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高中数学竞赛训练题--解答题


高中数学竞赛训练题—解答题
1. a, b 是两个不相等的正数,且满足 a ? b ? a ? b ,求所有可能的整数 c,使得 c ? 9ab .
3 3 2 2

2.已知不等式 的结论。

1 1 1 1 a ? ? ? ... ? ? 对一切正整数 a 均成立,求正整数 a 的最大值,并证明你 n ?1 n ?

2 n ? 3 3n ? 1 24

2 2 3.设 ?an ? 为 a1 ? 4 的单调递增数列,且满足 an ?1 ? an ? 16 ? 8( an ?1 ? an ) ? 2 an ?1an ,求 { an }的通项公式。

4. (1)设 x ? 0, y ? 0, 求证: (2)设 x ? 0, y ? 0, z ? 0,

x2 3x ? y ? ; x? y 4

x3 y3 z3 xy ? yz ? zx 求证: ? ? ? . x? y y?z z?x 2
5. 设数列 , , , , , ,?, ,

1 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 1

1 2 k , ?, , ? , k k ?1 1

问: (1)这个数列第 2010 项的值是多少; (2)在这个数列中,第 2010 个值为 1 的项的序号是多少. 6. 设有红、黑、白三种颜色的球各 10 个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中,要求每个袋子里三种颜色球都 有,且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。 7.已知数列 {an } 满足 a1 ? a ( a ? 0, 且a ? 1 ) ,前 n 项和为 S n ,且 S n ? 记 bn ? an lg | an | ( n ? N ) ,当 a ? ?
?

a (1 ? an ) , 1? a

7 时,问是否存在正整数 m ,使得对于任意正整数 n ,都有 bn ? bm ? 3

如果存在,求出 m 的值;如果不存在,说明理由. 8. 在 ?ABC 中,已 AB? AC ? 9,sin B ? cos A sin C ,又 ?ABC 的面积等于 6. (Ⅰ)求 ?ABC 的三边之长; (Ⅱ)设 P 是 ?ABC (含边界)内一点,P 到三边 AB、BC、AB 的距离为 d1 、 d2 和 d3 ,求 d1 ? d2 ? d3 的取值范 围. 9.在数列 ?an ? 中, a1 , a2 是给定的非零整数, an ? 2 ? an ?1 ? an . (1)若 a15 ? 2 , a16 ? ?1 ,求 a2008 ; (2)证明:从 ?an ? 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.
??? ? ????

10. 已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) , Rt ?ABC 以 A (0,1)为直角顶点,边 AB、BC 与椭圆交于两点 B、C。若 2 a
27 ,求 a 的值。 8
1

△ABC 面积的最大值为

2 2 11. 如图,椭圆 C : x ? y ? 1(a ? b ? 0) , A1 、 A2 、 B1 、 B2 为椭圆 C 的顶点. 2 2

a

b

(Ⅰ)设点 M ( x0 ,0) ,若当且仅当椭圆 C 上的点 P 在椭圆的顶点时, | PM | 取得最大值与最小值,求 x0 的取值范 围; ( Ⅱ) 若椭 圆 C 上的 点 P 到 焦点 距离 的最大 值为 3 , 最小 值为 1 , 且 与直 线

l : y ? kx ? m 相交于 A , ( A,B 不是椭圆的左右顶点) , 并满足 AA2 ? BA2 . 试 B 两点
研究:直线 l 是否过定点?若过定点,请求出定点坐标,若不过定点,请说明理由.

12.如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧面 SAD 为正三角形,且垂直于底面 ABCD . S (1)求四棱锥 S ? ABCD 的体积; (2)在边 CD 上是否存在一点 E ,使得 SB ? AE ?请说明理由.

D A
13. (本小题满分 15 分) 关于 x、y 的方程 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 . (1)若方程 C 表示圆,求实数 m 的取值范围; (2)在方程 C 表示圆时,若该圆与直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M、N 两点,且 | MN |?

C

B

4 5 ,求实数 m 的 5

值; (3)在(2)的条件下,若定点 A 的坐标为(1,0) ,点 P 是线段 MN 上的动点,求直线 AP 的斜率的取值范围.

14.已知椭圆 C:

x2 y2 4 25 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) ,其离心率为 ,两准线之间的距离为 。 2 a b 5 2

(1)求 a, b 之值; (2)设点 A 坐标为(6, 0),B 为椭圆 C 上的动点,以 A 为直角顶点,作等腰直角△ABP(字母 A,B,P 按顺时针方向排列) ,求 P 点的轨迹方程。

15. 如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, E 是 AC 中点. (Ⅰ)求证: AB1 //平面 BEC1 ; (Ⅱ)若 AB ? 2, AA1 ? 2 , 求点 A 到平面 BEC1 的距离; (Ⅲ)当 A1 A 为何值时,二面角 E—BC1—C 的正弦值为 10 ?
AB
5

B

B1 A A1

E C 2 C1

16. (本小题满分 15 分) 在 xoy 平面上有一系列点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), …, Pn ( x n , y n ), ? .对每个正整数 n ,点 Pn 位于函数

y ? x 2 ( x ? 0) 的图象上.以点 Pn 为圆心的⊙ Pn 与 x 轴都相切,且⊙ Pn 与⊙ Pn ?1 彼此外切.若 x1 ? 1 ,且 xn ?1 ? xn ( n ? N * ) .
(1)求证:数列 {

1 } 是等差数列; xn

(2)设⊙ Pn 的面积为 S n , Tn ?
*

S1 ? S 2 ? ? ? ? ? S n ,
Pn+1

Pn

3 ? 求证:对任意 n ? N ,均有 Tn ? . 2

17. (本小题满分 18 分) 二次函数 f ( x ) ? px 2 ? qx ? r 中,实数 p、q、r 满足 求证: (1) pf (

p q r ? ? =0,其中 m ? 0 . m ? 2 m ?1 m

m ) ? 0 ;(2)方程 f ( x ) ? 0 在(0,1)内恒有解. m ?1

A1
18.如图,斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长均为 a , 侧面 B1C1CB ? 底面 ABC ,且 AC1 ? BC . (1) 求异面直线 AA1 与 B1C1 间的距离; (2) 求侧面 A1 B1 BA 与底面 ABC 所成二面角的度数.

C1

B1 A C

B

19. 设向量 i, j 为直角坐标平面内 x 轴, y 轴正方向上的单位向量. 若向量 a ? ( x ? 2) i ? y j , b ? ( x ? 2) i ? y j, 且 ? a ? ? ? b ?? ? . (1)求满足上述条件的点 P( x, y ) 的轨迹方程; (2)设 A( ?1, 0), F (2, 0) ,问是否存在常数 ? (? ? 0) ,使得 ?PFA ? ??PAF 恒成立?证明你的结论.

?

?

20.已知抛物线 y ? ?2 x 2 ? x ?

