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江苏省南京市2013-2014学年度高二第一学期期末调研数学(文)试题(含答案)


南京市 2013-2014 学年度第一学期高二期末调研

数学卷(文科)
注意事项:

2014.01

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本试 卷满分为 100 分,考试时间为 100 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级

、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在 ... 答题卡上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题卡. ....... 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.命题“?x∈N,x2≠x”的否定是 ▲ . ▲ . . 2.在平面直角坐标系 xOy 中,焦点为 F(5,0)的抛物线的标准方程是 3.设复数 z 满足 z·i=3+4i (i 是虚数单位),则复数 z 的模为 x y 4.椭圆 + =1 的右准线方程是 8 4
2 2





. ▲ .

x+1 5.记函数 f(x)= 的导函数为 f ?(x),则 f ?(1)的值为 x

? ?x+y-4≤0, 6.已知实数 x,y 满足约束条件?x-y≥0, 则 z=x+2y 的最大值为 ?y≥0, ?
题的个数是 ▲ .





7.记命题 p 为“若?=?,则 cos?=cos?” ,则在命题 p 及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命

8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 x±2y=0,则该双曲 线的离心率为 ▲ . 9.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=4x 的焦点为 F,点 P 在抛物线上,若 PF=2,则点 P 到抛物线顶点 O 的距离是 ▲ . 10.已知函数 f(x)=ex-ax 在区间(0,1)上有极值,则实数 a 的取值范围是 ? 11. “a=1”是“函数 f(x)=x+acosx 在区间(0, )上为增函数”的 2 12.已知圆柱的体积为 16? cm3,则当底面半径 r=
2 2







条件(在“充要” 、 “充

分不必要” 、 “必要不充分” 、 “既不充分又不必要”中,选择适当的一种填空) . ▲ cm 时,圆柱的表面积最小. x y 13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 + =1 的左焦点为 F,直线 x-y-1=0,x-y+1=0 4 3 与椭圆分别相交于点 A,B,C,D,则 AF+BF+CF+DF= ▲ .
y O x

14.定义在 R 上的函数 y=f(x)的图像经过坐标原点 O,且它的导函数 y=f ?(x) 的图像是如图所示的一条直线,则 y=f(x)的图像一定不经过第 ▲ 象限.

........ 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 58 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.

(第 14 题图)

高二数学期末调研(文科) 第 1 页 共 6 页

15. (本题满分 8 分) 已知 a 为实数,复数 z1=2-i,z2=a+i (i 为虚数单位). (1)若 a=1,指出 z1+z2在复平面内对应的点所在的象限; (2)若 z1· z2 为纯虚数,求 a 的值.


16. (本题满分 10 分) 已知 a∈R,设 p:函数 f(x)=x2+(a-1)x 是区间(1,+∞)上的增函数, q:方程 x2-ay2=1 表示双曲线. (1)若 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若“p 且 q”为真命题,求实数 a 的取值范围. 17. (本题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-2x-3 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 x+y+a=0 与圆 C 交于 A,B 两点,且 AB=2,求实数 a 的值.

18. (本题满分 10 分) 已知某商品的进货单价为 1 元/件,商户甲往年以单价 2 元/件销售该商品时, 年销量为 1 万件, 今年拟下调销售单价以提高销量,增加收益.据测算,若今年的实际销售单价为 x 元/件(1≤x ≤2),今年新增的年销量 (单位:万件)与(2-x)2 成正比,比例系数为 4. ...... (1)写出今年商户甲的收益 y(单位:万元)与今年的实际销售单价 x 间的函数关系式; (2)商户甲今年采取降低单价,提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年 收益更多)?说明理由.

19. (本题满分 10 分) 已知函数 f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,其中 a≥0. (1)若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数 f(x)的单调性. x2 y2 3 20. (本题满分 10 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , a b 2 短轴长是 2. (1)求 a,b 的值; (2)设椭圆 C 的下顶点为 D,过点 D 作两条互相垂直的直线 l1,l2, l2 这两条直线与椭圆 C 的另一个交点分别为 M,N.设 l1 的斜率为 N S 16 k(k≠0),△DMN 的面积为 S,当 > 时,求 k 的取值范围. ∣k∣ 9
y lx l M N D
21

y

l1 M O D x

(第 20 题图)

高二数学期末调研(文科) 第 2 页 共 6 页

南京市 2013-2014 学年度第一学期高二期末调研 数学参考答案及评分标准(文科)
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评 分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分) 1.?x∈N,x2=x 6.6 11.充分不必要 2.y2=20x 7.2 12.2 3.5 8. 5 2 4.x=4 9. 5. 14.1 5.-1 10.(1,e)

2014.01

13.8

二、解答题(本大题共 6 小题,共 58 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.解 (1)因为 a=1, 所以 z1+z2=(2-i)+(1-i)=3-2i. 所以 z1+z2在复平面内对应的点为(3,-2), 从而 z1+z2在复平面内对应的点在第四象限. (2)z1· z2=(2-i) (a+i)=(2a+1)+(2-a) i. 因为 a∈R,z1· z2 为纯虚数, 1 所以 2a+1=0,且 2-a≠0,解得 a=- . 2 ??????? 8 分
— — —

??????? 2 分

??????? 4 分 ??????? 6 分

16.解 (1)因为 p 为真命题,即函数 f(x)=x2+(a-1)x 是(1,+∞)上的增函数, a-1 所以- ≤1. 2 解得 a≥-1. 即实数 a 的取值范围是[-1,+∞?. ??????? 5 分 ??????? 3 分

