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第二节 古典概型与几何概型


第二节

古典概型与几何概型
高考试题

考点一
率是( (A)

求古典概型的概率
) (B)

1.(2013 年新课标全国卷Ⅰ,文 3)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概

1 2

1 3

(C)

1 4

(D)

1 6

解析:从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数有六种情况:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的有 (1,3),(2,4),故所求概率是 答案:B 2.(2013 年安徽卷,文 5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会 均等,则甲或乙被录用的概率为( (A) )

2 1 = .故选 B. 6 3

2 3

(B)

2 5

(C)

3 5

(D)

9 10

解析:从五位大学生中录用三位的所有结果为(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙, 戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊)共 10 种情况,其中甲或乙被录用的情况 为 9 种,所求概率为 答案:D 3.(2012 年安徽卷,文 10)袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球、2 个白球和 3 个黑球. 从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( (A) )

9 .故选 D. 10

1 5

(B)

2 5

(C)

3 5

(D)

4 5

解析:若记红球为 A,白球为 B1,B2,黑球为 C1,C2,C3,则任取 2 个球的基本事件如 下:AB1,AB2,AC1,AC2,AC3,B1B2,B1C1,B1C2,B1C3,B2C1,B2C2,B2C3,C1C2,C1C3,C2C3.共 15 个.其中颜色为一白一黑的事件 有 6 个,所以概率为 P= 答案:B 4.(2011 年全国新课标卷,文 6)有 3 个兴趣小组,甲、 乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个 小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( (A) )

6 2 = 15 5

.

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

解析:甲、乙各自参加其中一个小组所有选法为 9 种,甲、乙参加同一个小组的选法有 3 种,所以其概率为

3 1 = .故选 A. 9 3
答案:A 5.(2011 年浙江卷,文 8)从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白球 的概率是( (A) ) (B)

1 10

3 10

(C)

3 5

(D)

9 10

解析:3 个红球记为 a,b,c,2 个白球记为 1,2.则从袋中取 3 个球的所有可能情况是 abc,ab1,ab2,

ac1,ac2,a12,bc1,bc2,b12,c12,共 10 个基本事件,则至少有一个白球的基本事件是 ab1,ab2, ac1,ac2,a12,bc1,bc2,b12,c12,共 9 个.∴至少有一个白球的概率为 答案:D 6.(2010 年北京卷,文 3)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个数为 b,则 b>a 的 概率是( (A) ) (B)

9 .故选 D. 10

4 5

3 5

(C)

2 5

(D)

1 5

解析:从两个集合中分别取一个数 a,b,用坐标表示为(a,b),则(a,b)的取值有 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3) 共 15 种,而 b>a 时有(1,2),(1,3),(2,3)3 种结果,故所求概率是 答案:D 7.(2013 年重庆卷,文 13)若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为 . 解析:甲、乙、丙三人随机地站成一排有 6 种方法:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲, 其中甲、乙相邻的有 4 种.故所求概率 P= 答案:

3 1 = ,选 D. 15 5

4 2 = 6 3

.

2 3
.

8.(2013 年浙江卷,文 12)从 3 男 3 女共 6 名同学中任选 2 名(每名同学被选中的机会均等),这 2 名都是女同 学的概率等于 解析:从 3 男 3 女中选出 2 名同学,共有以下 15 种情况:(男 1,男 2),(男 1,男 3),(男 2,男 3),(男 1,女 1),(男 1,女 2),(男 1,女 3),(男 2,女 1),(男 2,女 2),(男 2,女 3),(男 3,女 1),(男 3,女 2),(男 3,女 3),(女 1,女 2),(女 1,女 3),(女 2,女 3),其中 2 名都是女同学的有 3 种情况,故所求的概率 P= 答案:

1 . 5

1 5 5 ,则 m= 6
.

9.(2013 年湖北卷,文 15)在区间[-2,4]上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|≤m 的概率为 解析:由|x|≤m,得-m≤x≤m. 当 m≤2 时,由题意得 解得 m=2.5>2 舍去.

2m 5 = , 6 6

当 2<m<4 时,由题意得 解得 m=3.

m ? ? ?2 ? 5 = , 6 6

答案:3 10.(2013 年新课标全国卷Ⅱ,文 13)从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是 解析:从 1,2,3,4,5 中任意取两个不同的数共有 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)10 种. 其中和为 5 的有(1,4),(2,3)2 种. 由古典概型概率公式知所求概率为

.

2 1 = . 10 5

答案:

1 5
.