1 1 11 1 1 和 A( , ) 。过 F ( , ? ) 任作直线,交抛物线于 B、C 两点。 8 4 8 4 8

⑴求△ABC重心的轨迹方程,并表示成 y ? f ( x ) 形式;
3

⑵数列 ? xk ? 中, 0 ? x1 ?

n 3 1 k ,且满足 xk ?1 ? f ( xk ) 。试证: ? xk ?1 ? 2 5 k ?1

x2 y2 ? = 1 ( a>b>0 )的两个焦点为 F1 ( – c , 0 ),M 是椭圆上一点,且满足 F1 M ? F2 M = 0。 (Ⅰ) a2 b2 求离心率 e 的取值范围; (Ⅱ)设斜率为 k ( k ≠ 0 )的直线 l 与椭圆 C 相于不同的两点 A、B,Q 为 AB 的中点,

21.椭圆 C:

问 A、B 两点能否关于过点 P ? 0,

? ? ?

3? ? 、Q 的直线对称?若能,求出 k 的范围,若不能,请说明理由。 3 ? ?

22.已知定义在 R 上的函数 f(x) 同时满足: (1) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? 2 f ( x1 )cos2 x2 ? 4a sin x2 ( x1 , x2 ? R,a 为常数) ;
2

? ? (3)当 x ? [0, ] 时, f ( x) ≤2. 4 4 求: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)常数 a 的取值范围.
(2) f (0) ? f ( ) ? 1 ; 23.把正奇数数列 {2n ? 1} 中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表: 1 3 7 — — — — 9 5 11 — — — —



设 aij (i,j ? N *) 是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数。 (I) 若 a mn ? 2005 ,求 m,n 的值; (II) 已知函数 f ( x ) 的反函数为 f
?1

( x) ? 8n x 3

( x ? 0) ,若记三角形数表中从上往下数第 n 行各数的和为

bn ,求数列 { f (bn )} 的前 n 项和 S n 。
kabc ? (a ? b) 2 ? (a ? b ? 4c) 2 ,求 k 的最大值。 a?b?c

24.若 a 、 b 、 c ? R ? ,且满足

25. 设定义在[0,2]上的函数 f ( x ) 满足下列条件: ①对于 x ? [0, 2] ,总有 f (2 ? x) ? f ( x) ,且 f ( x) ? 1 , f (1) ? 3 ; ②对于 x, y ? [1, 2] ,若 x ? y ? 3 ,则 f ( x ) ? f ( y ) ? f ( x ? y ? 2) ? 1 . 证明: (1) f (

1 2 ) ? n ?1( n ? N* ) ; (2) x ? [1, 2] 时, 1 ? f ( x ) ? 13 ? 6 x . n 3 3
2

26.求解不等式 x ? a ? x ? 1 ? 1 。

4

27.设非负等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,记 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,证明: (1)若 m, n, p ? N * ,且 m ? n ? 2 p ,则

1 1 2 ? ? ; Sm Sn S p

(2)若 a503 ?

2007 1 1 ,则 ? ? 2008 。 1005 n ?1 S n

28.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , a ? n
4

an?1 ( n ? 2, n ? N ) . ?? 1? an ?1 ? 2
n

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式 a n ; (Ⅱ)设 b
n

?

1 an
2

,求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n ;

(Ⅲ)设 c ? a sin (2n ? 1)? ,数列 ?c n ?的前 n 项和为 Tn .求证:对任意的 n ? N ? , Tn ? 4 . n n
2

7

高中数学竞赛训练题答案—解答题部分
1. a, b 是两个不相等的正数,且满足 a ? b ? a ? b ,求所有可能的整数 c,使得 c ? 9ab . 1.解:由 a ? b ? a ? b 得 a ? ab ? b ? a ? b ,所以 ab ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? 0 , 由此得到 a ? b ? 1 .
3 3 2 2 2 2
2

3

3

2

2

1 4 (a ? b) 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? (a ? b) ,故 1 ? a ? b ? .………………………4 分 4 3 4 又因为 ab ? ( a ? b) 2 ? ( a ? b) , 令 t ? a ? b ? (1, ) 则 ab ? t 2 ? t .……………6 分 3 4 当 t ? 1 时, t 2 ? t 关于 t 单调递增,所以 0 ? ab ? , 0 ? 9ab ? 4 . 9 因此 c 可以取 1,2,3. …………………………………………………………………10 分 1 1 1 1 13 2:先证 f(n)= ? ? ? ... ? 单调递增,则 f(1)= 最小 n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 12 13 a 故 > , 即a ? 26, 所以a ? 25 . 12 24
又因为
2 2 3 解: an ?1 ? an ? 16 ? 8( an ?1 ? an ) ? 2 an ?1an

? ( an ?1 ? an ) 2 ? 8( an ?1 ? an ) ? 16 ? 4an ?1an ? ( an ?1 ? an ? 4) 2 ? 4an ?1an ? an?1 ? an ? 4 ? 2 an ?1an (由题意可知取正号。 )

? ( an?1 ? an ) 2 ? 4 ? an?1 ? an ? 2
因此,

? a ? 公差为2的等差数列,即
n

an ? 2n 。从而可得 an ? 4n 2

x2 3x ? y ( x ? y) 2 x2 3x ? y 4 证明: (1)? ? ? ? 0 ,∴ ? . x? y 4 4( x ? y ) x? y 4

5

x3 3 x 2 ? xy (2)由(1)得 ? . x? y 4 y3 3 y 2 ? yz z3 3 z 2 ? zx 类似的 ? , ? , y?z 4 z? x 4 x3 y3 z3 3 x 2 ? xy ? 3 y 2 ? yz ? 3z 2 ? zx ∴ ? ? ? x? y y? z z? x 4 3( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? xy ? yz ? zx ? 4 3( xy ? yz ? zx ) ? xy ? yz ? zx ? 4 xy ? yz ? zx ? 2
5 解(1)将数列分组: ( ), ( , ), ( , , ), ?, ( , 因为 1+2+3+…+62=1953;1+2+3+…+63=2016, 所以数列的第 2010 项属于第 63 组倒数第 7 个数,即为

1 1

1 2 2 1

1 2 3 3 2 1

1 2 k , ?, ), ? k k ?1 1 57 。 7
--------- 10 分

(2)由以上分组可以知道,每个奇数组中出现一个 1,所以第 2010 个 1 出现在第 4019 组,而第 4019 组中的 1 位 于 该 组 第 2010 位 , 所 以 第 2010 个 值 为 1 的 项 的 序 号 为 ( 1+2+3+ … +4018 ) +2010=809428 。 ------------ 17 分 6 解:设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为 x, y, z ,则有 1 ? x, y, z ? 9 ,且

xyz ? (10 ? x )(10 ? y )(10 ? z )
----------------- 5 分 即有

(*1)

xyz ? 500 ? 50( x ? y ? z ) ? 5( xy ? yz ? zx) 。

(*2)

于是有 5 xyz 。因此 x, y, z 中必有一个取 5。不妨设 x ? 5 ,代入(*1)式,得到

y ? z ? 10 。

----------------10 分

此时,y 可取 1,2,…,8,9(相应地 z 取 9,8,…,2,1) ,共 9 种放法。同理可得 y=5 或者 z=5 时,也各有 9 种放法,但有 x ? y ? z 时二种放法重复。因此可得共有 9×3-2 = 25 种放法。 7 解:当 n ? 2 时, S n ? ---------------------17 分

a a (1 ? an ) , S n ?1 ? (1 ? an ?1 ) , 1? a 1? a a a ∴ an ? Sn ? S n ?1 ? [(1 ? an ) ? (1 ? an ?1 )] ? (an ?1 ? an ) , 1? a 1? a 即 an ? aan ?1 ,又 a1 ? a ? 0 ,
所以, {an } 是首项和公比都是 a 的等比数列, ∴ an ? a ,于是 bn ? an lg | an |? na lg | a | .
n n

