, 当 且 仅 当

x x1 x2 ? ? ? ? n 时 取 等 号 ”. 故 有 y1 y2 yn
2

?1 ? 1 ? ? ? 1? ? n ? 1? 1 1 1 ? ?? ? ? ? . a1 ? a2 a2 ? a3 an ?1 ? an a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1 ? an a1 ? an
2

也可以这样证明:

? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 0 ,? a1 ? a2 , a2 ? a3 ,?, an ?1 ? an ? 0 .故由柯西不等式,得

(

1 1 1 2 ? ?1 ? 1 ? ? ? 1? ? ?? ? )? ? a1 ? a2 ? ? ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an?1 ? an ?? ? ? ?? ? ??? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an ?1 ? an
? n ?1?个1
2

? ? n ? 1? ,即 (

1 1 1 2 ? ??? )?a1 ? a n ? ? ?n ? 1? .? a1 ? a n ? 0 , a1 ? a 2 a 2 ? a 3 a n ?1 ? a n
2

?

?n ? 1? . 1 1 1 ? ??? ? a1 ? a 2 a 2 ? a3 a n ?1 ? a n a1 ? a n
由此可得本赛题的如下解法:

? a ? b ? c , ? a ? b ? 0, b ? c ? 0, a ? c ? 0 , ?
n ? 4 .故选 C .

?1 ? 1? ? 4 . 由 题 意 , 1 1 ? ? a ?b b?c a ?b?b?c a ?c
2

由 此 命 题 还 可 直 接 解 决 第 七 届 高 二 培 训 题 第 8 题 : 设 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2000 ? a2001 , 并 且

m?

4 ? 10 6 1 1 1 ? ? ? ? ,n ? ,则 m 与 n 的大小关系是 a1 ? a2 a2 ? a3 a2 0 0 ?0 a 2 0 0 1 a1 ? a 2001
A、 m ? n B、 m ? n C、 m ? n D、 m ? n

(

)

2000 2 4 ? 10 6 ? m? ? ? ? a2 0 0 0? a , 解 ? a1 ? a2 ? a3 ? .故选 C . 20 01 a1 ? a 2001 a1 ? a 2001
题 3 设实数 m, n, x, y 满足 m ? n ? a , x ? y ? b ,则 mx ? ny 的最大值为
2 2
2 2

(

)

1 A、 ?a ? b ? 2

1 B、 2

a ?b
2

2

a2 ? b2 C、 2

D、 ab (第十一届高二培训题第 5 题)

解法 1 则 mx ? ny ? 即

设m ?

a cos? , n ? a sin ? , x ? b cos ? , y ? b sin ? ,

ab cos? cos ? ? ab sin ? sin ? ? ab cos( ? ? ? ) ? ab,

(mx ? ny) max= ab .故选 D.

解法 2

m2 ? n2 ? a ?

b b 2 b 2 (mx ? ny) ? m ? n ? b ,又 x 2 ? y 2 ? b ,? a a a

b mx ? a

b ny ? a

(

b 2 b b b 2 m) ? x 2 ( n) 2 ? y 2 ?a ?b (m ? n 2 ) ? ( x 2 ? y 2 ) a ? a ?a ? a ? b. 2 2 2 2

? mx ? ny ?

b b a

? ab ,

当且仅当

b b m ? x且 n ? y, 即 my ? nx 时取等号,? (mx ? ny) max ? ab. a a
(mx ? ny)2 ? m2 x 2 ? 2mxny ? n2 y 2 ? m2 x 2 ? m2 y 2 ? n2 x 2 ? n2 y 2

解法 3

? ? m 2 ? n 2 ?? x 2 ? y 2 ? ? ab, ? mx ? ny ? ab , 当且仅当 my ? nx 时取等号,故 ? mx ? ny ?max ? ab .
解法 4 设 p ? ? m, n ? , q ? ? x, y ? , 则 p? q ? p ? q ? cos ? ? p ? q , ? p? q ? p ? q ,
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?2 ? 2 ?2

即 ? mx ? ny ? ? ? m 2 ? n 2 ? ? x 2 ? y 2 ? ? ab, 当且仅当 p , q 共线,即 my ? nx 时取等号,故 ? mx ? ny ?max ? ab .
2

? ?

解法 5 若设 mx ? ny ? k ,则直线 mx ? ny ? k 与圆 x ? y ? b 有公共点,于是
2 2

k m2 ? n2

? b ,即 k ? mx ? ny ? ab ,? ? mx ? ny ?max ? ab .

解法 6 设 z1 ? m ? ni, z2 ? x ? yi ,则 z1 z2 ? ? m ? ni ? ? ? x ? yi ? ? ? mx ? ny ? ? ? nx ? my ? i,?

z1 ? z2 ?

? mx ? ny ? ? ? nx ? my ?
2

2

?

? mx ? ny ?

2

? mx ? ny ? mx ? ny,? mx ? ny ? z1z2

? z1 ? z2 ? m 2 ? n 2 ? x 2 ? y 2 ? ab , 当且仅当 my ? nx 时取等号,故 ? mx ? ny ?max ? ab .
解法 7 构造函数 f ? X ? ? m ? n
2 2 2

?

2

?X

2

? 2 ? mx ? ny ? X ? x 2 ? y 2 ,
2

2 2 则 f ? X ? ? ? mX ? x ? ? ? nX ? y ? ? 0. 故 ? ? 4 ? mx ? ny ? ? 4 m ? n

?