11.(2013 年江苏卷,7)现有某类病毒记作 XmYn,其中正整数 m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则 m,n 都取到奇 数的概率为 解析:因为正整数 m,n 满足 m≤7,n≤9, 所以(m,n)所有可能的取值一共有 7×9=63(种), 其中 m,n 都取到奇数的情况有 4×5=20(种), 因此所求概率为 P= 答案:

20 . 63

20 63

12.(2012 年浙江卷,文 12)从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的

距离为

2 2

的概率是

.

解析:设五点为 A,B,C,D,E,随机取两点有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),

(C,E),(D,E)共 10 种情况,两点间的距离是

2 2

的有 4 种,所以 P=

2 5

.

答案:

2 5

13.(2013 年陕西卷,文 19)有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛,由 500 名大众评委现场投票决定歌手 名次.根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下:
组别 人数 A 50 B 100 C 150 D 150 E 50

(1)为了调查评委对 7 位歌手的支持状况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其中从 B 组抽取了 6 人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别 人数 抽取人数 A 50 B 100 6 C 150 D 150 E 50

(2)在(1)中,若 A,B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别任选 1 人, 求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 解:(1)由题设知,分层抽样的抽取比例为 6%,所以各组抽到的人数如下表:
组别 人数 抽取人数 A 50 3 B 100 6 C 150 9 D 150 9 E 50 3

(2)记从 A 组抽到的 3 个评委为 a1,a2,a3,其中 a1,a2 支持 1 号歌手;从 B 组抽到的 6 个评委为 b1,b2,b3,b4,b5,b6, 其中 b1,b2 支持 1 号歌手.从{a1,a2,a3}和{b1,b2,b3,b4,b5,b6}中各抽取 1 人的所有结果为:

由以上树状图知所有结果共 18 种,其中 2 人都支持 1 号歌手的有 a1b1,a1b2,a2b1,a2b2 共 4 种, 故所求概率 p=

4 2 = 18 9

.

14.(2013 年江西卷,文 18)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以 O 为起点,再从 A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这 6 个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为 X,若 X>0 就去打球,若 X=0 就去唱歌,若 X<0 就去下棋.

(1)写出数量积 X 的所有可能取值; (2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率. 解:(1)X 的所有可能取值为-2,-1,0,1. (2)数量积为-2 的有 OA2 · OA5 ,共 1 种; 数量积为-1 的有 OA2 · OA5 , OA 1 · OA 6 , OA 2 · OA 4 , OA 2 · OA 6 , OA 3 · OA 4 ,

???? ?

???? ?

???? ?

???? ? ????

???? ? ???? ?

???? ? ???? ?

???? ? ???? ?

???? ?

???? ? ???? ? OA3 · OA5 ,共 6 种;
数量积为 0 的有 OA 1 · OA 3 , OA 1 · OA 4 , OA 3 · OA 6 , OA 4 · OA 6 ,共 4 种; 数量积为 1 的有 OA 1 · OA 2 , OA 2 · OA 3 , OA 4 · OA 5 , OA 5 · OA 6 ,共 4 种. 故所有可能的情况共有 15 种. 所以小波去下棋的概率为 P1= 因为去唱歌的概率为 P2=

???? ????

???? ? ????

???? ? ???? ?

???? ? ???? ?

???? ?

???? ? ???? ?

???? ? ???? ?

???? ? ???? ?

???? ?

7 ; 15

4 , 15
4 11 = . 15 15

所以小波不去唱歌的概率 P=1-P2=1-

15.(2013 年北京卷,文 16)如图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示 空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到 达该市,并停留 2 天.

(1)求此人到达当日空气质量优良的概率; (2)求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率; (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 解:(1)在 3 月 1 日至 3 月 13 日这 13 天中,1 日、2 日、3 日、7 日、12 日、13 日共 6 天的空气质量优良, 所以此人到达当日空气质量优良的概率是

6 . 13

(2)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是 4 日, 或 5 日,或 7 日,或 8 日”,所以此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率为 (3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 16.(2013 年辽宁卷,文 19)现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 2 道题解答.试求: (1)所取的 2 道题都是甲类题的概率; (2)所取的 2 道题不是同一类题的概率. 解:(1)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4; 2 道乙类题依次编号为 5,6. 任取 2 道题,基本事件 为 :{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6}, 共 15 个,而且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“都是甲类题”这一事件, 则 A 包含的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共 6 个, 所以 P(A)=

4 . 13

6 2 = 15 5

.

即所取 2 道题都是甲类题的概率为 (2)基本事件同(1).

