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专题三 数列


第一讲 一、选择题 S15=63,则 S20=( A.90

等差数列、等比数列(选择、填空题型)

1.(2014· 唐山模拟)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S5=13, ) B.100 C.110 D.120

n-1 2.(2014· 安溪模拟)数列{an}满足 a1=1,且当 n≥2 时,an=

n an-1,则 a5=( 1 A.5 ) 1 B.6 C.5 D.6

3. 已知等比数列{an}满足 an>0, n=1,2, ?, 且 a5· a2n-5=22n(n≥3), 则当 n≥1 时,log2a1+log2a3+?+log2a2n-1=( A.n(2n-1) C.n2 B.(n+1)2 D.(n-1)2 ) )

4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-n,正项等比数列{bn}中,b2
* =a3,bn+3bn-1=4b2 n(n≥2,n∈N ),则 log2bn=(

A.n-1

B.2n-1 )

C.n-2

D.n

5.(2014· 汕头模拟)设等差数列{an}的公差 d≠0,a1=4d.若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则 k=( A.3 或-1 C.3 B.3 或 1 D.1 ) C.8 D.11 )

6.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N*), 若 b3=-2,b10=12,则 a8=( A.0 B.3

7. (2014· 眉山模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n+1-2, 等差数 列{bn}中, b2=a2, 且 bn+3+bn-1=2bn+4, (n≥2, n∈N*), 则 bn=( A.2n+2 B.2n C.n-2 D.2n-2

8.在数列{an}中,a1=1,a2=2,若 an+2=2an+1-an+2,则 an 等于( ) 1 2 6 A.5n3-5n+5 B.n3-5n2+9n-4

C.n2-2n+2

D.2n2-5n+4

9.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,则下列命题: (1)若数列{an}是递增数列,则数列{Sn}也是递增数列; (2)数列{Sn}是递增数列的充要条件是数列{an}的各项均为正数; (3)若{an}是等差数列(公差 d≠0),则 S1· S2· ?· Sk=0 的充要条件是 a1· a2· ?· ak=0; (4)若{an}是等比数列,则 S1· S2· ?· Sk=0(k≥2,k∈N)的充要条件 是 an+an+1=0. 其中,正确命题的个数是( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 10.

为防洪抗旱,某地区大面积植树造林,如图,在区域{(x,y)|x≥0, y≥0}内植树,第一棵树在 A1(0,1)点,第二棵树在 B1(1,1)点,第三棵 树在 C1(1,0)点,第四棵树在 C2(2,0)点,接着按图中箭头方向,每隔一 个单位种一棵树,那么,第 2 014 棵树所在的点的坐标是( A.(9,44) B.(10,44) C.(10,43) D.(11,43) 二、填空题 a6 11.已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a6=a5+2a4,则a 的
4

)

值为________. 12.在等差数列{an}中,a2=5,a1+a4=12,则 an=________; 1 设 bn= 2 (n∈N*),则数列{bn}的前 n 项和 Sn=________. an-1 13.(2014· 宜春模拟)已知数列{an},若点(n,an)(n∈N*)在直线 y -3=k(x-6)上,则数列{an}的前 11 项和 S11=________. 14.(2014· 苏州模拟)已知各项均为正数的等比数列{an},若 2a4 +a3-2a2-a1=8,则 2a8+a7 的最小值为________.

15.已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数,对于任意的 x,y∈ R,都有 f(xy)=xf(y)+yf(x)成立.数列{an}满足 an=f(2n)(n∈N*),且 a1=2,则数列{an}的通项公式为 an=________. f ?x ? = ax , 且 g ?x ? ? f?n? ? f?1? f?-1? 5 ?(n∈N*)的前 f′(x)g(x)<f(x)g′(x), + =2,若有穷数列? g?1? g?-1? ?g?n?? 31 n 项和为32,则 n=________. 答案 一、选择题 16 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 、 g(x) 满 足 1.解析:选 B 因为数列{an}为等差数列,则可设 S10=x,S20 =y,则 13,x-13,63-x,y-63 成等差数列, 所以 2(x-13)=13+(63-x),所以 x=34, 所以 13,x-13,63-x,y-63 分别为 13,21,29,37,所以 y-63= 37,所以 S20=100. n-1 an 2.解析:选 A 因为 a1=1,且当 n≥2 时,an= n an-1,则 an-1 n-1 a5 a4 a3 a2 4 3 2 1 1 = n .所以 a5=a · · · · a 1,即 a5= × × × ×1= .故选 A. 5 4 3 2 5 4 a3 a2 a1 3. 解析: 选 C 因为数列{an}是等比数列, 所以 a5· a2n-5=a2 an>0, n, 所以 an=2n,故 log2a1+log2a3+?+log2a2n-1=log2(a1· a3· ?· a2n-1)= 1+3+?+(2n-1) 2 log22 =n . 4. 解析: 选 D 法一: 因为 a3=S3-S2=4, 所以 b2=a3=4, log2b2 =log24=2,验证可知 A,B,C 均不符合,答案为 D. 2 法二:因为 a3=S3-S2=4,所以 b2=a3=4,又 bn+3bn-1=4bn ,即 2 bn+1 2 2 2 bn =4,q=2,所以数列{bn}的通项公式是 bn= +1=4bn,所以 q = b2 n b2qn-2=4×2n-2=2n,所以 log2bn=log22n=n.故选 D. 5.解析:选 C 因 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,所以 a2 a2k, k =a1· 即[a1+(k-1)· d]2=a1· [a1+(2k-1)· d],又 a1=4d,d≠0,则有 k2-2k -3=0,即 k=3 或 k=-1(舍去). 6.解析:选 B ∵{bn}为等差数列,设其公差为 d,b3=-2,b10 =12, ∴7d=b10-b3=12-(-2)=14,∴d=2.

