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黑龙江省哈尔滨三十二中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


黑龙江省哈尔滨三十二中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1. (4 分)全集 U={0,1,3,5,6,8},集合 A={1,5,8 },B={2},则集合(?UA)∪B=() A.{0,2,3,6} B.{0,3,6} C.{2,1,5,8} D.? 2. (4 分)下列区间中,使函数 y=sinx 为增函数

的是() A. B. C. D.

3. (4 分)sin390°=() A. B. C. D.

4. (4 分)已知 =(x,3) , =(3,1) ,且 ⊥ ,则 x 等于() A.﹣1 5. (4 分)要得到 A.向左平移 C. 向左平移 个单位 个单位 B.﹣9 C .9 D.1

的图象,需要将函数 y=sin2x 的图象() B. 向右平移 D.向右平移 个单位 个单位

6. (4 分)α 是第四象限角, A. B.

,则 sinα=() C. D.

7. (4 分)已知 sinα+cosα=﹣ ,则 sin2α=() A. B. C. D.

8. (4 分)已知 , 满足: A. 9. (4 分)sinα= ,α∈( A. B.



, C .3 ﹣α)=() C.

,则

=() D.

,π) ,则 cos( B.

D.

10. (4 分)已知平面向量 =(1,2) , =(﹣2,m) ,且 ∥ ,则 A.(﹣5,﹣10) B.(﹣4,﹣8)
2

=() D.(﹣2,﹣4)

C.(﹣3,﹣6)

11. (4 分)设 tanα,tanβ 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根,则 tan(α+β)的值为() A.﹣3 B.﹣1 C .1 D.3 12. (4 分)函数 f(x)=sinx﹣cos(x+ A. B. )的值域为() C. D.

二、填空题(每空 4 分,共 16 分) 13. (4 分)已知扇形的圆心角为 120°,半径为 3,则扇形的面积是. 14. (8 分)已知 ABCD 为平行四边形,A(﹣1,2) ,B (0,0) ,C(1,7) ,则 D 点坐标为. 15. (4 分)函数 的定义域是.

16. (4 分)给出下列五个命题: ①函数 的一条对称轴是 ,0)对称; ;

②函数 y=tanx 的图象关于点(

③正弦函数在第一象限为增函数; ④若 ,则 x1﹣x2=kπ,其中 k∈Z.

以上四个命题中正确的有(填写正确命题前面的序号)

三、解答题: (共 36 分) 17. (8 分)已知函数 y=3sin( x﹣ )

(1)用五点法做出函数一个周期的图象; (2)说明此函数是由 y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的?

18. (8 分)已知 α 为第二象限角, (1)化简 f(α) ; (2)若 ,求 f(α)的值.



19. (10 分)已知向量 , 的夹角为 60°,且| |=2,| |=1,

(1)求

? ;

(2)求| + |.

20. (10 分)已知 =(1,2) , =(﹣3,2) ,当 k 为何值时, (1)k 与 ﹣3 垂直?

(2)k + 与 ﹣3 平行?平行时它们是同向还是反向?

黑龙江省哈尔滨三十二中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试 卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1. (4 分)全集 U={0,1,3,5,6,8},集合 A={1,5,8 },B={2},则集合(?UA)∪B=() A.{0,2,3,6} B.{0,3,6} C.{2,1,5,8} D.? 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 利用补集的定义求出(CUA) ,再利用并集的定义求出(CUA)∪B. 解答: 解:∵U={0,1,3,5,6,8},A={ 1,5,8 }, ∴(CUA)={0,3,6} ∵B={2}, ∴(CUA)∪B={0,2,3,6} 故选:A 点评: 本题考查利用交集、并集、补集的定义求集合的并集、交集、补集. 2. (4 分)下列区间中,使函数 y=sinx 为增函数的是() A. B. C. D.

考点: 正弦函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 依据正弦函数的性质对四个选项进行判断,即可找出正确选项. 解答: 解:由函数 y=sinx 的性质知,其在区间 对 k 进行赋值,当 k=0 时所得的区间是 故选 C 上是增函数,

点评: 本题考查正弦函数的单调性,考查其单调区间的判断,解答本题的关键是熟练掌握正弦函数的单 调性,熟知其单调区间的形式,从而依据性质得出正确选项. 3. (4 分)sin390°=() A. B. C. D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 由 sin390°=sin(360°+30°) ,利用诱导公式可求得结果. 解答: 解:sin390°=sin(360°+30°)=sin30°= ,故选 A. 点评: 本题考查诱导公式的应用,把 sin390°化为 sin(360°+30°) 是解题的关键.