?? x

2

? y2 ?

? 4 ? mx ? ny ? ? 4ab ? 0, 即 mx ? ny ? ab .? ? mx ? ny ?max ? ab.
2

解法 8 由 m ? n ? a, x ? y ? b 还可构造图形(如图) ,
2 2 2 2

C





?A

C ? 9 ?B A ? ? 0

b b C A, B ? DC m , , ? a a

B

nA

B

BD ? x , AD ? y , AB ? b 为 圆 的 直 径 , 由 托 勒 密 定
理 ,

D

AC ? BD ? BC ? AD

? AB ? CD ? AB 2 ,



b b m?x? n ? y ? b, , 从 而 得 mx ? ny ? ab , 当 且 仅 当 my ? nx 且 mx ? 0 时 取 等 a a
号.? ? mx ? ny ?max ?

ab .

评析 解法 1 抓住已知条件式的结构特征,运用三角代换法,合情合理,自然流畅,也是解决此类型问题的 通法之一. 解法 2 运用基本不等式 ab ?

a2 ? b2 2 2 将 mx ? ny 放大为关于 m 2 ? n 2 与 x ? y 的式子, 再利用条件求出最 2

大值.值得注意的是,稍不注意,就会得出下面的错误解法:

mx ? ny ?

2 2 2 2 m2 ? x 2 n2 ? y 2 ? m ? n ? ? ? x ? y ? a ? b a?b ? ? ? ,? ? mx ? ny ?max ? .故选 A.错误的原 2 2 2 2 2

因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到. 上述不等式取等号的条件是 a ? x ①且 b ? y ②, 而若①, ②式同时取得,则 m ? n ? x ? y ,即 a ? b, 这与题设矛盾!即当 a ? b 时, mx ? ny 取不到
2 2 2 2

a?b .解法 2 2

是避免这种错误的有效方法. 由于向量与复数的模的平方是平方和形式, 与已知形式一致, 故解法 4 与解法 6 分别运用了构造向量与构造 复数的方法,新颖而简洁. 解法 5 设 mx ? ny ? k 后,将其看作动直线,利用该直线与定圆 x ? y ? b 有公共点,则圆心到直线的距
2 2

离小于等于半径,得 k ? mx ? ny ?

ab ,充分体现了等价转化的解题功能.

解法 7 运用的是构造函数法.为什么构造函数 f ? X ? ? m ? n
2

?

2

?X

2

? 2 ? mx ? ny ? X ? x2

? y 2 呢?主要基于两点:① f ( X ) 为非负式(值大于等于 0) ,②由于 f ? X ? ? 0 ,故有 ? ? 0 ,而 ? 沟通了已知
与未知的关系,故使问题得到解决. 解法 8 抓住已知两条件式的特征, 构造了两个有公共边的直角三角形, 利用托勒密定理及圆的弦小于等于半 径使问题获解,充分揭示了这一代数问题的几何背景. 拓展 此题可作如下 推广 若 a1 ? a2 ? ? ? an ? p, b1 ? b2 ? ? ? bn ? q, 则 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ?max
2 2 2 2 2 2

?

pq (当且仅当

q ai ? bi ? i ? 1, 2,? , n ? 时取得最大值). p
2 2 2

证明

? q ? ? q a ? a 2 ? ? ? an ? p ? ? ? ? pa 1 ? ?? ? pa ? ? ?
2 1

? ? q ? ? q. ? ? ? ? ? 2 ? ? p an ? ? ? ? ?
? q an ? bn ? ? p ?

2

2

? a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn ?

p? q a1 ? b1 ? ? q? ? p

q a2 ? b2 ? ? ? p

?

2 2 ? ? q ?2 ? ? q ? ? q ? 2 2 ?? a1 ? ? b1 ? a2 ? ? b2 an ? ? bn 2 ? ? p ? p ? ? p ?? p ? ?? ?? ? ? ? ? q ? 2 2 2 ? ? ? ? ?

?

?q 2 ? 2 2 a1 ? a 2 ? ? ? a n 2 2 2 ? ? b ? b2 ? ? ? bn p p ? ?? ? 1 q? 2 2 ? ? ? ? ?

?

?

?q ? ? ?p ? p? p q? ? ? q? 2 2? ? ? ? ?
pq.

pq ,









q ai ? bi ?i ? 1,2, ?, n ?时取等号, ? ?a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn ?max ? p
本推广实际就是由著名的 Cauchy(柯西)不等式

?a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn ?2 ? ?a12 ? a2 2 ? ? ? an 2 ?? ?b1 2 ? b2 2 ? ? ? bn 2 ?(当且仅当 a1
b1
号)直接得到的一个结论. 推广有十分广泛的应用,现举一例: 例 已知 a, b, c, x, y, z ? R , 且a ? 2b ? 3c ? 4,
?

?

a a2 ? ? ? n 时取等 b2 bn

a b c 1 2 3 ?2 ?3 最大值. ? ? ? 8. 求 x y z x y z
2


2

a?2 b?3c ? 4 ?

? a ? ?? 2?b ? ? 3? c
2 2

? 1? ? 2? 1 2 3 ?4 , ? ? ? ? 8? ? ? x? ? ?? ? ? x y z ? ? ? y?