∵b3=-2, ∴b1=b3-2d=-2-4=-6, 7×6 ∴b1+b2+?+b7=7b1+ 2 d=7×(-6)+21×2=0. 又∵ b1+ b2+ ?+ b7 = (a2 - a1)+ (a3- a2) + ?+ (a8- a7)= a8 - a1 =a8-3. 所以,a8-3=0,a8=3.故选 B. 7.解析:选 B an=2n+1-2-2n+2=2n(n>1),当 n=1 时,a1= S1=21+1-2=2=21, 故 an=2n(n≥1). 所以 b2=a2=4, 由此可排除 A、 C、D.对 B 选项,若 bn=2n,则 bn+3+bn-1=2(n+3)+2(n-1)=4n+ 4,2bn+4=4n+4 满足题设,选 B. 8.解析:选 C 依题意得(an+2-an+1)-(an+1-an)=2,因此数列 {an+1-an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,an+1-an=1+2(n-1) =2n-1.当 n≥2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1)=1+ ?n-1??1+2n-3? 2 2 1+3+?+(2n-3)=1+ = ( n - 1) + 1 = n -2n+2, 2 又 a1=1=12-2×1+2,因此 an=n2-2n+2. 9. 解析:选 B 数列{an}的前 n 项和为 Sn,故 Sn=a1+a2+a3 +?+an.若数列{an}是递增数列,则数列{Sn}不一定是递增数列,如 当 an<0 时,数列{Sn}是递减数列,故(1)不正确;由数列{Sn}是递增数 列,不能推出数列{an}的各项均为正数,如数列:0,1,2,3,?,满足 {Sn}是递增数列,但不满足数列{an}的各项均为正数,故(2)不正确; 若{an}是等差数列(公差 d≠0), 则由 S1· S2· ?· Sk=0, 不能推出 a1· a2· ?· ak =0,例如数列:-3,-1,1,3,满足 S4=0,但 a1· a2· a3· a4≠0,故(3) 不正确;若{an}是等比数列,则由 S1· S2· ?· Sk=0(k≥2,k∈N)可得数列 的{an}公比为-1,故有 an+an+1=0.由 an+an+1=0 可得数列{an}的公 比为-1,可得 S1· S2· ?· Sk=0(k≥2,k∈N),故(4)正确.故选 B. 10. 解析: 选 B 由题意可得种树的方法是按照一个等差数列 3,5,7,?,2n+1 排列.由前 n 项和得(n+2)n=2 014,所以 n2+2n- -2+ 8 060 2 014=0,解得 n= (负值舍去).所以 n≈43,当 n=43 时 2 对应种了 1 935 棵树.由于单数的最后一个落在 x 轴上,双数的最后 一个落在 y 轴上,所以在坐标为(43,0)向右种 1 棵,再向上种 44 棵, 即第 1 980 棵的坐标为(44,44),再向左平行移动 34 格,即第 2 014 棵 及坐标为(10,44).

二、填空题 11.解析:因为 a6=a5+2a4,所以 a4q2=a4q+2a4,即 q2-q-2 a6 =0,数列{an}是各项均为正数的等比数列,所以 q=2,a =q2=4. 4 答案:4 12.解析:设等差数列{an}的公差为 d,则有 a2+a3=5+a3=12, 1 1 a3 = 7 , d = a3 - a2 = 2 , an = a2 + (n - 2)d = 2n + 1.bn = =4 4n?n+1? ?1 1 ? 1 ? - ? , 因 此 数 列 {bn} 的 前 n 项 和 Sn = 4 ?n n+1?
?? 1? ?1 1? ?1 ×??1-2?+?2-3?+?+?n- ?? ? ? ? ?

