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2014届高三周考数学试题


2014 届高三周考数学试题(文科)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 P ? ?3,4,5,6? , Q ? ?5,7? ,则 P ? Q ? ( A. )

?5?

B.

?3, 4,5,6?

C.

?3, 4,5,7?
D. 2 )

D.

?3,4,5,6,7?
) 开始
i ? 1, s ? 1
i ? i ?1

2.已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 ( z ? i)(3 ? i) ? 10 ,则 z 的虚部为( A. i 3.“ ? ? B. 2 i C. 1

?

4 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知两条直线 a , b ,两个平面 ? , ? .给出下面四个命题: ① a // b, a // ? ? b // ? ; ② a ? ? , b ? ? ,? // ? ? a ? b ; ③ a ? ? , a // b, b // ? ? ? // ? ; ④ ? // ? , a // b, a ? ? ? b ? ? .
其中正确的命题序号为( ) A.①② B.②③ C.①④ D.②④ )

”是“ cos 2? ? 0 ”的(

s ? s ?i
i ?k?



是 输出 s 结束 第5题

5.如果执行右边的程序框图,若输出的 s ? 55 ,则 k ? ( A.8 B.9 C.10 D.9 或 10

6.设 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、 右焦点. 若双曲线上存在点 M , 使 ?F1MF2 ? 60? , a 2 b2
) C. 2 D. 5 )

且 MF1 ? 2 MF2 ,则双曲线离心率为( A. 2 B. 3

7.设 a ??3,4,5,6,7? , b ??3,4,5? ,则方程 x 2 ? 2bx ? a 2 ? 0 有解的概率为( A.

2 1 1 3 B. C. D. 5 10 5 5 ? ABC a sin A ? b sin B ?c, A , B a , b , c 8. 中, 为锐角, 为其三边长, 如果 则 ?C 的大小为 ( 45 ? 60 ? A. 30? B. C. D. 90?
9.已知平面向量 a , b 的夹角为 120 ,且 a . b ? ?1 ,则 a ? b 的最小值为(
?



? ?

? ?

?

?



A. 6 10.已知函数 f ? x ? ? ?

B.

3

C.

2

D. 1

?kx ? 2, x ? 0 ? k ? R? ,若函数 y ? f ( x) ? k 有三个零点,则实数 k ?1nx, x ? 0

的取值范围是( ) A. k ? ?2 B. ?2 ? k ? ?1 C. ?1 ? k ? 0 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.某校为了了解学生的营养状况,从该校中随机抽取 400 名 学生,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方 图 (如图) . 由图中数据可知该 400 名的学生中, 身高在 120cm 到 130cm 的人数为 .

D. k ? 2

12.已知某三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球的半径 为 .

13.观察下列等式,

24 ? 7 ? 9 34 ? 25 ? 27 ? 29 4 4 ? 61 ? 63 ? 65 ? 67 ..........
照此规律,第 4 个等式可为 . 14. 已 知 f ( x) ? s i nx? a cosx, 且 f ( ) ? 0 , 则 当 x ?[?? , 0)时 , f ( x) 的 单 调 递 减 区 间 3 是 . 15. 设点 A, B 分别在直线 3x ? y ? 5 ? 0 和 3x ? y ? 13 ? 0 上运动,线段 AB 的中点 M 恒在圆

?

x2 ? y 2 ? 8 内,则点 M 的横坐标的取值范围为



三、解答题:本大题共 5 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? , x ? R(其中 A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? 中,相邻两个交点之间的距离为 (Ⅰ)求 f ? x ? 的解析式;
? ?? (Ⅱ)当 x ? ?0 , ? ,求 g ? x ? ? f ? x ? ? ? 6?

?
2

) 的图象与 x 轴的交点

? ? 2? ? ,且图象上一个最低点为 M ? , ? 2? . 2 ? 3 ?

[来源:Zxxk.Com]

?? ? f ? x ? ? 的值域. 4? ?

17. (本题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项的和为 S n .已知 a1 ? 6 , an ?1 ? 3Sn ? 5n , n ? N* .