2

2

? 3? =8.由推广知 ?? ? z? ? ? ?
8 a? 4 1 , x
8 2b ? 4

1 2 3 a b c ? a? ? 2b ? ? 3c ? ? 4 ? 8 ? 4 2, 当 且 仅 当 ?2 ?3 x y z x y z

2 8 3 1 , 3c ? , 即 ax ? by ? cz ? 时取等号. y 4 z 2

? a b c? ?? ? 2 ? 3 ? ? x ? ? 4 2. y z ? ? max
2 题 4 对于 m ? 1 的一切实数 m ,使不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 都成立的实数 x 的取值范围是____

(第十三届高二培训题第 63 题)

解法 1

?x2 ? 1 ? 0 ?x2 ? 1 ? 0 ?x2 ? 1 ? 0 ?x2 ? 1 ? 0 ?x2 ? 1 ? 0 ? ? ? ? 题设等价于 ? ,即 ? 2x ? 1 或 ? 2x ? 1 或 ? 2x ? 1 或 ? 2x ? 1 或 ?1 ? 2 ?2 x ? 1 ? 0 ?m ? x 2 ? 1 ?m ? x 2 ? 1 ?1 ? x 2 ? 1 ? x ?1 ? ? ? ?

?x2 ? 1 ? 0 ,所以 1 ? x ? 2 或 3 ? 1 ? x ? 1或 x ? 1 ,即 x ? ( 3 ? 1,2) . ? 2 x ? 1 ? 0 ?
解法 2 已知不等式即 x ? 1 m ? ?2 x ? 1? ? 0 ,令 f ( m) ? x ? 1 m ? ?2 x ? 1? ,则
2 2

?

?

?

?

当 x 2 ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 时, f (m) 是 m 的一次函数,因为 m ? 1 ,即 ? 1 ? m ? 1 时不等式恒成立,所以

? f ( ?1) ? ? x 2 ? 1 ? 2 x ? 1 ? 0 ?x2 ? 2x ? 2 ? 0 ,即 ? 2 ,解得 f (m) 在 ?? 1,1? 上的图象恒在 m 轴的下方,故有 ? 2 ? f (1) ? x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 0 ?x ? 2x ? 0

3 ? 1 ? x ? 2 ( x ? 1) .
又当 x ? 1 时, f (m) ? ?1 ,适合题意,当 x ? ?1 时, f (m) ? 3 不合题意. 故 x 的取值范围是 3 ? 1 ? x ? 2 . 评析 解决本题的关键是如何根据条件构建关于 x 的不等式或不等式组.解法 1 运用分离参数法,为了达到
2

分离参数的目的,又对 x ? 1 分大于 0、小于 0、等于 0 三类情形分别构建关于 x 的不等式组,从而通过解不等 式组解决了问题 . 解法 2 则转换思维角度,把已知不等式看成关于 m 的不等式,从而将原问题转化为函数

f (m) ? ?x 2 ? 1?m ? ?2 x ? 1? 在 ?? 1,1? 上的图象恒在 m 轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此方法,使得
此题的解决显得既简捷,又直观易懂. 题 5 当 0 ? x ? a 时,不等式

1 1 ? ? 2 恒成立,则 a 的最大值是________. 2 x (a ? x) 2
(第十一届高二培训题第 45 题)

解法 1

(a ? x) 2 x2 a?x x ? ? 2 ②, ②+①×2, 得 当 0? x?a 时 , ? ? 2 ①, 又 有 x2 (a ? x) 2 x a?x

a 2 ? x 2 2ax ? x 2 a2 a 2 ? (a ? x) 2 a2 a2 1 1 8 8 ? ? 6 ? 1 ? ? 6 ? ? 8 ,即 2 ? ? 2 .由 2 ? 2 ,得 , , 2 2 2 2 2 2 2 x (a ? x) x (a ? x) x (a ? x) x (a ? x) a a

0 ? a ? 2 ,? a max ? 2 .
解法 2 ? 2 ?

?1 1 ? 1 1 2 1 1 2 1 1 1 4 ? ?( ? ) ?( ? ) , 又 ? ? ? ( 2 2 ? x a?x x a?x x a?x a a (a ? x) ? ?x

?1 1 ? 4 a?x x 2 a?x 1 1 8 ? ( )2 , 即 2 ? ? ) , ? 2? 2 ? ? ? 2 , 当且仅当 2 ? 2 a x a?x x (a ? x) ? x (a ? x) a ?x

x 且 a?x

1 1 1 1 a ? ? 2 恒成立, , 即 x? 时取等号. ? ? 2 x a?x 2 x (a ? x) 2

?

8 ? 2, 0 ? a ? 2 . 于是 amax ? 2 . a2
1 1 ? 2 x (a ? x) 2 1 1 ? 1 ,由 0 ? x ? a ,可知 ? 0, ? 0 . 由 “两个正数的平方 2 x a?x

解法 3 原不等式等价于

平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需

2 ? 1 , 即 a ? 2 即可, 故 0 ? a ? 2 , 于是 amax ? 2 . x ? (a ? x)

解法 4 ?

? 1 ? 1 1 1 1 ? x 2 ? ? 2 ①成立, 又? 2 ? x 2 ? 2 恒成立, ? a ? ? 2 即 2 ? x2 ? ? 2 2 2 x x ( a ? x) x ? (a ? x) ?