1 ?? 1 ? 1? n 1 - ?? ? ? = = n+1?? n+1? 4?n+1?. ? 4?

答案:2n+1

n 4?n+1?

13.解析: 若点(n,an)(n∈N*)在直线 y-3=k(x-6)上,则 an=k(n -6)+3, S11=a1+a2+a3+?+a11=k(-5-4-3-2-1+0+1+2+3 +4+5)+11×3=33. 答案:33 14.解析:设{an}的公比为 q,由 2a4+a3-2a2-a1=8,得(2a2 +a1)q2-(2a2+a1)=8,所以(2a2+a1)(q2-1)=8,显然 q2>1,2a8+a7= 8q6 8t3 8t3 6 2 (2a2+a1)q = 2 , 令 t=q , 则 2a8+a7= , 设函数 f(t)= (t>1), q -1 t-1 t-1 8t2?2t-3? 3? ? ?3 ? f′(t)= 2 ,易知当 t∈?1, ?时,f(t)为减函数,当 t∈? ,+∞? 2? ? ?2 ? ?t-1? ?3? 时,f(t)为增函数,所以 f(t)的最小值为 f?2?=54,故 2a8+a7 的最小值 ? ? 为 54. 答案:54 15.解析:令 x=2,y=2n-1,则 f(xy)=f(2n)=2f(2n-1)+2n-1f(2), ?an? an an-1 即 an=2an-1+2n,2n= n-1+1,所以数列?2n?是首项为 1,公差为 1 ? ? 2 an 的等差数列,由此可得2n=1+(n-1)×1=n,即 an=n· 2n. 答案:n· 2n ? f ?x ? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ?′= 16 . 解 析 : 根 据 题 意 得 ? ,因为 g2?x? ?g?x??

f′(x)g(x)<f(x)g′(x),所以?

? f ?x ? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? ′= <0,即函数 g2?x? ?g?x??

f ? x? f?1? f?-1? 5 5 =ax 单调递减,所以 0<a<1.又 + =2,即 a+a-1=2,即 g ? x? g?1? g?-1? ? f?n? ? 1 5 1 f?x? ?1?x ?为首项 a+a=2, 解得 a=2(舍去)或 a=2.所以 =?2? , 即数列? g ?x ? ? ? ?g?n?? ?1?n ? ? 1 - n a1?1-q ? 1 1 1 ?2? 为 a1=2,公比 q=2的等比数列,所以 Sn= =2× 1 =1 1-q 1-2 ?1? ?1? ?1? 31 1 -?2?n,由 1-?2?n=32,得?2?n=32,解得 n=5. ? ? ? ? ? ? 答案:5

第二讲

高考中的数列(解答题型)

1.已知等差数列{an}满足 a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n +800?若存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由. 2.已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S5 =3a5-2,a1,a2,a5 依次成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)令 bn= (n∈N*),数列 bn 的前 n 项和为 Tn,若 an+1≥λTn anan+1 对任意正整数 n 都成立,求实数 λ 的取值范围. 3. (2014· 江苏高考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若对任意正整数 n, 总存在正整数 m,使得 Sn=am,则称{an}是“H 数列”. (1)若数列{an}的前 n 项和 Sn=2n(n∈N*), 证明: {an}是“H 数列”; (2)设{an}是等差数列,其首项 a1=1,公差 d<0.若{an}是“H 数 列”,求 d 的值; (3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H 数列”{bn}和 {cn},使得 an=bn+cn(n∈N*)成立.