(1)设 bn ? Sn ? 5n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)数列 ?bn ? 中是否存在不同的三项,它们构成等差数列?若存在,请求出所有满足 条件的三项;若不存在,请说明理由.

18.(本题满分 12 分) 四 棱 锥 P —

ABCD

的 底 面 是 平 行 四

边 形 , 平



1 PAB ? 平面ABCD,PA=PB=AB= AD,?BAD=60? ,E,F 分别为 AD,PC 的 2
中点. (1)求证: EF ? 平面PBD; (2)若 AB=2,求四棱锥 P—ABCD 的体积..

19.(本小题满分 12 分) 空气质量指数 PM2.5(单位: ? g / m )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这
3

个值越高,代表空气污染越严重.PM2.5 的浓度与空气质量类别的关系如下表所示

某市 2013 年 11 月 (30 天) 对空气质量指数 PM2.5 进行检测,获得数据后整理得到如下条形图: ( 1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概 率; (2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取 2 个,求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率.

20. (本题满分 14 分) 已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,且抛物线过点 M (1, 2) . (1)求抛物线的标准方程;

(2)若抛物线的对称轴为 x 轴,过点 N (13, ? 2) 的直线交抛物线于 A, B 两点,设直线
MA, MB 的斜率分别为 k1 , k2 ,求 k1 ? k2 的值.

21. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? 2 x ( e 为自然对数的底数).

f (0)) 处的切线方程; (Ⅰ)求曲线 f ( x ) 在点 (0 ,
(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若存在 2 使不等式 f ( x) ? mx 成立,求实数 m 的取值范围. ..x ? ? , 2 ?

?1 ?

? ?

文科数学周考答案

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.D 提示:因为 5 ? P,5 ? Q ,所以 P ? Q ? ?3,4,5,6,7? 2. D 提示:由 ( z ? i)(3 ? i) ? 10 得 z ? 3. A 提示: 当? ? 得? ? ?

10 ? i ? 3 ? 2i , z 的虚部为 2. 3?i
o s2 ?0? 时,2? ? ? 当c ?0;

?
4

时,cos2? ? cos

?
2

?
2

? 2k? (k ? Z ) ,

. 4 4 4.D 提示:① b 可能在平面 ? 内,所以①错;②由 b ? ? ,? // ? 得 b ? ? ,因为 a ? ? , 所以 a ? b ,②正确;③由 a ? ? , a // b, b // ? 可得 ? ? ? ,所以③错;④由 ? // ? , a ? ? 得 a ? ? ,又 a // b ,所以 b ? ? ,即④正确. 5.B 提示:∵ S ? 1 ? 2 ? ?10 ? 55 ,所以 i ? 10 ,故 k ? 9 . 6 . B 提 示:由 点 M 在双曲 线上, 且 MF1 ? 2 MF2 ,则 MF1 ? 4a, MF2 ? 2a , 又

?

? k? ,推不出 ? ?

?

?F1MF2 ? 60? ,所以在 ?MF1 F2 中,由余弦定理得 16a 2 ? 4a 2 ? 2 ? 4a ? 2a ? cos60? ? 4c 2 ,解得
e? 3
7 . C 提 示 : 方 程 x 2 ? 2bx ? a 2 ? 0 有 解 的 充 要 条 件 是 b ? a . 若 b ? a , 其 概 率 为 1 1 1 ? ? 3 ? ;若 b ? a ,事件“ b ? a ”可以看成两个互斥事件: b ? 3, a ? 1, 2 或 b ? 2, a ? 1 , 5 3 5 1 2 1 1 1 1 1 2 因此其概率为 ? ? ? ? .综上,方程 x 2 ? 2bx ? a 2 ? 0 有解的概率为 ? ? . 3 5 3 5 5 5 5 5 8.D 提示:若 A ? B ?