只要满足

1 ? x 2 ? 0 ②就能使①恒成立.由②式,得 x 2 (a ? x) 2 ? 1 , x(a ? x) ? 1, ? x 2 ? ax ? 1 ? 0 ③. 2 (a ? x)

由于对称轴 x ?

a ? (0, a ) ,由二次函数的性质,当 x ? (0, a) 时,要③式恒成立,则 ? ? a 2 ? 4 ? 0 ? 0 ? a ? 2 2

? a max ? 2 .
解法 5 设

1 1 x a?x 1 ,则 2 ? = 2 + ? cos2 ? , ? sin 2 ? ( 0 ? x ? a ) 2 x (a ? x) a cos4 ? a a

1 1 ? sin 2 2? 1 sin 4 ? ? cos4 ? 8 2 ? sin 2 2? 1 1 2 2 2 ? ? ? = .? (sin 2? ? 2) (sin 2? -1) ? 0, ? ? 2 4 4 2 4 2 4 2 1 sin ? cos ? a sin 2? a sin ? a a 4 sin 2? 16
即 2- sin 2? ? sin 2? ,则
2 4

2 ? sin 2 2? 1 1 8 ? 2 ,由已知, ? 1 (当sin 2 2? ? 1时取等号) ,于是 2 ? 4 2 sin 2? x (a ? x) a



8 ? 2,? 0 ? a ? 2, ? amax ? 2 . a2 1 1 解法 6 设 X ? , Y ? ( X ? 0, Y ? 0), 则 x a?x
O

X 2 ? Y 2 ? 2 表示在 XOY 坐标系第一象限内以原点为圆心,
圆 及 其 外 部 . 由 X ?

2

x

2 为半径的

1 1 ,Y ? , 得 aXY ? X ? Y , 又 x a?x 4 4 aXY ? X ? Y ? 2 XY ,? XY ? 2 , 它表示双曲线 XY ? 2 a a XY ? 4 ( X ? 0)与圆弧X 2 ? Y 2 ? ( 2 X ? 0,Y ? 0)相 切 或 a2

O

位于第一象

限 内 的 一 支 及 其 上 方 部 分 . 依 题 意 , 双 曲 线 相离,从而

8 ? 2 ,即 0 ? a ? 2 ? amax ? 2 . a2
解法 7 运用结论“如果 xi , yi ? R (i ? 1,2 ,?, n) ,则
?

2 x2 x12 x2 ? ??? n ? y1 y2 yn

x ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) 2 x x (?), 当且仅当 1 ? 2 ? ? ? n ? k (常数)时取等号.”? 0 ? x ? a ,? a ? x ? 0. 由柯 y1 ? y 2 ? ? ? y n y1 y 2 yn
西 不 等 式 , 有 (1 ? 1 )(
2 2

1 1 1 1 2 1 1 ? )?( ? ) ① , 由 (?) 得 ? 2 2 x a?x x a?x x (a ? x)

?

4 ②. 故 a

2(

1 1 4 1 1 8 a 8 ? ) ? ( )2 , 得 2 ? ? 2 ,当且仅当 x ? 时取等号,由 2 ? 2 ,得 0 ? a ? 2 2 2 2 a 2 x (a ? x) x (a ? x) a a

? amax ? 2 .
解法 8

1 1 1 (n ? 1) 2 ? ?? ? ? , 当且仅当 运 用 结 论 “ 若 a1 ? a2 ? ? ? an , 则 a1 ? a2 a2 ? a3 an ?1 ? an a1 ? an

?1 ? 1 1 ? 1 ? ? 2? ? ? a1 , a 2 ,?, a n 成等差数列时取等号.” 2 ? 2 ? 2? 2 2? ? x (a ? x) ? ? ( x ? 0) (a ? x) ?
? (3 ? 1) 2 ? 16 1 ? 1 1 8 a ? 1 ? ? ? 2 ,当且仅当 x ? a ? x ,即 x ? 时取等号.令 ? ? ? 2 .? 2 ? ? ? 2 a 2 x (a ? x) a ? x?0 a? x ? ? a?0 ?
2

2

8 ? 2 ,得 0 ? a ? 2 ? amax ? 2 . a2
评析 ?

?1 1 ? 1 1 1 1 ? ? 2 .故问题的实质就是求 2 ? ? ? 2 恒成立, 的最小 ? ? 2 2 ? 2 2 (a ? x ) ? min x ( a ? x) 2 x (a ? x) ?x

值(关于 a 的式子)大于等于 2 的解.因而在 0 ? x ? a 的条件下,如何求

1 1 的最小值成了问题的关 ? 2 x ( a ? x) 2

键.解法 1 运用“两个互为倒数的正数的和大于等于 2”, 解法 2 运用配方再放缩, 解法 3 运用均值不等式及“两个正 数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解法 5 运用三角代换, 解决了这一关键问题.解法 4 巧妙地将原问题转 化为一个含参( a )一元二次不等式恒成立,求参数的范围问题,从而运用二次函数的性质解决问题.解法 6 将 原问题转化为解析几何问题处理.解法 7、8 则是运用一些现成的结论(读者可自己证明) ,各种解法异彩纷呈, 都值得细细品味. 拓展 此题可作如下推广: 推广 1 若 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ?1 ? a , 则

1 x1
2

?

