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二次函数y=a(x-h)2+k的图象


y
8

7
6 6

5
4 4

3 2 2 1
-5

y ? 3x
1 2

2

-5

-4

-3

-2

-1

r />
0 -1 -2-2
-4

3

4

5

5

x

-6

2 y=a(x-h) +k的图像和性质

1.填表
抛物线 开口方向 对称轴
2

顶点坐标
(0, 0)
(0, 1) (0, - 1)

y ? ?0.5x
2

向下
向下 向下

x=0
x=0 x=0

y ? ?0.5x ? 1

y ? ?0.5x ?1
2

y ? 2x

2
2
2

向上
向上 向上

x=0
x=1 x= - 1

(0, 0)
(1, 0) (- 1, 0)

y ? 2( x ?1)

y ? 2( x ? 1)

2.上下 平移

1 2 如何由 y ? ? 3 x 的图象得到 1 2 1 2 y ? ? x ? 3 的图象。 y ? ? x ?3 、 3 3

y

5 4(0,3) 1 2 y ?? x ?3 3 3 2 1 x –5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1 –2 (0,-3) 1 2 – 3 1 2 y ? ? x –4 y ? ? x ?3 3 –5 3

3.左右 平移

1 1 2 2 y ? ? ( x ? 2 ) y ? ? x 的图象得到 如何由 3 3 、 1 2

y

y ? ? ( x ? 2) 的图象。 3

5 x= - 2 4 x= 2 3 2 (-2,0) 1 (2,0) x –5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 1 2 –1 y ? ? ?x ? 2? 1 2 – 2 y ? ? ?x ? 2? 3 –3 1 2 3 y?? x –4 3 –5

4.上下平移规律
y=ax2
当k>0时,向上平移k个单位 当k<0时,向下平移 k 个单位

y ? ax ? k
2

左右平移规律
y=ax2
当h>0时,向右平移h个单位 当h<0时,向左平移 h 个单位

y=a(x-h)2

在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2、 y=2(x-1)2+1 的图象
x
y=2x2

-3
… 8

-2 2

-1 0

0 2

1 8

2 …

3

y=2(x-1)2
y=2(x-1)2+1







8
9

2
3

0

2
3

8
9

y

1

y=2x2

5 4 3 2 1

y=2(x–1)2+1

y=2(x–1)2

–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1 –2

x

y ? 2x

2

y ? 2x ? 1
2
2

y ? 2( x ? 1)

2

y ? 2( x ?1) ? 1
y ? 2( x ?1)2 ? 1 的图像可以由 y ? 2 x 2 先向上平移一个单位,
再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上 平移一个单位而得到.

平移的规律总结:
y=ax2
当h>0时,向右平移h个单位
当h<0时,向左平移 h 个单位 当k>0时,向上平移k个单位

y=a(x-h)2

y=a(x-h)2+k

当k<0时,向下平移 k 个单位

1 2 y ? ? x ? 2 ? ? 2 x=-2 2

y

观察 y ? 1 x 2

(-2,2)

5 4 3 2 1

的图像 1 2 y? x 2

2 1 2 y ? ?x ? 2? ? 2 2 1 2 y ? ?x ? 2? ? 3 2

x

–5 –4 –3 –2 –1 O – 1 1 2 y ? ?x ? 2? ? 3 –2 2 –3 (-2,-3) –4

1 2 3 4 5

抛物线
开口 方向

1 2 y ? ?x ? 2? ? 2 2

1 y ? ? ( x ? 2) 2 ? 3 2

向上 直线x=-2 (-2,2)
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下 直线x=2

对称轴
顶点坐标

(2,-3)
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

增减性 最值

当x=-2时, 最小值为2

当x=2时, 最大值为-3

二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

抛物线
开口方向

y=a(x-h)2+k(a>0)

y=a(x-h)2+k(a<0)

对称轴
顶点坐标

向上 直线x=h ( h , k)

向下 直线x=h (h,k)

增减性

在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而增大. 着x的增大而减小.