7 ? (?1, 0) ,∴ lg | a |? 0 , 3 故当 n 为偶数时, bn ? na n lg | a |? 0 ,当 n 为奇数时, bn ? 0 . 可见,若存在满足条件的正整数 m ,则 m 为偶数.
∵a ? ?
6

b2 k ? 2 ? b2 k ? [(2k ? 2)a 2 k ? 2 ? 2ka 2 k ]lg | a | ? 2a 2 k [(k ? 1)a 2 ? k ]lg | a | ? 2a 2 k [k (a 2 ? 1) ? a 2 ? ? 2a 2 k (a 2 ? 1)(k ?
当a ? ? 当k ?

a2 ?1 ]lg | a | a2 ?1

a2 ) lg | a | (k ? N ? ). 1 ? a2

7 a2 7 2 时, a 2 ? 1 ? ? , 2a 2 k ( a 2 ? 1) lg | a |? 0 .又 ? 2 3 9 1? a 2

7 时, b2 k ? 2 ? b2 k ,即 b8 ? b10 ? b12 ? ? ; 2 7 当 k ? 时, b2 k ? 2 ? b2 k ,即 b8 ? b6 ? b4 ? b2 . 2 故存在正整数 m ? 8 ,使得对于任意正整数 n ,都有 bn ? bm .
8.解: (Ⅰ)设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a, b, c, ∵ sin B ? cos A sin C ,∴ cos A ? 又由余弦定理有 cos A ?
sin B b ,由正弦定理有 cos A ? , sin C c

b2 ? c 2 ? a 2 b b2 ? c 2 ? a 2 ,∴ ? ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 , 2bc c 2bc

所以 ?ABC 为 Rt ?ABC ,且 ?C ? 90? .
??? ? ???? ??? ? ???? ? AB? AC ?| AB || AC | cos A ? 9 ? 又? ? ???? 1 ??? ? S ?ABC ? | AB || AC | sin A ? 6 ? 2

① ② 令 a=4k, b=3k (k>0)

①÷②,得 tan A ? ?
1 2

4 3

a b

则 S?ABC ? ab ? 6 ? k ? 1 ,∴三边长分别为 3,4,5. (Ⅱ)以 C 为坐标原点,射线 CA 为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则 A、B 坐标为(3,0) , (0,4) ,直线 AB 方程为 4 x ? 3 y ? 12 ? 0. 设 P 点坐标为(x, y) ,则由 P 到三边 AB、BC、AB 的距离为 d1, d2 和 d3 可知
d1 ? d 2 ? d 3 ? x ? y ?

? x ≥ 0, | 4 x ? 3 y ? 12 | x ? 2 y ? 12 ,且 ? 故 d1 ? d2 ? d3 ? . ? y ≥ 0, 5 5 ?4 x ? 3 y ? 12 ≤ 0. ?

? 令 m ? x ? 2 y ,由线性规划知识可知 0≤m≤8,故 d1+d2+d3 的取值范围是 ? ? 5 , 4? ? ?

12

9 解: (1)∵ a15 ? 2 , a16 ? ?1 , a17 ? 3 , a18 ? 4 , a19 ? 1 , a20 ? 3 , a21 ? 2 , a22 ? 1 , a23 ? 1 , a24 ? 0 ,

a25 ? 1 , a26 ? 1 , a27 ? 0 ,……
∴自第 22 项起,每三个相邻的项周期地取值 1,1,0,故 a2008 =1.……4 分 (2)首先证明数列 ?an ? 必在有限项后出现零项.假设 ?an ? 中没有零项, 由于 an ? 2 ? an ?1 ? an ,所以. n ? 3 时,都有 an ? 1 .……………………6 分 当 an ?1 ? an 时, an ? 2 ? an ?1 ? an ? an ?1 ? 1 ( n ? 3 ) ;

7

当 an ?1 ? an 时, an ? 2 ? an ? an ?1 ? an ? 1 ( n ? 3 ) , 即 an ? 2 的值要么比 an ?1 至少小 1,要么比 an 至少小 1.…………………8 分 令 bn ? ?

? a2 n ?1 ?a2 n +2

(a2 n ?1 ? a2 n ? 2 ) (a2 n ?1 ? a2 n ? 2 )

, n ? 1, 2,... ,则 0 ? bn ?1 ? bn ? 1 .

由 于 b1 是 确 定 的 正 整 数 , 这 样 下 去 , 必 然 存 在 某 项 bk ? 0 , 这 与 bk ? 0 矛 盾 , 从 而 ?an ? 中 必 有 零 项.……………………………………………………….……10 分 若第一次出现的零项为 an ,记 an ?1 ? M ( M ? 0) ,则自第 n 项开始,每三个相邻的项周期地取值 0, M , M ,即

? an ? 3 k ? 0 ? ? an ?3 k ?1 ? M , k ? 0,1, 2... ?a ? n ? 3k ? 2 ? M
所以数列 ?an ? 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.……12 分 10 解: 不妨设 AB 的方程 y ? kx ? 1?k ? 0? ,则 AC 的方程为 y ? ?

1 x ? 1。 k

? y ? kx ? 1 ?2a 2 k ? 2 2 2 2 由 ? x2 得: ( 1 ? a k ) x ? 2 a kx ? 0 ? x ? , B 2 1 ? a2k 2 ? 2 ? y ?1 ?a 1 ? y ? ? x ?1 ? 2a 2 k ? k 由? 2 得: ( a 2 ? k 2 ) x 2 ? 2a 2 kx ? 0 ? xC ? 2 , 2 a ? k x 2 ? ? y ?1 ? ? a2
从而有

AB ? 1 ? k 2

2a 2 k 1 2a 2 k , AC ? 1 ? , 1? a2k 2 k 2 a2 ? k 2
k? 1 k

--------5 分

于是 S

?ABC

?

1 k (1 ? k ) 。 AB AC ? 2a 4 ? 2a 4 2 2 2 2 1 2 (1 ? a k )(a ? k ) 2 2 4 a (k ? 2 ) ? a ? 1 k

2

令t ? k ?

1 ? 2 ,有 k

S

?ABC ?

2a 4 t ? a 2 t 2 ? (a 2 ? 1)2

2a 4 , (a 2 ? 1)2 2 a t? t

--------- 10 分

因为 a t ?