1 1 n3 ? ? ? ? ,当且仅当 ( x 2 ? x1 ) 2 (a ? x n ?1 ) 2 a2

x1 , x2 ,?, xn?1 , a 成等差数列时取等号.
证明 由已知, 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ?1 ? a ,则 x2 ? x1 ? 0 , x3 ? x2 ? 0 , ?, a ? xn?1 ? 0 .根据柯西不等

式及解法 7 运用的不等式( ? ),有 n ?
2

? 1 ? x1
2

?
2

? 1 1 ? ? ? ? ( x 2 ? x1 ) 2 (a ? x n ?1 ) 2 ?

?1 ? n2 ? 1 1 ? n4 1 1 1 n3 ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? 故 2 . ?? ? ? ? a ? xn ?1 ? a2 ( x 2 ? x1 ) 2 (a ? x n ?1 ) 2 a 2 x1 ? a ? ? x1 x2 ? x1
当且仅当 x1 , x2 ,?, xn ?1 , a 成等差数列时取等号. 推广 2 若 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ?1 ? a , bi ? R (i ? 1, 2 ,?, n), k ? N ? , 则
k ?1 k ?1
?

b1

k ?1 k

x1

?

bn (b1 ? b2 ? ? ? bn ) k ?1 b2 ab ??? ? ,当且仅当 ai ? n i 时取等号. k k k ( x 2 ? x1 ) (a ? x n ?1 ) a ? bi
i ?1

证明

不妨设 a1 ? x1 , a 2 ? x2 ? x1 ,?, a n ? a ? xn ?1 , M ? (
n

?b )
i ?1 i

n

k ?1

, 由已知得 a i ? 0
k ?1

(i ? 1, 2 ,?, n)且 ? ai ? a, 令 ci ?
i ?1

n b ai 1 n ,则 ? c i = ? a i ? 1 .由均值不等式, i k ? a i ?1 a ci i ?1

Mci ? Mci ? ? ? Mci ? ?????????
k个
n

( k ? 1)

k ?1

M bi

k

k ?1

,

bi 即 k ci

k ?1

? kMci ? (k ? 1)(b1 ? b2 ? ? ? bn ) k

? bi , 则

n n n n n n bi k ?1 bik ?1 bik ?1 k ?1 k ?1 k ? kM c ? ( k ? 1 ) b ( ? ) ? ( b ) a ? ,即 ( bi ) k ?1 , ? ? ? ? ? ? ? i i i k k k c c a i ?1 i? 1 i? 1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i i i

bik ?1 ? k i ?1 ai
n

? n ? ? ? ai ? ab 1 i ?1 ? bi ? n i 时取等号. ? ,当且仅当 a i ? ? i ? k n ? b ? ? n ? bi ? ? i ? ? ? ? ai ? i ? 1 i ? 1 ? ? ? i ?1 ?
(? bi ) k ?1
n

?

b1

k ?1 k

x1

?

b2

k ?1 k

x2

? ??

bn (b1 ? b2 ? ? ? bn ) k ?1 ? . ak (a ? x n ?1 ) k

k

题 6 已知 f ? x ? ? log sin ? x, ? ? ? 0,

? ?? ? sin ? ? cos? ? ? ,设 a ? f ? ?, 2 ? 2? ? ?
( )

b? f

?

? sin 2? ? sin ? ? cos? , c ? f ? ? ,那么 a、b、c 的大小关系是 ? sin ? ? cos? ?
B、 b ? c ? a C、 c ? b ? a

?

A、 a ? c ? b

D、 a ? b ? c (第八届高二第一试第 10 题)

解法 1 设 sin? ? p , cos? ? q .?

p?q ? 2

pq ,而 f ? x ? 是减函数,

? p?q? ? f? ?? f ? 2 ?

?

pq ,即 a ? b .? pq ?

?

? p ? q ? pq p?q ,? pq ? , 2 2

2 pq ? p?q

? 2 pq ? pq .? f ? ? p?q? ?? f ? ?

?

pq ,即 c ? b .故 a ? b ? c .选 D.
4 3 sin ? ? cos? 1 ? 3 3 1 ? , cos ? ? , , sin ? cos? ? , 2 4 2 2 2

?

解法 2 由题意,令 ? ?

?
6

,则 sin ? ?

sin 2? 2 sin ? cos? 3 ? 3 1? 3 4 3 3 ? 3 1 ? ? ? ? ,? sin ? ? ? ?0,1? ,? f ?x ? 是减函数,又 , sin ? ? cos? sin ? ? cos? 2 4 2 2 2 ? sin ? ? cos? ? ? f? ?? f 2 ? ?
评析

?

? sin 2? ? sin ? cos? ? f ? ? ,即 a ? b ? c .故选 D. ? sin ? ? cos? ?

?

这是一个比较函数值大小的问题,通常利用函数的单调性.若函数 f ? x ? 单调递增(减) ,则当 x1 ? x2

时, f ?x1 ? ? f ?x2 ?? f ?x1 ? ? f ?x2 ?? ,当 x1 ? x2 时, f ?x1 ? ? f ?x 2 ?

? f ?x1 ? ? f ?x2 ?? .因此解决问题的关键有两个:一是确定函数的单调性,二是确定自变量的大小关系.解法 1 就是
这样解决问题的. 因为正确答案应对一切 ? ? ? 0,

? ?

??

? ?? ? 都正确,故又可以运用特殊值法.对 ? 0, ? 内的某个角不正确的选择支都 2? ? 2?