4.(2014· 江西高考)将连续正整数 1,2,?,n(n∈N*) 从小到大排 列构成一个数 123?n , F(n)为这个数的位数(如 n=12 时,此数为 123 456 789 101 112,共有 15 个数字,F(12)=15),现从这个数中随 机取一个数字,p(n)为恰好取到 0 的概率. (1)求 p(100); (2)当 n≤2 014 时,求 F(n) 的表达式; (3)令 g(n) 为这个数中数字 0 的个数,f(n)为这个数中数字 9 的个 数 , h(n)= f(n)- g(n) , S= {n|h(n)= 1,n≤100 ,n ∈ N*} , 求当 n ∈S 时 p(n)的最大值. 答案 1. 解:(1)设数列{an}的公差为 d,依题意,2,2+d,2+4d 成等比 数列,故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得 d2-4d=0, 解得 d=0 或 d=4. 当 d=0 时,an=2; 当 d=4 时,an=2+(n-1)· 4=4n-2, 从而得数列{an}的通项公式为 an=2 或 an=4n-2. (2)当 an=2 时,Sn=2n. 显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立. n[2+?4n-2?] 2 = 2 n . 2 令 2n2>60n+800,即 n2-30n-400>0, 解得 n>40 或 n<-10(舍去), 此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41. 综上,当 an=2 时,不存在满足题意的 n; 当 an=4n-2 时,存在满足题意的 n,其最小值为 41. 当 an=4n-2 时,Sn= 2. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 S5=5a1+10d, ∵S5=3a5-2=3(a1+4d)-2=3a1+12d-2, ∴5a1+10d=3a1+12d-2, ∴a1=d-1. ∵a1,a2,a5 依次成等比数列, 2 ∴a2 =a1a5,即(a1+d)2=a1(a1+4d), 化简得,d=2a1,

∴a1=1,d=2, ∴an=a1+(n-1)d=2n-1. 1 ? 1 1 1? 1 (2)bn= = =2?2n-1-2n+1?, anan+1 ?2n-1??2n+1? ? ? 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? 1? n ∴Tn=2?1-3+3-5+?+2n-1-2n+1?=2?1-2n+1?= . ? ? ? ? 2n+1 n 由 an+1≥λTn 得 2n+1≥λ× 对任意正整数 n 都成立, 2n+1 ∴(2n+1)2≥λn, ?2n+1?2 4n2+4n+1 1 ∴λ≤ n = = 4 n + 4 + n n. 1 1 令 f(x)=4x+x(x≥1),则 f′(x)=4-x2>0, ∴f(x)在[1,+∞)上递增, 1 ∴对任意正整数 n,4n+n的最小值为 5, ∴λ≤9. 3. 解:(1)由已知,当 n≥1 时,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n. 于是对任意的正整数 n,总存在正整数 m=n+1,使得 Sn=2n=am. 所以{an}是“H 数列”. (2)由已知,得 S2=2a1+d=2+d.因为{an}是“H 数列”,所以存 在正整数 m,使得 S2=am,即 2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1. 因为 d<0,所以 m-2<0,故 m=1.从而 d=-1. n?3-n? 当 d=-1 时,an=2-n,Sn= 2 是小于 2 的整数,n∈N*.于 n?3-n? 是对任意的正整数 n,总存在正整数 m=2-Sn=2- 2 ,使得 Sn =2-m=am,所以{an}是“H 数列”.因此 d 的值为-1. (3)设等差数列{an}的公差为 d, 则 an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d * -a1)(n∈N ). 令 bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),则 an=bn+cn(n∈N*). 下证{bn}是“H 数列”. n?n+1? 设{bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn= 2 a1(n∈N*).于是对任意的 n?n+1? 正整数 n,总存在正整数 m= 2 ,使得 Tn=bm,所以{bn}是“H 数列”. 同理可证{cn}也是“H 数列”.

所以, 对任意的等差数列{an}, 总存在两个“H 数列”{bn}和{cn}, * 使得 an=bn+cn(n∈N )成立. 4. 解:(1)当 n=100 时,这个数中总共有 192 个数字,其中数 11 字 0 的个数为 11,所以恰好取到 0 的概率为 p(100)=192; n,1≤n≤9, ? ?2n-9,10≤n≤99, (2)F(n)=? 3n-108,100≤n≤999, ? ?4n-1 107,1 000≤n≤2 014. (3)当 n=b(1≤b≤9,b∈N*)时,g(n)=0; 当 n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)时,g(n)=k; 当 n=100 时,g(n)=11, 即 g(n) = 0,1≤n≤9, ? ? ?k,n=10k+b,1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N, ? ?11,n=100. 同理有 f(n)= 0,1≤n≤8, ? ?k,n=10k+b-1,1≤k≤8,0≤b≤9,k∈N ,b∈N, ?n-80,89≤n≤98, ? ?20,n=99,100.
*

由 h(n)=f(n)-g(n)=1,可知 n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,所 以当 n≤100 时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}, 当 n=9 时,p(9)=0, g?90? 9 1 当 n=90 时,p(90)= =171=19, F?90? g?n? k k 当 n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)= = = , F?n? 2n-9 20k+9 k 由 y= 关于 k 单调递增,故当 n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时, 20k+9 8 p(n)的最大值为 p(89)=169, 8 1 1 又169<19,所以当 n∈S 时,p(n)的最大值为19.


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