2

(a 2 ? 1)2 a2 ?1 ? 2a (a 2 ? 1), t ? 时等号成立。 t a
------------- 14 分
8

a2 ?1 a3 因此当 t= , ( S?ABC )max ? 2 , a a ?1



a3 27 3 ? 297 ? ? (a ? 3)(8a 2 ? 3a ? 9) ? 0 ? a ? 3, a ? 2 a ?1 8 16
--------- 17 分

a2 ?1 3 ? 297 ? 2 ? a ? 1 ? 2,? a ? (不合题意,舍去), ? a ? 3. a 16

c2 2 2 2 11. (Ⅰ)设 f ( x ) ?| PM | ? ( x ? x 0 ) ? y ? 2 x ? 2 x0 x ? x0 ? b . a
2 2 2

对称轴方程 x ?

a 2 x0 a 2 x0 a 2 x0 a 2 x0 ,由题意 ? a 或 ? ? a 或 ? 0. c2 c2 c2 c2

∴ x0 ?

c2 c2 c2 c2 或 x0 ? ? 或 x 0 ? 0 ,∴ x0 ? (??, ? ] ? {0} ? [ ,??) . a a a a

(Ⅱ)由已知与(Ⅰ)得: a ? c ? 3 , a ? c ? 1 ,? a ? 2 , c ? 1 ,? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 .

x2 y2 ? 椭圆的标准方程为 ? ? 1. 4 3

设 A( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) ,

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 联立 ? x 2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 8mkx ? 4( m ? 3) ? 0 , ? 4 ? 3 ? 1. ?
? ?? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0,即3 ? 4k 2 ? m2 ? 0,则 ? 8mk ? , ? x1 ? x2 ? ? 2 3 ? 4 k ? ? 4(m 2 ? 3) . ? x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2 ?
又 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m ?
2 2

3(m2 ? 4k 2 ) , 3 ? 4k 2

因为椭圆的右顶点为 D (2, 0) ,? k AD k BD ? ?1 ,即

y1 y ? 2 ? ?1 , x1 ? 2 x2 ? 2

3(m 2 ? 4k 2 ) 4(m 2 ? 3) 16mk ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ,? ? ? ? 4 ? 0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? 7m 2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 .解得: m1 ? ?2k , m2 ? ?

2k ,且均满足 3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0 , 7

当 m1 ? ?2k 时, l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2, 0) ,与已知矛盾; 当 m2 ? ?

2? 2k ? ?2 ? 时, l 的方程为 y ? k ? x ? ? ,直线过定点 ? , 0? . 7 7? ? ?7 ?
S
9

12.解: (1)过点 S 作 SF ? AD , F 为垂足. 因为侧面 SAD 垂直于底面 ABCD ,

所以 SF ? 底面 ABCD . 即 SF 为四棱锥 S ? ABCD 的高.……1 分 又侧面 SAD 为正三角形,且边长为 a , 所以 SF ?

3 a .………………2 分 2
1 ? AB ? CD ? SF 3
S

由此, V S ? ABCD ?

1 3 ? ?a?a? a 3 2 ? 3 3 a .………………4 分 6
F A

E

D

C

B

所以四棱锥 S ? ABCD 的体积为

3 3 a .………………5 分 6

(2)在边 CD 上存在一点 E ,使得 SB ? AE .………………6 分 取边 CD 的中点 E ,连接 AE 、 BF 交于 O .………………7 分 因为 E 、 F 分别为正方形 ABCD 的边 CD 、 AD 的中点,所以 ?ADE 和 ?BAF 为全等的直角三角形,且 ?AFB ? ?DEA .………………8 分 而 ?DEA ? ?EAD ? 90 ? ,所以 ?AFB ? ?EAD ? 90 ? ,即 ?AOF ? 90 ? .所以 AE ? BF .………………10 分 又因为 SF ? 底面 ABCD ,所以 SF ? AE ,即 AE ? 平面 SBF ,………………11 分 所以 SB ? AE .………………12 分 13.解(1)方程 C 可化为: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ? m .………………1 分 要使该方程表示圆,只需 5 ? m ? 0 ,即 m ? 5 .………………3 分 所以,方程 C 表示圆时,实数 m 的取值范围是 (??,5) .………………4 分 (2)由(1)知,当方程 C 表示圆时,圆心为 C (1,2) ,半径为 5 ? m .……5 分 过圆心 C 作直线 l 的垂线 CD , D 为垂足.则

y

| CD |?

|1? 2? 2 ? 4 | 1 ?2
2 2

?

5 .………………6 分 5

M D O

C N

4 5 2 5 又由 | MN |? 知 | MD |? .………………7 分 5 5
| CM | 2 ?| CD | 2 ? | MD | 2 ,所以 ( 5 ? m ) 2 ? (
解得 m ? 4 .………………10 分 (3)由(2)得圆 C 的方程为: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 .

x

5 2 2 5 2 ) ?( ) ,……8 分 5 5

y

M
O

C N

A

x

10

8 ? ?( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 ? x M ? 0 ? x N ? 5 再由 ? 得? 和? .………12 分 x ? 2y ? 4 ? 0 ? yM ? 2 ? y N ? 6 ? 5 ?
所以 k AM ? ?2 , k AN ? 2 ,……13 分由图象可知, k AP ? k AM 或 k AP ? k AN .……14 分 所以直线 AP 的斜率的取值范围是 (??,?2] ? [2,??) .………………15 分

c 4 a 2 25 14 解: (1)设 c 为椭圆的焦半径,则 ? , ? 。于是有 a=5,b=3。 a 5 c 4
(2) 解法一:设 B 点坐标为 ( s, t ) ,P 点坐标为 ( x, y ) 。于是有

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? (s ? 6,t), AP ? ( x ? 6,y )。 因为 AB ? AP ,所以有 (s ? 6,t) ( x ? 6,y ) ? ( s ? 6)( x ? 6) ? ty ? 0 。
又因为 ABP 为等腰直角三角形,所以有 AB=AP,即
2 2 (s ? 6) ? t 2 ? (x ? 6) ? y2 。

(A1 )

(A2 )

由(A1)推出 s ? 6 ? ?

ty t 2 y2 ? ( s ? 6)2 ? ,代入(A2) ,得 x?6 ( x ? 6) 2

2 2 2 t2 ? (x ? 6) 从而有 y ? (s ? 6) ,即 s ? 6 ? y (不合题意,舍去)或 s ? 6 ? y 。

代入椭圆方程,即得动点 P 的轨迹方程

2 2 (x ? 6) (y ? 6) ? ? 1。 9 25

解法二: 设 B ( x1 , y1 ) , P ( x, y ), AB ? r ,则以 A 为圆心,r 为半径的圆的参数方程为

? x ? 6 ? r cos ? 。 ? ? y ? r sin ?
设 AB 与 x 轴正方向夹角为 ? ,B 点的参数表示为 ?

? x1 ? 6 ? r cos ? , ? y1 ? r sin ?

P 点的参数表示为 ?

0 ? ? x ? 6 ? r cos(90 ? ? ) ? x ? 6 ? r sin ? ,即 ? . 0 y ? ? r cos ? y ? r sin(90 ? ? ) ? ? ?

从上面两式,得到 ?

? x1 ? 6 ? y 。 ? y1 ? x ? 6

又由于 B 点在椭圆上,可得

( x ? 6)2 ( y ? 6) 2 ? ? 1 。此即为 P 点的轨迹方程。 9 25

15. 解: (Ⅰ)连接 B1C 交 BC1 于点 F ,连接 EF . 在 ?AB1C 中,因为 E , F 分别为 AC , B1C 中点,则 EF // AB1 .

11

因为 AB1 ? 平面 BEC1 , EF ? 平面 BEC1 ,则 AB1 // 平面 BEC1 . (Ⅱ)法一:由题知点 A 到平面 BEC1 的距离即点 C 到平面 BEC1 的距离,
B B1 A A1

? ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱,? BE ? 平面 ACC1 A1 ,
G H C1

BE ? 平面 BEC1 ,? 平面 BEC1 ? 平面 ACC1 A1 ,
C

E

过点 C 作 CH ? C1 E 于点 H ,则 CH ? 平面 BEC1 ,

? CH 即点 C 到平面 BEC1 的距离.
在 Rt △ CEC 1 中, CE = 1 , CC 1 ?