?
2

,则 sin A ? cos B,sin B ? cos A ,从而 sin 2 A ? sin 2 B

? sin A cos B ? cos Asin B ? sin( A ? B) ? sin C ,这与 a sin A ? b sin B ? c 矛盾;同理 A ? B ?
也不可能,所以 A ? B ?

?
2

?

2 9.A 10.A 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.
11.120 提示:由图可知, (0.005+0.035+ a +0.020+0.010) ? 10=1,所以 a ? 0.030,因 此,该 400 名的学生中,身高在 120cm 到 130cm 的人数为 0.03 ? 10 ? 400 ? 120 . 12.1 提示:该几何体是一个底面为直角三角形,顶点在底面的射影为斜边中点的三棱锥,此 几何体的外接球半径为 1 .

,及 ?C ? 900 .

13. 5 ? 121? 123? 125? 127 ? 129.
4

14. [?? , ? ] 6 提示:由 f ( ) ? 0 得 a ? ? 3 ,所以 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) ,所以当它单 3 3 ? ? 3? 5? 11? 调递减时 ? 2k? ? x ? ? ? 2k? ,所以 ? 2k? ? x ? ? 2k? ,因此,当 x ?[?? ,0) 2 3 2 6 6 时, f ( x) 的单调递减区间是 [?? , ? ] . 6 2 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 3x1 ? y1 ? 5 ? 0 3x2 ? y2 ? 13 ? 0 , 两 式 相 加 得 15 . [ , 2] 5

?

?

?

?

3( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 8 ? 0
2 2 y0 ? 3x0 ? 4 为 x0 ? y0 ?8,

M ( x0 , y0 )

x1 ? x2 ? 2x0 , y1 ? y2 ? 2 y0

3x0 ? y0 ? 4 ? 0 , 即

2 ? x0 ? 2 . 5 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解:因为 an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ,且 an ?1 ? 3Sn ? 5n ,所以 Sn ?1 ? 4Sn ? 5n ,??2 分 把 Sn ? bn ? 5n 代入得 bn ?1 ? 4bn ,??3 分

所以数列 ?bn ? 是首项为 b1 ? S1 ? 5 ? 1 ,公比为 4 的等比数列,所以 bn ? 4n ?1 .??5 分 (2)假设数列 ?bn ? 中存在任意三项 ai , a j , ak 成等差数列.??6 分 不 妨 设 i ? j ? k ? 1 , 由 于 数 列 ?bn ? 单 调 递 增 , 所 以 2a j ? ai ? ak , 所 以
j ?1 i ?1 k ?1 2? 4 ? 4 ? 4 ,??9 分 i ?k 因此 2 ? 4 ? 4 j ? k ? 1 ,此时左边为偶数,右边为奇数,不可能成立,??13 分

所以数列 ?bn ? 中不存在不同的三项,它们构成等差数列.??14 分 18.(略) 19.(1)8/15 (2)3/5 20.解: (1)由题意抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px 或 x 2 ? 2my ,又抛物线过点 M (1, 2) , 所以得抛物线的方程为 y 2 ? 4 x 或 x2 ?

1 y. 2

( 2 ) 由 题 意 知 抛 物 线 的 方 程 为 y 2 ? 4 x . 设 过 点 N (13, ?2) 的 直 线 l 的 方 程 为

x ? 1 3 ? m ( y ? 2 ), 即 x ? m y?2

m? 1 3, 代 入 y 2 ? 4 x 得 y 2 ? 4my ? 8m ? 52 ? 0 , 设

A( x ,则 1 , y 1 ) ,B ( 2x , 2y ) y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?8m ? 52
所以 k1k2 ?

( y1 ? 2)( y2 ? 2) ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) (my1 ? 2m ? 12)(my2 ? 2m ? 12)

?

y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ?8m ? 52 ? 8m ? 4 ? ? m2 y1 y2 ? (2m2 ? 12m)( y1 ? y2 ) ? (2m ? 12) 2 m2 (?8m ? 52) ? (2m2 ? 12m) ? 4m ? (2m ? 12) 2

?

?16m ? 48 1 ?? . 48m ? 144 3

21


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