4. (4 分)已知 =(x,3) , =(3,1) ,且 ⊥ ,则 x 等于() A.﹣1 B. ﹣9 C. 9 D.1

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 由已知中, =(x,3) , =(3,1) ,且 ⊥ ,根据向量垂直的坐标表示,我们易得到一个关于 x 的方程,解方程即可得到答案. 解答: 解:∵ =(x,3) , =(3,1) , 又∵ ⊥ , ∴ ? =3x+3=0 解得 x=﹣1 故选 A 点评: 判断两个向量的关系(平行或垂直)或是已知两个向量的关系求未知参数的值,要熟练掌握向量 平行(共线)及垂直的坐标运算法则,即“两个向量若平行,交叉相乘差为 0,两个向量若垂直,对应相乘 和为 0”. 5. (4 分)要得到 A.向左平移 C. 向左平移 个单位 个单位 的图象,需要将函数 y=sin2x 的图象() B. 向右平移 D.向右平移 个单位 个单位

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题.

分析: 由左加右减上加下减的原则可确定函数 y=sin2x 到 推出结果. 解答: 解:将函数 y=sin2x 向右平移 的图象; 个单位,即可得到

的路线,进行平移变换,

的图象,就是

故选 D. 点评: 本题主要考查三角函数的平移.三角函数的平移原则为左加右减上加下减.注意 x 的系数. 6. (4 分)α 是第四象限角, A. B. ,则 sinα=() C. D.

考点: 同角三角函数间的基本关系. 分析: 根据 tanα= ,sin α+cos α=1,即可得答案. = ,sin α+cos α=1,
2 2 2 2

解答: 解:∵α 是第四象限角, ∴sinα=﹣ .

故选 D. 点评: 三角函数的基本关系是三角函数的基本,是高考必考内容.

7. (4 分)已知 sinα+cosα=﹣ ,则 sin2α=() A. B. C. D.

考点: 二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: 把已知的等式两边平方,左边利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简,整 理后即可求出 sin2α 的值. 解答: 解:把 sinα+cosα=﹣ 两边平方得: (sinα+cosα) =sin α+2sinαcosα+cos α=1+sin2α= , 则 sin2α=﹣ . 故选 D 点评: 此题考查了二倍角的正弦函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式及基本关系 是解本题的关键.
2 2 2

8. (4 分)已知 , 满足:





,则

=()

A.

B.

C. 3

D.

考点: 向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的数量积,求出向量的模长即可. 解答: 解:∵ ∴ +2 ? + , , ,

=9+2 ? +4=16,

∴2 ? =3; ∴ ∴ = = . ﹣2 ? + =9﹣3+4=10,

故选:D. 点评: 本题考查了平面向量的数量积的应用问题,解题时应利用平面向量的数量积求出向量的模长,是 基础题. 9. (4 分)sinα= ,α∈( A. B.

,π) ,则 cos(

﹣α)=() C. D.

考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 运用同角的平方关系,求得 cosα,再由两角差的余弦公式,即可得到所求值. 解答: 解:sinα= ,α∈( 则 cosα=﹣ 则 cos( = =﹣ ×( . =﹣ , ﹣α)=cos ) cosα+sin sinα ,π) ,

故选 A. 点评: 本题考查同角的平方关系,两角差的余弦公式及运用,考查运算能力,属于基础题.

10. (4 分)已知平面向量 =(1,2) , =(﹣2,m) ,且 ∥ ,则 A.(﹣5,﹣10) B.(﹣4,﹣8) C.(﹣3,﹣6)

=() D.(﹣2,﹣4)

考点: 平面向量坐标表示的应用.