2 , C 1 E ? 3 ,由面积相等可得 CH =

6 . 3

? 点 A 到平面 BEC1 的距离为

6 . 3
3 , C 1E ? 3 ,

法 二 : 设 点 A 到 平 面 BEC1 的 距 离 为 h , 在 Rt △ BEC 1 中 , BE =

? S ?BEC1 ?

1 3 1 3 ? 3 ? 3 ? ? S ?ABE ? ? AE ? BE ? . 2 2 2 2

1 1 3 3 6 ? V A? BEC1 ? VC1 ? ABE ,? S ?BEC1 ? h ? S ?ABE ? CC1 ,? ? h ? ? 2 ,? h ? . 3 3 2 2 3
z

? 点 A 到平面 BEC1 的距离为

6 . 3
C x

B A

B1 A1

法三:取 A1C1 中点 G ,连接 EG , 以 E 为坐标原点建立空间直角坐标系,如图示 则 A?? 1,0,0 ?, B 0,0, 3 , E ?0,0,0 ?, C1 1, 2 ,0 , 则 BE ? 0,0,? 3 , EC1 ? 1, 2 ,0 , AE ? ?1,0,0? . 设平面 BEC1 的法向量为 n ? ?x 0 , y 0 , z 0 ? , 则?

E C1

G

y

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?n ? BE ? 0 ? ?n ? EC1 ? 0

即?

? ?? 3 z 0 ? 0 ? ? x0 ? 2 y0 ? 0

,令 x 0 ? 2 ,则 y 0 ? ? 2 , z 0 ? 0 ,即 n ? 2,? 2 ,0 .

?

?

设点 A 到平面 BEC1 的距离为 d ,则 d ?

AE ? n n

?

2 4?2

?

6 , 3

? 点 A 到平面 BEC1 的距离为

6 . 3

(Ⅲ)法一:过 H 作 HG ? BC1 于 G ,由三垂线定理得 CG ? BC1 ,
12

故∠ CGH 为二面角 E ? BC1 ? C 的平面角. 当 AA1=2a,AB=b,则 CH ?

ab a2 ? b2

, 又CG ?
ab

ab 4a 2 ? b 2



在 Rt △ CGH 中, sin ?CGH ?

CH ? CG

4a 2 ? b 2 10 a ? b2 ? ? ,. 2ab 5 2 a2 ? b2 4a 2 ? b 2
2

解得 b=2a,?

AA1 2a ? ? 1. AB b

?当

AA1 10 ? 1 时,二面角 E ? BC1 ? C 的正弦值为 . AB 5
z B1 A1

AA 法二:设 1 ? a, AB ? 1 ,取 A1C1 中点 G ,连接 EG ,B AB 以 E 为坐标原点建立空间直角坐标系,如右图所示 A
则 E ?0,0,0?, B ? 0,0,

? ? ?

3? ?1 ?1 ? ?, C1 ? , a,0 ? ?, C ? ,0,0 ? , ? 2 ? ?2 ? ?2 ?x

E C C1

G

y

则 BE ? ? 0,0,?

? ? ?

?1 ? ? ? 3? 1 ? ?, C1 E ? ? ? , a,? 3 ?, BC ? ? 1 ,0,? 3 ? . ? , ? a , 0 , BC ? ? ? 1 ?2 ?2 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ?

设平面 BEC1 的法向量为 m1 ? ?x1 , y1 , z1 ? ,平面 BC1C 的法向量为 m2 ? ?x 2 , y 2 , z 2 ? ,

?1 ? 3 3 z2 ? 0 ? ? z ? 0 ? ? x 2 ? ay 2 ? ? m ? BC ? 0 m ? BE ? 0 1 ? 2 ? 1 1 ? ? 2 2 2 则有 ? ,? ,即 ? , ,? ? ?? 1 x ? ay ? 0 ? 1 x ? 3 z ? 0 ?m1 ? C1 E ? 0 ? ?m2 ? BC ? 0 1 2 2 ? 2 1 ? ? ?2 2
设 x1 ? 2, x 2 ? 6 ,则 y1 ? ?

1 , z1 ? 0, y 2 ? 0, z 2 ? 2 3 , a

1 ? ? ? m1 ? ? 2,? ,0 ?, m 2 ? 6,0, 2 3 . a ? ?

?

?

? cos ? m1 , m2 ??

m1 ? m 2 m1 m 2

? 4?

12 1 36 ? 12 a2

?

15 ,解得 a=1. 5

?即当

10 AA1 . ? 1 时,二面角 E ? BC1 ? C 的正弦值为 5 AB
2

16.解: (1)依题意,⊙ Pn 的半径 rn ? y n ? x n , ………………1 分

? ⊙ Pn 与⊙ Pn ?1 彼此外切,

13

? Pn Pn ? 1 ? rn ? rn ? 1 ,………………2 分
? ( xn ? xn?1 ) 2 ? ( y n ? y n?1 ) 2 ? y n ? y n?1 .………………3 分
两边平方,化简得 ( x n ? x n ?1 ) 2 ? 4 y n y n ?1 ,
2 2 即 ( x n ? x n ?1 ) 2 ? 4 x n x n ?1 , ………………4 分

? xn ? xn ?1 ? 0 , ? xn ? x n ? 1 ? 2 xn xn ?1


Pn
Pn+1

1 1 ? ? 2(n ? N ) ,………………6 分 xn ?1 xn
1 } 是等差数列.………………7 分 xn

∴ 数列 {

(2) 由题设, x1 ? 1 ,∴

1 1 1 ? ? (n ? 1) ? 2 ,即 xn ? ,………………8 分 2n ? 1 xn x1
4

S n ? ?rn

2

? ?y n

2

? ?x n

?

? ,………………9 分 (2n ? 1) 4

Tn ? S1 ? S 2 ? ? ? ? ? S n
? ? [1 ? 1 1 1 ? 2 ??? ] ………………10 分 2 3 5 ( 2n ? 1) 2 1 1 1 ? ??? ] ………………12 分 1? 3 3? 5 (2n ? 3) ? (2n ? 1)

? ? [1 ?
= ? {1 ?

1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )]} ………………13 分 2 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 1 1 = ? [1 ? (1 ? )] 2 2n ? 1

?