是错误的,由正确选择支的唯一性,也可选出正确答案.解法 2 便是取特殊值 ? ? 的. 当然,此题也可用作差比较法来解:? ? ? ? 0,

?
6

,排除了 A、B、C、而选 D

? ?? ? ,? sin ? ? ?0,1? ,? f ?x ? 是单调减函数, sin? ? 0 , ? 2?

cos? ? 0 .? a ? b ? log sin ?

sin ? ? cos? ? log sin ? sin ? ? cos? ? 2

log sin ?

sin ? ? cos? 2 ? log sin ? 1 ? 0 ,? a ? b .又 b ? c ? log sin ? sin ? ? cos? ? sin ? ? cos?
sin 2? sin ? ? cos? sin ? ? cos? ? log sin ? ? log sin ? ? log sin ? 1 ? 0 ,即 2 sin ? cos? sin ? ? cos? 2 sin ? cos? sin ? ? cos?
x ?1

log sin ?

b ? c ,? a ? b ? c .选 D.
题 7 已知 a ?

1

? 2? ,不等式 ? ? ? 3? 2
log a
x ?1

log a

?

9 的解是 4

. (第三届高二第二试第 13 题)



? 2? 原不等式即 ? ? ? 3?

? 2? ?? ? ? 3?
? 1 ? ? ? ? ? 1 ? 2? 2

?2

.?指数函数 ? ? 是减函数, a ?

? 2? ? 3?
1 2

x

1 2

,?原不等式化为
?2

?2

log

x ?1 1 2

lg 即o ? ?2 ,

x ?1 1 2

?o lg

.又?对数函数 log

? 1 ? ? x ?1 ? ? ? , 即 x ?1 ? 2 , x 是减函数, ? 2?

解得 ? 1 ? x ? 3 .?对数函数 log 评析

x ?1 1 2

的定义域是 x ? 1 的实数,?原不等式的解是 ? 1 ? x ? 1 或 1 ? x ? 3 .

此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对数不等式的基本方法

是同底法, 即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式或对数式, 然后根据底数所属区间是 ?0,1? 或 ?1,?? ? ,确定以该底数为底的指数函数或对数函数的单调性,再去掉底数或对数符号,转化成别的不等式.主 要依据如下: ⑴若 0 ? a ? 1,则 a ⑵若 a ? 1 ,则 a
f ? x? f ? x?

?a
g ? x?

g ? x?

? f ? x? ? g ? x? ;

?a

? f ? x? ? g ? x? ;

⑶若 0 ? a ? 1,则 log a ⑷若 a ? 1 ,则 log a
f ? x?

f ? x?

? log a
g? x?

g? x?

? f ? x? ? g ? x? ? 0 ;

? log a

? 0 ? f ? x? ? g ? x? .

有时需要将常数化为指数式或对数式,其化法如下: ⑴a ? c
logc a

( a ? 0, c ? 0, 且 c ? 1 ) ; (化为指数式)
a

⑵ a ? log c c ( c ? 0, 且 c ? 1 ).(化为对数式) 例如, 2 ? 3
log3 2

将常数 2 化为 3 为底的指数式, 2 ? log 3 将常数 2 化为 3 为底的对数式.

32

解指数不等式不需检验,但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义,这点常被忽略. 若一个指数不等式的指数部分是对数式,常常采用取对数法求解. 例 不等式

? x?

lg

x

? x 的解集是

. (第十一届高二培训题第 40 题)



两边取常用对数,得 lg

?

x

?

2

? lg x ,即

1 2 lg x ? lg x ? 0, lg 2 x ? 4 lg x ? 0, lg x ? 0 或 lg x ? 4,? 0 ? x ? 1 或 x ? 10 4 .故所求解集是 ?0,1? ? ?10 4 ,?? ? . 4
应当指出,两边取对数后,不等号的方向变不变,关键看取的是什么底数.如果底数大于 1,则不等号方向不 变,如果底数大于 0 且小于 1,则不等号方向改变. 关于绝对值不等式,主要是根据绝对值的几何意义求解.下列结论应当理解并熟记( a 为常数). ⑴ x ? a?a ? 0? 的解集是 ? ; ⑵ x ? a?a ? 0? 的解集是 ?? a, a ? ; ⑶ x ? a?a ? 0? 的解集是 R; ⑷ x ? a ? a ? 0 ? 的解集是 ?? ?,?a ? ? ?a,?? ? . 下列题目供练习: ⑴已知常数 ? ? ? 0,

? ?? ? ,则不等式 ?tan? ? ? 4?

x 2 ?3 x ?10

? ?cot? ?

x ?8

的解集是

. (第八届高二第一试第 16 题)

⑵若函数 f ? x ? ? ? log 2 2 ? ? ? log 2 4 ? 的定义域是不等式 2 ? log 1 x ? ? 7 log 1 x ? 3 ? 0 的解集,则 f ? x ? 的最

? ?

x

? ? ? ?

x

? ?

? ?

? ?

2

2

2

小值=

;最大值=

. (第十届高二第一试第 23 题)
2

⑶不等式 log 2 x2 ? x 2 x ? log 2 x2 ? x x 的解集是

. (第九届高二培训题第 23 题)

⑷不等式

3 x ? 2 ? 3 ? 1 的解是

( (B) x ? 6 或 x ? 2



(A) x ? 6 或

2 ?x?2 3

(C) x ? 6 答案 ⑴ ?? ?,?2? ? ?5,
2

(D) x ? 2

? 74 ? ? ? 13 ?



3 ;2 4

⑶ ? ,2 ?

?1 ?2

? ?