最值 当x=h时,最小值为k.

当x=h时,最大值为k.

指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 开口 对称轴 顶点坐标
2

?1?y ? 2?x ? 3?

?5
2

向上 向下 向下 向上

直线x=3 直线x= –1 直线x=0 直线x=2

(3,–5) (–1,0)

?2 ? y ? ? 0 .5 ? x ? 1?
2

3 2 ?3? y ? ? x ? 1 4

(0,–1)
(2, 5) (– 4,2) (3,0)

?4 ? y ? 2 ? x ? 2 ? ? 5 2 ?5?y ? 0.5?x ? 4? ? 2

向上 直线x= – 4

3 2 ?6 ? y ? ? ? x ? 3 ? 4

向下

直线x=3

考考你学的怎么样:
1.抛物线的上下平移 (1)把二次函数y=(x+1)2的图像, 沿y轴向上平移3个单位, y=(x+1)2+3 得到_____________ 的图像; 2+3 y=x (2)把二次函数_____________的图像, 沿y轴向下平移2个单位,得到y=x 2+1的图像.

2.抛物线的左右平移 (1)把二次函数y=(x+1) 2的图像, 沿x轴向左平移3个单位, 2 y=(x+4) 得到_____________的图像; y=(x+2)2+1 的图像, (2)把二次函数_____________ 沿x轴向右平移2个单位,得到y=x 2+1的图像.

3.抛物线的平移: (1)把二次函数y=3x 2的图像, 先沿x轴向左平移3个单位, 再沿y轴向下平移2个单位, 2-2 y=3(x+3) 得到_____________的图像; 2 y=-3(x+6) (2)把二次函数_____________的图像, 先沿y轴向下平移2个单位, 再沿x轴向右平移3个单位, 得到y=-3(x+3) 2-2的图像.

4.抛物线 5.抛物线 6.抛物线

1 2 (-1,0) ; y ? ?x ? 1? 的顶点坐标是________ 2
y? 1 ?x ? 1?2 2

向上平移3个单位后, (-1,3) ; 顶点的坐标是________

1 2 x=-1 y ? ?x ? 1? ? 3 的对称轴是_____. 2

7.把二次函数y=4(x-1) 2的图像, 沿x轴向 2 个单位,得到图像的对称轴是直 右平移__ _ 线x=3. 8.把抛物线y=-3(x+2) 2,先沿x轴向右 平移2个单位,再沿y轴向下平移1个单位, 2-1 y=-3x 得到_____________的图像. 9.把二次函数y=-2x 2的图像,先沿x轴 向左平移3个单位,再沿y轴向下平移2 (-3,-2) . 个单位,得到图像的顶点坐标是______

10.如图所示的抛物线: 0或-2 时,y=0; 当x=_____ < 当x<-2或x>0时, y_____0 ; 2 < x<0范围内时,y>0; 当x在- _____ -1 时,y有最大值_____. 3 当x=_____
3

11、试分别说明将抛物线的图象通 2 过怎样的平移得到y=x 的图象: (1) y=(x-3)2+2 ;
先向左平移3个单位,再向下平移2个单位

(2)y=(x+4)2-5
先向右平移4个单位,再向上平移5个单位

12.与抛物线y=-4x 2形状相同,顶点为 (2,-3)的抛物线解析式 2-3或y= 4(x-2)2-3 y= 4(x-2) 为 .

13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示 (1)求解析式
解:∵二次函数图象的顶点是(1,-1), ∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1, ∵其图象过点(0,0), ∴0= a(0-1)2-1, ∴a=1 ∴y= (x-1)2-1

(2)根据图象回答: (0,0) x<0 或 x>2 当x 时,y>0; 当x x=0或2 时,y=0; 当x 0< x<2 时,y﹤0。

(2,0)

(1,-1)

下课了!


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