3 ? ? ? ………………14 分 2 2(2n ? 1)

?
新子小 疆屋 源头 学
: p t h /w g y t jk .x / m o .c / c x w x w t k c 2 1 @ m o .c 6

3 ? .……………15 分 2
m m 2 m ) ? p[ p( ) ? q( ) ? r] m ?1 m ?1 m ?1

级 教 师 王 新 敞 特 级 教 师 王 新 敞(1) pf ( 17.证明特
源新疆 学子小 头 屋
c x w t k 2 1 @ m o .c 6

pm q r ? ? ] 2 (m ? 1) m ?1 m pm p ? pm[ ? ] 2 m?2 (m ? 1) ? pm[ ? p 2 m[ m(m ? 2) ? (m ? 1) 2 ] (m ? 1) 2 (m ? 2)
14

? p 2m

?1 ,……3 分 (m ? 1) 2 (m ? 2)
m ) <0 ………………4 分 m ?1
疆小屋 新 源学 头 子 特级 教敞 师 新 王 疆小屋 新 源学 头 子 特级 教敞 师 新 王
1 t@ k c x w 6 2 m o .c

由于 f ( x ) 是二次函数,故 p ? 0 ,又 m ? 0 ,所以, pf (

(2)由题意,得 f (0) ? r , f (1) ? p ? q ? r .………………5 分

m ) <0.………………7 分 m ?1 m m 若 r ? 0 ,则 f (0) ? 0 ,又 f ( ) <0,所以 f ( x ) ? 0 在(0, )内有解;………9 分 m ?1 m ?1 p r p r 若 r ? 0 ,则 f (1) ? p ? q ? r ? p ? (m ? 1) ? (- ? )+ r = ? >0, m?2 m m?2 m m m 又 f( ) <0,所以 f ( x ) ? 0 在( ,1)内有解 ………………11 分 m ?1 m ?1 m ②当 p ? 0 时,由(1)知 f ( ) >0.………………13 分 m ?1 p r p r 若 r ? 0 ,则 f (1) ? p ? q ? r ? p ? (m ? 1) ? (- ? )+ r = ? <0, m?2 m m?2 m
①当 p ? 0 时,由(1)知 f (
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1 t@ k c x w 6 2 m o .c

所以 f ( x ) ? 0 在(

m ,1)内有解;………………15 分 m ?1

若 r ? 0 ,则 f (0) ? 0 ,又 f (

m m ) >0,所以 f ( x ) ? 0 在(0, )内有解 ………17 分 m ?1 m ?1
疆小屋 新 源学 头 子 特级 教敞 师 新 王 疆 头新 源 子小屋 学 特级 教 新师 王 敞
1 t@ k c x w 6 2 m o .c

所以,方程 f ( x ) ? 0 在(0,1)内恒有解.………………18 分 18 解: (1)如图,取 BC 中点 D,连 AD, C1 D .

A1
AD ? BC ? ? ? BC ? 平面ADC1 ? C1 D ? BC . AC1 ? BC ?

C1

? 平面B1C1CB ? 底面ABC ,
A
∴ C1 D ? 平面ABC . 由 AD ? BC知AD ? 平面BB1C1C .……………4 分

B1 C D B O E

AA1 ∥ CC1 ? AA1 ∥平面 BB1C1C .
所以异面直线 AA1 与 B1C1 间的距离等于 AD ?

3 a .……………6 分 2

(2)如图, 过B1作B1O ? BC , 交BC于O, 则B1O ? 底面ABC.

过O作OE ? AB, 交AB于E , 连B1E. 则?B1EO与所求二面角的平面角互补.
………………………………..……8 分

15

3 a 3 a 3 B1O 2 B1O ? C1 D ? a, OB ? , OE ? a.tan ?B1EO ? ? ? 2. 2 2 4 OE 3 a 4
?B1 EO ? arctan 2.所以二面角的度数为? ? arctan 2 .……………………12 分
19 解: (1)由条件 ? a ? ? ? b ?? ? 可知: ( x ? 2) ? y ? ( x ? 2) ? y ? 2 .
2

?

?

2

2

2

2

由双曲线定义,得点 P 的轨迹方程: x ?

y2 ? 1( x ? 0) .…………………4 分 3
?

( 2 ) 在 第 一 象 限 内 作 PF ? x轴,P点坐标为(2,3) , 此 时 ?PFA ? 90 ,

?PAF ? 45?.

? ? 2 .…………………………………….………………….……6 分 以下证明当 PF 与 x 轴不垂直且 P 在第一象限时, ?PFA ? 2?PAF 恒成立.
k PA ? y1 y 2k PA 2( x1 ? 1) y1 , k PF ? 1 ,则 tan 2?PAF ? ? . 2 x1 ? 1 x1 ? 2 1 ? (k PA ) ( x1 ? 1)2 ? y12

由x ?

2

y2 ? 1 ,得 y12 ? 3( x12 ? 1) ? 3( x1 ? 1)( x1 ? 1) . 3
y1 y , tan ?PFA ? ?k PF ? ? 1 . ……10 分 x1 ? 2 x1 ? 2

代入上式并化简得 tan 2?PAF ? ?

即 tan 2?PAF ? tan ?PFA,所以?PFA ? 2?PAF .
由对称性知,当 P 在第四象限时,同样成立. 故存在常数 ? ? 2 ,使得 ?PFA ? 2?PAF 恒成立.………………….………12 分 20 解 : ( 1 ) 设 过 F( ,? ) 的 直 线 方 程 为 y ?

1 4

1 8

1 1 ? k ( x ? ) 。 又 设 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) , 联 立 8 4

1 1 ? y ? ? k (x ? ) ? k ? 8 4 消去 y ,得 2 x 2 ? ( k ? 1) x ? ? 0 。从而有, ? 4 ? y ? ?2 x 2 ? x ? 1 ? 8 ?

1 1 k2 1 k ?1 x1 ? x2 ? ? , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? ) ? ? ? ? 。 2 2 4 2 4
1 ? x1 ? x2 ? ? 4 x? ? ? 3 设△ABC的重心坐标为 ( x, y ) ,则 ? 11 ? y1 ? y2 ? ?y ? 8 ? 3 ?
消去k,即得

3 ? 2k ? x? ? ? 12 ?? 2 ?y ? ? k ? 3 ? ? 6 8

y ? ?6 x 2 ? 3 x 。

16

(2)因为 0 ? x1 ?

1 , x2 ? f ( x1 ) ? ?6 x12 ? 3x1 ? 3 x1 (1 ? 2 x1 ) ,所以 2
2

3 ? 2 x ? (1 ? 2 x1 ) ? 3 0 ? x2 ? 3x1 (1 ? 2 x1 ) ? ? 1 ? ? , 2? 2 ? 8
上式右边等号成立当且仅当 x1 ?

1 3 。假设 0 ? xk ? ,则 4 8
2

3 ? 2 x ? (1 ? 2 xk ) ? 3 0 ? xk ?1 ? 3 xk (1 ? 2 xk ) ? ? k ? ? , 2? 2 ? 8
上式右边等号成立当且仅当 xk ?
n n

1 3 。由此得到 0 ? xk ? ( k ? 2,3, ? ) 。从而有 4 8

0? ?x
k ?1

k k ?1

k n 3? ?3? ? 3 ?3? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 。 5? k ?1 ? 8 ? ? 5 ? ?8? ?