分析: 向量平行的充要条件的应用一种做法是根据平行求出向量的坐标,然后用向量线性运算得到结 果;另一种做法是针对选择题的特殊做法,即排除法. 解答: 解:排除法:横坐标为 2+(﹣6)=﹣4, 故选 B. 点评: 认识向量的代数特性.向量的坐标表示,实现了“形”与“数”的互相转化.以向量为工具,几何问 题可以代数化,代数问题可以几何化. 11. (4 分)设 tanα,tanβ 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根,则 tan(α+β)的值为() A.﹣3 B. ﹣1 C. 1 D.3 考点: 两角和与差的正切函数;根与系数的关系. 专题: 计算题. 2 分析: 由 tanα,tanβ 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根,利用根与系数的关系分别求出 tanα+tanβ 及 tanαtanβ 的值,然后将 tan(α+β)利用两角和与差的正切函数公式化简后,将 tanα+tanβ 及 tanαtanβ 的值代入即可 求出值. 解答: 解:∵tanα,tanβ 是方程 x ﹣3x+2=0 的两个根, ∴tanα+tanβ=3,tanαtanβ=2, 则 tan(α+β)= = =﹣3.
2 2

故选 A 点评: 此题考查了两角和与差的正切函数公式,以及根与系数的关系,利用了整体代入的思想,熟练掌 握公式是解本题的关键.

12. (4 分)函数 f(x)=sinx﹣cos(x+ A. B.

)的值域为() C. D.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的定义域和值域. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 通过两角和的余弦函数化简函数的表达式,利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的 形式,求出函数的值域. 解答: 解:函数 f(x)=sinx﹣cos(x+ =﹣ = + sin(x﹣ )∈ . )=sinx﹣ +

故选 B. 点评: 本题考查三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的定义域和值域,考查计算能力. 二、填空题(每空 4 分,共 16 分) 13. (4 分)已知扇形的圆心角为 120°,半径为 3,则扇形的面积是 3π. 考点: 扇形面积公式. 专题: 计算题.

分析: 把扇形的圆心角为

代入扇形的面积 s= α r
0

2

进行计算求值. ,则扇形的面积是 αr =
2

解答: 解:扇形的圆心角为 120 ,即扇形的圆心角为

=3π, 故答案为:3π. 点评: 本题考查扇形的面积公式的应用,求出扇形的圆心角的弧度数是解题的突破口. 14. (8 分)已知 ABCD 为平行四边形,A(﹣1,2) ,B (0,0) ,C(1,7) ,则 D 点坐标为(0,9) . 考点: 平面向量的坐标运算;相等向量与相反向量. 专题: 常规题型;计算题. 分析: 设出 D 的坐标,利用 ABCD 为平行四边形得到两对边对应的向量相等,利用向量坐标的公式求 出两个的坐标,利用相等向量的坐标关系,列出方程,求出 D 的坐标. 解答: 解:设 D(x,y)则 又 ,



解得 ∴D(0,9) 故答案为: (0,9) . 点评: 本题考查向量的坐标公式: 终点的坐标减去始点的坐标; 向量相等的坐标关系: 对应的坐标相等. 15. (4 分)函数 的定义域是,k∈Z.

考点: 函数的值域;正弦函数的单调性. 分析: 由题意可得 sinx≥0 故 2kπ+0≤x≤2kπ+π,k∈Z,解出 x 的范围,即得所求. 解答: 解:由题意可得 sinx≥0, ∴2kπ+0≤x≤2kπ+π,k∈Z, 故函数的定义域为,k∈Z, 故答案为: ,k∈Z. 点评: 本题考查函数的定义域,以及三角函数在各个象限中的符号,得到 2kπ+0≤x≤2kπ+π,k∈Z,是解 题的关键. 16. (4 分)给出下列五个命题: ①函数 的一条对称轴是 ,0)对称; ;

②函数 y=tanx 的图象关于点(

③正弦函数在第一象限为增函数; ④若 ,则 x1﹣x2=kπ,其中 k∈Z.

以上四个命题中正确的有①②(填写正确命题前面的序号) 考点: 正弦函数的对称性;三角函数的化简求值;正切函数的奇偶性与对称性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 把 x= 代入函数得 y=1,为最大值,故①正确. ,0)是函数 y=tanx 的图象的对称中心,故②正确.