(2)因为“p 且 q”为真命题,所以 p 为真命题,且 q 也为真命题. ????? 7 分 由 q 为真命题,得 a>0. 所以 a≥-1 且 a>0,即 a>0. 所以实数 a 的取值范围是(0,+∞). 17.解 (1)曲线与 y 轴的交点是(0,-3). 令 y=0,得 x2-2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3, 即曲线与 x 轴的交点是(-1,0),(3,0).
高二数学期末调研(文科) 第 3 页 共 6 页

??????? 10 分

?????? 2 分

设所求圆 C 的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0,

?9-3E+F=0, ? 则?1-D+F=0, 解得 D=-2,E=2,F=-3. ? ?9+3D+F=0,
所以圆 C 的方程是 x2+y2-2x+2y-3=0. (2)圆 C 的方程可化为(x-1) +(y+1) =( 5) , 所以圆心 C(1,-1),半径 r= 5. |1+(-1)+a| |a| 圆心 C 到直线 x+y+a=0 的距离 d= = . 2 2 1 由于 d2+( AB)2=r2, 2 所以( |a| 2 ) +12=( 5)2,解得 a=±2 2 . 2 ?????? 10 分 ?????? 7 分
2 2 2

?????? 5 分

18.解 (1)由题意知,今年的年销售量为 1+4(x-2)2 (万件). 因为每销售一件,商户甲可获利(x-1)元, 所以今年商户甲的收益 y=[1+4(x-2)2](x-1) =4x3-20x2+33x-17,(1≤x≤2). ?????? 4 分 (2)由(1)知 y=4x3-20x2+33x-17,1≤x≤2, 从而 y′=12x2-40x+33=(2x-3)(6x-11). 3 11 令 y′=0,解得 x= ,或 x= .列表如下: 2 6 x f ′(x) f(x) 3 (1, ) 2 + 递增 3 2 0 极大值 3 11 ( , ) 2 6 - 递减 11 6 0 极小值 11 ( ,2) 6 + 递增 ?????? 7 分 3 又 f( )=1,f(2)=1,所以 f(x)在区间[1,2]上的最大值为 1(万元). 2 而往年的收益为(2-1)×1=1(万元), 所以,商户甲采取降低单价,提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益. ?????? 10 分 19.解(1)当 a=0 时,f(x)=-2x+4lnx, 4 从而 f ′(x)=-2+ ,其中 x>0. x 所以 f ′(1)=2. 又切点为(1,-2), 所以所求切线方程为 y+2=2(x-1),即 2x-y-4=0. (2)因为 f(x)=ax2-(4a+2)x+4lnx,
2 4 2ax -(4a+2)x+4 2(ax-1)(x-2) 所以 f ′(x)=2ax-(4a+2)+ = = ,其中 x>0. x x x

?????? 2 分

?????? 4 分

高二数学期末调研(文科) 第 4 页 共 6 页

2(x-2) ①当 a=0 时,f ′(x)=- ,x>0. x 由 f ′(x)>0 得,0<x<2,所以函数 f(x)的单调增区间是(0,2);单调减区间是(2,+∞); ?????? 6 分 1 1 1 ②当 0<a< 时,因为 >2,由 f ′(x)>0,得 x<2 或 x> . 2 a a 1 1 所以函数 f(x)的单调增区间是(0,2)和( ,+∞);单调减区间为(2, ); a a ?????? 8 分 (x-2) 1 ③当 a= 时,f ′(x)= ≥0,且仅在 x=2 时,f ′(x)=0, 2 x 所以函数 f(x)的单调增区间是(0,+∞); 1 1 1 ④当 a> 时,因 0< <2,由 f ′(x)>0,得 0<x< 或 x>2, 2 a a 1 1 所以函数 f(x)的单调增区间是(0, )和(2,+∞);单调减区间为( ,2). a a 综上, 当 a=0 时,f(x)的单调增区间是(0,2),单调减区间是(2,+∞); 1 1 1 当 0<a< 时,f(x)的单调增区间是(0,2)和( ,+∞),减区间为(2, ); 2 a a 1 当 a= 时,f(x)的单调增区间是(0,+∞); 2 1 1 1 当 a> 时,f(x)的单调增区间是(0, )和(2,+∞),减区间为( ,2). 2 a a ?????? 10 分
2

? c = 3, ? 20.解(1)设椭圆 C 的半焦距为 c,则由题意得?a 2 又 a2=b2+c2, ? ?b=1,
解得 a=2,b=1. x (2)由(1)知,椭圆 C 的方程为 +y2=1, 4 所以椭圆 C 与 y 轴负半轴交点为 D(0,-1). 因为 l1 的斜率存在,所以设 l1 的方程为 y=kx-1. 4k2-1 x2 2 8k 代入 +y =1,得 M( , ), 4 1+4k2 1+4k2 从而 DM=
2

?????? 4 分

(

2 8∣k∣ 1+k2 8k 2 4k -1 2 ) + ( + 1 ) = . 1+4k2 1+4k2 1+4k2

?????? 6 分

8 1+k2 1 用- 代 k 得 DN= . k 4+k2
2 2 1 8∣k∣ 1+k 8 1+k 所以△DMN 的面积 S= ? ? 2 1+4k2 4+k2

高二数学期末调研(文科) 第 5 页 共 6 页

= 则

32(1+k2)∣k∣ . (1+4k2)(4+k2)

?????? 8 分

32(1+k2) S = , ∣k∣ (1+4k2)(4+k2)

32(1+k2) S 16 16 因为 > ,即 > , ∣k∣ 9 (1+4k2)(4+k2) 9 7 整理得 4k4-k2-14<0,解得- <k2<2 4 所以 0<k2<2,即- 2<k<0 或 0<k< 2 . 从而 k 的取值范围为(- 2,0)∪(0, 2).

高二数学期末调研(文科) 第 6 页 共 6 页


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