21.解: (Ⅰ)设点 M 的坐标为 ( x ,y ), 则 F`1 M = ( x + c , y ), F2 M = ( x – c ,y ), 由 F`1 M · F2 M = 0, 得 x2 – c2 + y2 = 0 , 即 x2 – c2 = – y2 。① 又由点 M 在椭圆上,得 y2 = b2 ?

b2 2 x ,代入①得 a2
∵0≤x2≤a2 , ∴0 ≤a2 –
a 2b2 ≤ a2 . c2

x2 – c2 = ?

b2 2 a 2b2 2 2 2 x ? b 即 x = a – . c2 a2
0≤ 2 ?
1 ≤1 e2

即 0≤

2c 2 ? a 2 ≤1 c2

解得

2 ≤e≤1 2

又∵0<e<1 ∴

2 ≤e<1(10分) 2

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y = kx+ m ,代入

x2 y2 ? = 1 中, 32 16

得 ( 1 + 2k2 )x2 + 4kmx + ( 2x2 –32 ) = 0 由直线 l 与椭圆 C 相交两点知:△= ( 4km )2 – 4 ( 1 + 2k2 ) ( 2m2 – 32 )>0, ∴m2<32k2 + 16 .② 1 要使 A、B 两点关于过点 P、Q 的直线对称,必须 kPQ = k x ? x2 ? 2km m 设 A ( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ), 则 xQ = 1 ? ,yQ = kxQ + m = , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
m 3 ? 2 3 ∴kPQ = 1 ? 2k 2km ? 1 ? 2k 2 m 3 ? 2 3 ? ? 1 , m ? 1 ? 2k ∴ 1 ? 2k 2km k 3 ? 2 1 ? 2k
2 2



?1 ? 2k ? 由②、③得
3

<32k2 + 16 ∴ ?

1 47 <k2< . 又k ≠ 0 2 2

17

∴?

94 94 <k<0 或 0<k< (20分) 2 2

22.解. (Ⅰ)在 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? 2 f ( x1 ) cos 2 x2 ? 4a sin 2 x2 中,

? ? ? ? x1 ? ? x ? x1 ? ? ? x1 ? 0 ? ? 4 4 分别令 ? ;? ;? 得 ? x2 ? x ? x ? ? ?x ? ? ? x 2 2 ? ? ? 4 ? 4 ? ? f ( x ) ? f (? x) ? 2 cos 2 x ? 4a sin 2 x, ① ? ? ? ② ? f ( +x) ? f ( x) ? 2a, ? 2 ? ? ? ? f ( +x) ? f (? x)=2cos ( +2 x ) ? 4a sin 2 ( +x )③ ? ? 2 2 4
由①+②-③,得

? 1 ? cos 2( ? x) ? 1 ? cos 2 x 4 2f ( x) ? 2a ? 2 cos 2 x ? 2 cos( ? 2 x) ? 4[ a ] - 4[ a ] 2 2 2
= 2a ? 2(cos 2 x ? sin 2 x ) ? 2a (cos 2 x ? sin 2 x) ∴ f ( x) ? a ? 2(1 ? a) sin(2 x ? (Ⅱ)当 x ? [0,

? ) 4

(10分)

2 ? ? ] 时, sin(2 x ? ) ? [ ,1] . 4 4 2 2 (1)∵ f ( x) ≤2,当 a<1 时, 1 ? a ? 2[ (1 ? a)] ≤ f ( x ) ≤ a ? 2(1 ? a) ≤2. 2
即 1 ? 2 ≤ (1 ? 2) a ≤ 2 ? 2 .

? 2 ≤ a ≤ 1.

(2)∵ f ( x) ≤2,

当 a≥1 时,? 2≤ a ? 2 (1- a)≤ f ( x ) ≤1. 即 1≤a≤ 4 ? 3 2 .故满足条件 a 的取值范围[? 2 , 4 ? 3 2 ](20分) 23.解: (I)? 三角形数表中前 m 行共有 1 ? 2 ? 3 ? … ? m ?

m(m ? 1) 个数, 2

? 第 m 行最后一个数应当是所给奇数列中的第
故第 m 行最后一个数是 2 ?

m(m ? 1) 项。 2

m(m ? 1) ? 1 ? m2 ? m ? 1 2
2

因此,使得 a mn ? 2005 的 m 是不等式 m ? m ? 1 ? 2005 的最小正整数解。 由 m ? m ? 1 ? 2005 得 m ? m ? 2006 ? 0
2 2

?m ?

?1 ? 1 ? 8024 ?1 ? 7921 ?1 ? 89 ? ? ? 44 2 2 2
2

? m ? 45

于是,第 45 行第一个数是 44 ? 44 ? 1 ? 2 ? 1981

?n ?

2005 ? 1981 ? 1 ? 13 2
18

(10分)

(II)? f

1 ( x ) ? 8 n x 3 ? y ( x ? 0) , ? x ? ( ) n 3 y 。 2 1 故 f ( x ) ? ( ) n 3 x ( x ? 0) 2
?1

? 第 n 行最后一个数是 n 2 ? n ? 1 ,且有 n 个数,若将 n 2 ? n ? 1 看成第 n 行第一个数,则第 n 行各数成公差
为-2 的等差数列,故 bn ? n( n 2 ? n ? 1) ?

n(n ? 1) ( ?2) ? n 3 。 2

? f (bn ) ?

1n 3 3 1 n ? n( ) n 2 2

1 1 1 1 1 ? 2( ) 2 ? 3( ) 3 ? … ? (n ? 1)( ) n?1 ? n( ) n (15分) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ? S n ? ( ) 2 ? 2( ) 3 ? 3( ) 4 ? … ? (n ? 1)( ) n ? n( ) n?1 , 2 2 2 2 2 2
故 Sn ? 两式相减得:

1 1 1 1 1 1 S n ? ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? … ? ( ) n ? n ( ) n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 2 ? 2 ? n( ) n ?1 ? 1 ? ( ) n ? n( ) n ?1 1 2 2 2 1? 2 1 ? S n ? 2 ? (n ? 2)( ) n (20分) 2 kabc 24.若 a 、 b 、 c ? R ? ,且满足 ? (a ? b) 2 ? (a ? b ? 4c) 2 ,求 k 的最大值。 a?b?c
24 解:由均值不等式得 ( a ? b) 2 ? ( a ? b ? 4c) 2 ? ( a ? b) 2 ? [( a ? 2c ) ? (b ? 2c)] 2

? (2 ab ) 2 ? (2 2ac ? 2 2bc ) 2 ? 4ab ? 4 ? 2ac ? 4 ? 2bc ? 2 ? 2 ? 2 ? 2c ? ab

? 4ab ? 8ac ? 8bc ? 16c ab ,


(a ? b) 2 ? (a ? b ? 4c) 2 4ab ? 8ac ? 8bc ? 16c ab ? ( a ? b ? c) ? ? ( a ? b ? c) abc abc

c 8 8 16 1 1 1 1 1 a a b b ?( ? ? ? )(a ? b ? c) ? 8( ? ? ? ? )( ? ? ? ? c ) 4 b a 2c b a ab ab ab 2 2 2 2
1 a 2b 2 c 5 ? 8(5 ? ) ? (5 ? ) ? 100 ,等号成立当且仅当 a ? b ? 2c ? 0 , 2a 2 b 2 c 24
5

故 k 的最大值为 100 . 25 证明:由 f (2 ? x) ? f ( x) 知,函数 f ( x ) 图像关于直线 x ? 1 对称,则根据②可知:对于 x, y ? [0,1] ,若

x ? y ? 1 ,则 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ? 1 .……………2 分
设 x1 , x2 ? [0,1] ,且 x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? [0,1] .