由正切函数的图象特征可得(

通过举反例可得③是不正确的. 若 ﹣ ) ,k∈z, ,故④不正确. y=1,为最大值,故①正确. ,0)是函数 y=tanx 的图象的一个对称中心,故②正确. ,则有 2x1﹣ =2kπ+2x2﹣ ,或 2x1﹣ =2kπ+π﹣(2x2

即 x1﹣x2=kπ,或 x1+x2=kπ+ 解答: 解:把 x=

代入函数得

结合函数 y=tanx 的图象可得点(

③正弦函数在第一象限为增函数,不正确,如 390°>60°,都是第一象限角,但 sin390°<sin60°. 若 ﹣ ) ,k∈z, ,k∈z,故④不正确. ,则有 2x1﹣ =2kπ+2x2﹣ ,或 2x1﹣ =2kπ+π﹣(2x2

∴x1﹣x2=kπ,或 x1+x2=kπ+

故答案为①②. 点评: 本题考查正弦函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性,掌握正弦函数的图象和性质,是解题的 关键,属于中档题. 三、解答题: (共 36 分) 17. (8 分)已知函数 y=3sin( x﹣ )

(1)用五点法做出函数一个周期的图象; (2)说明此函数是由 y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的? 考点: 五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)用五点法求出对应的点的坐标,即可在坐标系中作出函数一个周期的图象; (2)根据函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,得出结论. 解答: 解: (1)列表: x x﹣ 0 π 2π

3sin( x﹣

)0 3

0

﹣3 0

描点、连线,如图所示: (2)y=sinx 的图象上的所有点向右平移 个单位,得到函数 y=sin(x﹣ )的图象,再把所得图象上各 )的图象;再把函数 y=sin ( x )的图象.

个点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,即得函数 y=sin ( x﹣ ﹣

)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变) ,就得到 y=3sin( x﹣

点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质,要求熟练掌握五点作图法,以及熟练掌握三角函数的有关 概念和性质,属于基本知识的考查.

18. (8 分)已知 α 为第二象限角, (1)化简 f(α) ; (2)若 ,求 f(α)的值.



考点: 运用诱导公式化简求值. 分析: (1)原式利用诱导公式化简,约分即可得到结果; (2)已知等式左边利用诱导公式化简求出 sinα 的值,由 α 为第二象限角,利用同角三角函数间的基本关 系求出 cosα 的值,即可确定出 f(α)的值. 解答: 解: (1)f(α)= (2)∵cos(α﹣ ∴cosα=﹣ 则 f(α)=﹣cosα= )=cos( =﹣ . =﹣cosα; ﹣α)=sinα= ,α 为第二象限角, ,

点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

19. (10 分)已知向量 , 的夹角为 60°,且| |=2,| |=1, (1)求 ? ;

(2)求| + |.

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 计算题. 分析: (1)由已知中,向量 , 的夹角为 60°,且| |=2,| |=1,代入平面向量的数量积公式,即可得 到答案. (2)由| + | =( + ) ,再结合已知中| |=2,| |=1,及(1)的结论,即可得到答案. 解答: 解: (1) × =| || |cos60°=2×1× =1 (2)| + | =( + ) = +2 ? +
2 2 2 2

=4+2×1+1 =7 所以| + |= 点评: 本题考查的知识点是平面向量数量积的坐标表示、模、及夹角,直接考查公式本身的直接应用, 属基础题.

20. (10 分)已知 =(1,2) , =(﹣3,2) ,当 k 为何值时, (1)k 与 ﹣3 垂直?

(2)k + 与 ﹣3 平行?平行时它们是同向还是反向?

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 先根据向量坐标运算,求出 k 的符号判断平行时它们是同向还是反向 解答: 解:∵ =(1,2) , =(﹣3,2) , ∴k ﹣3 =k(1,2)+(﹣3,2)=(k﹣3,2k+2) , =(1,2)﹣3(﹣3,2)=(10,﹣4) , , ﹣3 ,再根据向量垂直和平行的条件求出 k 的值,根据 λ

(1)∵(k ∴(k

)⊥( ﹣3

) ,

)?( ﹣3

)=0,

即 10(k﹣3)﹣4(2k+2)=0, 解得 k=19, (2) )∵(k )∥( ﹣3 ) ,

∴(k﹣3,2k+2)=λ(10,﹣4) , 解得 k= ,λ=

故平行时是反向 点评: 本题考查了向量的坐标运算,以及向量垂直和平行的条件,属于基础题


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