⑷A

题 8 不等式 1 ? x ? x ? t 的解集是 ? ,实数 t 的取值范围(用区间形式)是

. (第一届高二第一试第 18 题)

解法 1



1 ? x 2 ? x ? t 两 边 平 方 并 整 理 得 2 x 2 ? 2tx ? t 2 ? 1 ? 0 , 此 方 程 无 实 根 , 故

? ? 4t 2 ? 8 t 2 ? 1 ? ?4t 2 ? 8 ? 0 , t 2 ? 2 .又 t ? 0 ,? t ? 2 .故填
解法 2 作出函数 y ? 1 ? x 的图象(即图中的半
2

?

?

?

2 ,?? .

?

y ? x ? t 的图象(即图中斜率为 1 的直线系).由题意,直
的上方,由图象可知直线 y ? x ? t 在 y 轴上的截距

y
2

圆)及函数 线应在半圆

t ? 2 . 故填

?

2 ,?? .
解法 3 由 1 ? x ? 0 , 得 ?1 ? x ? 1 . 故 设
2

?

1
? 2 -1

o

1

x

x ? c o? s , ? ? ?0, ? ? , 则 已 知 不 等 式 就 是
sin? ? cos? ? t ,即 t ? sin? ? cos? .

?? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? sin? ? cos? ? 2 sin?? ? ? , 又 ?? ? ? ? ?? , ? , ? ? sin ? ? cos ? ? ? [?1, 2] . 由题意得 t ? 2 . 故 4? 4? ? 4 4 ? ? ?


?

2 ,?? .

?

评析 这是一道蕴含着丰富数学思想方法的好题.解法 1﹑2﹑3 分别运用方程思想﹑数形结合思想﹑化归转 换思想,从不同的角度解决了问题,体现了这道题的丰富内涵.解法 2 揭示了本题的几何背景.解法 3 的依据是:不等 式 1 ? x ? x ? t 的解集是 ? 等价于不等式 t ? 1 ? x ? x 恒成立 .有人认为不等式 1 ? x ? x ? t 的解集
2 2 2

是 ? 等价于不等式 t ? 1 ? x ? x 有解,这种观点是错误的.事实上, t ?
2

1 2 时,不等式 t ? 1 ? x ? x 就有解(比如 2 3 1 1 x ? 就是其一个解),而 t ? 时,不等式 1 ? x 2 ? x ? t 即 1 ? x 2 ? x ? 的解集却不是 ? (比如 0 就是它的 5 2 2
通过上面的分析,并作进一步的研究,我们便有下面的 已知 t 为参数, f ( x) 的值域是 ? a , b ? .

一个解). 拓展 结论

(1) 若 t ? f ( x) 恒成立,则 t ? a . (2) 若 t ? f ( x) 恒成立,则 t ? b . (3) 若 t ? f ( x) 的解集是 ? ,则 t ? b . (4) 若 t ? f ( x) 的解集是 ? ,则 t ? a .

(5) 若 t ? f ( x) 有解,则 t ? b . (6) 若 t ? f ( x) 有解,则 t ? a . 若将 f ( x) 的值域改为 ? a, b ? 、 ? a, b ? 、 ? a, b ? 等,也会有相应的结论,限于篇幅,不再一一列出. 根据这一结论,请回答下列问题: 1.不等式 1 ? x ?
2

3x ? t 的解集是 ? ,则实数 t 的取值范围是 3x ? t 的解集是 ? ,则实数 t 的取值范围是 3x ? t 有解,则实数 t 的取值范围是 3x ? t 有解,则实数 t 的取值范围是
. . . .

. .

2.不等式 1 ? x ?
2

3.不等式 1 ? x ?
2

4.不等式 1 ? x ?
2 2

5.不等式 1 ? x ? 3 x ? t 恒成立,则实数 t 的取值范围是 6.不等式 1 ? x ?
2

3x ? t 恒成立,则实数 t 的取值范围是
2. ?? , ? 3
2

答案 1.

? 2, ?? ?

?

?

3. ? ? 3, ??

?

?

4. ? ??, 2 ?

5. ?? , ? 3

?

?

6. ? 2, ?? ? ( )

题 9 不等式 x ? 2 ? x ? 4 x ? 3 ? 0 的解集是

A、 ?

?3 ? 5 5 ? 5 ? , ? 2 2 ? ? ? 3 ? 5 ? ?5 ? 5 ,?? ? ??? ? 2 ? ? 2 ?

B、 ?

?3 ? 5 5 ? 5 ? , ? 2 2 ? ? ?5 ? 5 3 ? 5 ? , ? 2 ? ? 2
(第十三届高二第二试第 8 题)
2

C、 ? ? ? ,

? ? ?

D、 ?

解法 1 当 x ? 4 x ? 3 ? 0 ,即 x ? 1 或 x ? 3 时,原不等式就是 x ? 2 ? x ? 4 x ? 3 ? 0, 即 x ? 5x ? 5 ? 0 ,
2 2

解得

5? 5 5? 5 5? 5 ?x? .? 3 ? x ? . 2 2 2
2

1<x<3 时, 当 x ? 4 x ? 3 ? 0,即 原不等式就是 x ? 2 ? x ? 4 x ? 3 ? 0, 即 x ? 3x ? 1 ? 0, 解得 x ?
2 2

3? 5 或 2

x?

3? 5 3? 5 , ? ? x ?3. 2 2
综上,所求解集为 ?