19

∵ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ? f ( x1 )

? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ? 0 ,
∴ f ( x ) 在[0,1]上是不减函数.………………………………………………4 分

1 1 1 1 1 1 1 ? n ? n ) ? f ( n ? n ) ? f ( n ) ?1 ? 3 f ( n ) ? 2 , n 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ∴ f ( n ) ? f ( n ?1 ) ? ? 2 f ( n ? 2 ) ? 2 ? ? ... ? n f ( n ?n ) ? n ? ... ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 2 ? n ?1 ? 1 ? n ? n ? 1 .…………………………………………………………8 分 3 3 3 1 1 (2)对于任意 x ? (0,1] ,则必存在正整数 n ,使得 n ? x ? n ?1 . 3 3 1 1 因为 f ( x ) 在(0,1)上是不减函数,所以 f ( n ) ? f ( x) ? f ( n ?1 ) , 3 3 1 2 1 由(1)知 f ( n ?1 ) ? n ?1 ? 1 ? 6 n ? 1 ? 6 x ? 1 . 3 3 3
(1)∵ f (
n ?1

1

)? f(

由①可得 f (2) ? 1 ,在②中,令 x ? y ? 2 ,得 f (2) ? 1 ,∴ f (2) ? 1 . 而 f (2) ? f (0) ,∴ f (0) ? 1 ,又 f (

1 1 ) ? f (0) ,∴ f ( n ) ? 1 , n 3 3

∴ x ? [0,1] 时, 1 ? f ( x ) ? 6 x ? 1 ..………………………………………12 分 ∵ x ? [1, 2] 时, 2 ? x ? [0,1] ,且 f ( x) ? f (2 ? x) ,∴1 ? f (2 ? x) ? 6(2 ? x ) ? 1 ? 13 ? 6 x , 因此, x ? [1, 2] 时, 1 ? f ( x ) ? 13 ? 6 x .…………………….………….14 分 26.求解不等式 x ? a ? x ? 1 ? 1 。 26 解: (I) x ? 1 情形。此时不等式为 x 2 ? a ? x ? 2 。 于是有
2

? x2 ? a ? 0 2 ? (1) ? x?2?0 ? x ?a。 x?2 2 ? ? x ?a ? x?2

?

因此

当 a ? 0 时,有1 ? x ? 2 ;当 0 ? a ? 1 时,有 1 ? x ? 2 ; 当 1 ? a ? 4 时,有 a ? x ? 2 ;当 a ? 4 时,空集。

?x2 ? a ? x2 ? a ? 0 ? x?2 ? ? (2) ? x?2 ? 0 ? ? 。 a 2 ? ? ? x ? a ? x ? 2 ? x ? ?1 ? 4
此时有 当 a ? 0 时,有 x ? 2 ;当 0 ? a ? 1 时,有 x ? 2 ;当 1 ? a ? 4 时,有 x ? 2 ;当 a ? 4 时, x ?

a ? 1。 4

(II) x ? 1 情形。此时不等式为 x 2 ? a ? ? x 。
20

于是有

? x2 ? a ? 0 2 ? (3) ? ?x ? 0 ? x ?a。 x?0 2 ? ? x ? a ? ?x

?

因此

当 a ? 0 时,有 0 ? x ? 1 ;当 0 ? a ? 1 时,有 a ? x ? 1 ;当 a ? 1 时,空集。

? x2 ? a ? x2 ? a ? 0 ? ?x ? 0 (4) ? ?x ? 0 ? ? 。 2 2 2 ? ? ? x ? a ? ?x ?x ? a ? x
因此 当 a ? 0 时,有 x ? 0 ;当 a ? 0 时,空集。

综合(1)-(4)可得 当 a ? 0 时,有 x ? R ;当 0 ? a ? 4 时,有 x ?

a ;当 a ? 4 时, x ?

a ? 1。 4

27 解:设非负等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 0 ,公差为 d ? 0 。 (1)因为 m ? n ? 2 p ,所以 m ? n ? 2 p , p ? mn , am ? an ? 2a p 。 从而有 ( a p ) ? am ·an 。 因为 S n ?
2

2

2

2

2

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d ,所以有 2 2

S n ? Sm ? (m ? n)a1 ?

n(n ? 1) ? m(m ? 1) d 2 n2 ? m2 ? 2 p ? 2 pa1 ? d 2 2 p2 ? 2 p ? 2 pa1 ? d ? 2S p 2

S n ·S m ?

n(a1 ? an ) m(a1 ? am ) mn 2 ? ? a1 ? a1 (am ? an ) ? am an ? 2 2 4
2

2 ? p (a1 ? a p ) ? p2 2 ? a1 ? 2a1a p ? a p a p ? ? ? ? ? ? ?Sp ? 4 2 ? ?

于是

1 1 Sm ? S n 2S p 2 ? ? ? ? 。 S m Sn Sm Sn SpSp S p
(2)
2007

?1 ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? 1 ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? n ?1 n ? S1 S 2007 ? ? S2 S2006 ? ? S1003 S1005 ? S1004 2*1003 ? 1 2007 ? ? S1004 S1004

?S

1

又因为 S1004 ? 1004a1 ?

1004·1003 1004 d ? 1004(a1 ? 502d ) ? 1004a503 ? ,所以有 2 1005
2007 n ?1

?S

1
n

?

2007 2007 ? 1005 ? 2008. S1004 1004
21

28.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , a ? n
4

an?1

?? 1?n an ?1 ? 2

( n ? 2, n ? N ) .

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式 a n ; (Ⅱ)设
bn ? 1 an
2

,求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n ;

? (Ⅲ)设 c ? a sin (2n ? 1)? ,数列 ?c n ?的前 n 项和为 Tn .求证:对任意的 n ? N , Tn ? 4 . n n

2

7

1 2 1 1 28. (Ⅰ)? ? (?1) n ? ,? ? (?1) n ? (?2)[ ? (?1) n ?1 ] , an a n ?1 an a n?1
又?

?1 ? 1 ? (?1) ? 3 ,? 数列 ? ? ?? 1?n ? 是首项为 3 ,公比为 ? 2 的等比数列. a1 ? an ?

(?1) n ?1 1 ? (?1) n ? 3(?2) n?1 , 即 a n ? . an 3 ? 2 n ?1 ? 1
(Ⅱ) bn ? (3 ? 2
n ?1

? 1) 2 ? 9 ? 4 n?1 ? 6 ? 2 n ?1 ? 1 .

1 ? (1 ? 4 n ) 1 ? (1 ? 2 n ) ? 6? ? n ? 3 ? 4n ? 6 ? 2n ? n ? 9 . 1? 4 1? 2 (2n ? 1)? (Ⅲ)? sin ? (?1) n?1 , 2 (?1) n ?1 1 . ? cn ? ? n ?1 n n ?1 3(?2) ? (?1) 3? 2 ?1 1 1 1 1 当 n ? 3 时,则 Tn ? ? ? ??? 2 n ?1 3 ?1 3? 2 ?1 3 ? 2 ?1 3? 2 ?1 n ?2 1 ] 1 1 1 1 1 11 12 [1 ? ( 1 2) ? ? ? ? ? ? ? 2 3 n ?1 4 7 3?2 28 1? 1 3? 2 3?2 2 11 1 1 11 1 47 48 4 ? ? [1 ? ( ) n ?2 ] ? ? ? ? ? . 28 6 2 28 6 84 84 7 4 ? T1 ? T2 ? T3 , ? 对任意的 n ? N ? , Tn ? . 7 Sn ? 9 ?

22


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