?3 ? 5 ? ? 5 ? 5 ? ?3 ? 5 5 ? 5 ? ,3? ? 3, , , 即? ? ? ? .故选 A. ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ?
2

解法 2 如图, 作函数 y ? x ? 2 和 y ? x ? 4 x ? 3 的图象.要求的解集就是 y1 ? y 2 , 即 y1 在 y 2 上方时 x 的 区间,即图中线段 AB 上的点所对应的横坐标所组成的区间 ?x A , x B ?.

又 y 2 ? x ? 4 x ? 3 ? ? x ? 2 ? ? 1 , 当 2 ? x ? 3 时,
2 2

y 2 ? 1 ? ? x ? 2? . 由 1 ? ? x ? 2 ? ? x ? 2 可 解 得
2 2

xA ?

3? 5 2 . 当 x ? 3 时 , y 2 ? ? x ? 2 ? ? 1, 由 2

?x ? 2?2 ? 1 ? x ? 2 可解得 x B
?3 ? 5 5 ? 5 ? , ? ? ,故选 A. 2 ? ? 2
解法 3

?

5? 5 ,?所求不等式 2

A B 1 3

的 解 集 为

同 解 法 2 画 出 图 形 后 , 可 知 解 集 为 一 个 闭 区 间 ?a, b ? , 且 a ? ?2,3? , 对 照

选择支.可知选 A. 解法 4 当 x ? 1.5 时, x ? 2 ? x ? 4 x ? 3 ? 0 时,故 1.5 不是原不等式的解,从而排除含 1.5 的 B、C、D,
2

故选 A. 评析 解含绝对值的不等式,一般是先去掉绝对值符号,然后再求解.解法 1 正是运用分类讨论思想这样解决 问题的,也是一种通法. 我们知道,方程 f ?x ? ? g ?x ? 的解就是函数 y ? f ?x ? 与 y ? g ?x ? 的图象交点的横坐标;若图象无交点,则 方程无解.而不等式 f ?x ? ? g ?x ? 的解集则是函数 y ? f ?x ? 的图象在 y ? g ?x ? 的图象上方部分的点的横坐标的集 合;若 y ? f ?x ? 的图象都不在 y ? g ?x ? 的图象的上方,则不等式无解.解法 2 正是运用这种数形结合思想解决问 题的.许多超越不等式的近似解或解的所属范围也都运用此法解决. 选择题的正确答案就在选择支中,只是要求我们把它选出来而已.因此,不是非要求出答案再对照选择支选择 答案不可的.基于此, 解法 3 运用估算的方法选出了正确答案(注意: 估算能力是高考明确要求要考查的能力之一). 而解法 4 则运用特殊值排除了干扰支,进而选出了正确答案.类似这种不等式(方程)的解集是什么的选择题几 乎都可用这种方法解,而且十分方便.值得注意的是,特殊值只能否定错误结论,根据正确选择支的唯一性才能 肯定正确答案.另外,如何选取特殊值也是很有讲究的,读者可在解题实践中体会并加以总结. 题 10 不等式 4 x ? 2 ? 2 3 ? x ?

2000 的解集是 1999

. (第十一届高二培训题第 41 题)

解 设 y= 4 x ? 2 ? 2 3 ? x ,由 ?

?4 x ? 2 ? 0 1 ,得定义域为[ ,3]. 2 ?3 ? x ? 0

? y 2 ? 4 x ? 2 ? 4(3 ? x) ? 4 (4 x ? 2)(3 ? x) ? 10 ? 4 ? 4 x 2 ? 14 x ? 6 ? 10,? y ? 10 ?
在定义域内恒成立,故所求解集为[

2000 即原不等式 1999

1 ,3]. 2 9.71623 的解集是 ? ? 5.276
”,还会有谁想通过平方化

评析 解无理不等式,通常是通过乘方去掉根号,化为有理不等式后再解.但从此题中不等式右边的数可以想 象该有多么复杂,若将题目改为“ 4 x ? 2 ? 2 3 ? x ?

为有理不等式去解呢?显然,常规方法已难以解决问题,怎么办呢?考虑到不等式中的 x∈[

1 ,3],从而左边 2

? 10 ?

2000 ,故解集就是定义域, 这就启示我们, 当常规思维受阻或难以奏效时,就应积极开展非常规思维, 1999

另辟蹊径,寻求解决问题的新方法. 拓展 根据上面的分析,并加以拓广,我们可得 结论 设 a,b,c 是常数,若 x ?[a, b], f ( x) ?[m, n], g ( x) ?[ p, q] ,则 当 m ? c 时,不等式 f ( x) ? c 的解集是 [a, b], f ( x) ? c 的解集是 ? ; 当 n ? c 时, 不等式 f ( x) ? c 的解集是 ? , f ( x) ? c 的解集是 [a, b] ; 当 n ? p 时, 不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集是 ? , f ( x) ? g ( x) 的解集是 [a, b] ; 当 m ? q 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集是 [a, b] , f ( x) ? g ( x) 的解集是 ? . 根据这一结论,不难求得下列不等式的解集: 1、 2sinx+3cosx>4; 2、 3、

3 x ? 6 ? 1 ? 2 2 x ?3 ;
x ? 4 ? log 3 ( x ? 1) ? 3 4? x ; x2 ? 3 .
2、[2,+∞ ) 3、 ? 4、R

4、 sinx-cosx< 答案:1、 ?


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