2 5

.

用 B 表示“不是同一类题”这一事件, 则 B 包含的基本事件有{1,5},{1,6},{2,5},{2,6},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6}, 共 8 个,所以 P(B)=

8 . 15

17.(2013 年山东卷,文 17)某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学,他们的身高(单位:米)及体重指标(单位: 千克/米 )如下表所示:
A 身高 体重指标 1.69 19.2 B 1.73 25.1 C 1.75 18.5 D 1.79 23.3 E 1.82 20.9
2

(1)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率; (2)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率. 解:(1)从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件 有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共 6 个. 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 选到的 2 人的身高都在 1.78 以下的事件有:(A,B),(A,C),(B,C),共 3 个. 因此选到的 2 人的身高都在 1.78 以下的概率为 P=

3 1 = 6 2

.

(2)从该小组同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件 有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共 10 个. 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有:(C,D),(C,E),(D,E),共 3 个. 因此选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为 P1=

3 . 10

18.(2013 年天津卷,文 15)某产品的三个质量指标分别为 x,y,z,用综合指标 S=x+y+z 评价该产品的等级.若 S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取 10 件产品作为样本,其质量指标列表如下:
产品编号 质量指标(x,y,z) 产品编号 A1 (1,1,2) A6 A2 (2,1,1) A7 A3 (2,2,2) A8 A4 (1,1,1) A9 A5 (1,2,1) A10

质量指标(x,y,z)

(1,2,2)

(2,1,1)

(2,2,1)

(1,1,1)

(2,1,2)

(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (2)在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品, ①用产品编号列出所有可能的结果; ②设事件 B 为“在取出的 2 件产品中,每件产品的综合指标 S 都等于 4”,求事件 B 发生的概率. 解:(1)计算 10 件产品的综合指标 S,如下表:
产品编号 S A1 4 A2 4 A3 6 A4 3 A5 4 A6 5 A7 4 A8 5 A9 3 A10 5

其中 S≤4 的有 A1,A2,A4,A5,A7,A9,共 6 件,故该样本的一等品率为 为 0.6.

6 =0.6,从而可估计该批产品的一等品率 10

(2)①在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品的所有可能结果为 {A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4,A7},{A4,A9},{A5,A7}, {A5,A9},{A7,A9},共 15 种. ②在该样本的一等品中,综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1,A2,A5,A7,则事件 B 发生的所有可能结果为 {A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共 6 种. 所以 P(B)=

6 2 = 15 5

.

19.(2012 年天津卷,文 15)某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采用分层抽样的方法从这些学校中 抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目; (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, ①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的 2 所学校均为小学的概率. 解:(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. (2)①在抽取到的 6 所学校中,3 所小学分别记为 A1,A2,A3,2 所中学分别记为 A4,A5,大学记为 A6,则抽取 2 所 学校的所有可能结果为 {A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5}, {A4,A6},{A5,A6},共 15 种. ②从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共 3 种. 所以 P(B)=

3 1 = . 15 5

20.(2011 年江西卷,文 16)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮 料共 5 杯,其颜色完全相同,并且其中 3 杯为 A 饮料,另外 2 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 5 杯 饮料中选出 3 杯 A 饮料.若该员工 3 杯都选对,则评为优秀;若 3 杯选对 2 杯,则评为良好;否则评为合格.假 设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求此人被评为优秀的概率; (2)求此人被评为良好及以上的概率. 解:将 5 杯饮料编号为:1,2,3,4,5,编号 1,2,3 表示 A 饮料,编号 4、 5 表示 B 饮料,则从 5 杯饮料中选出 3 杯 的所有可能情况为:(1,2,3)、 (1,2,4)、 (1,2,5)、 (1,3,4)、 (1,3,5)、 (1,4,5)、 (2,3,4)、 (2,3,5)、 (2,4,5)、 (3,4,5),共有 10 种,令 D 表示此人被评为优秀的事件,E 表示此人被评为良好的事件,F 表示此人被评为良好 及以上的事件,则 (1)P(D)= (2)P(E)=

1 . 10 3 7 ,P(F)=P(D)+P(E)= . 5 10
求几何概型的概率

考点二

1.(2012 年湖北卷,文 10)如图所示,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA、OB 为直径作两个半圆,在扇 形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )

1 1 2 π 2 (C)1π
(A) S3,S4,

(B)

1 π 2 (D) π

解析:如图,不妨设扇形的半径为 2a,如图,记两块白色区域的面积分别为 S1,S2,两块阴影部分的面积分别为

则 S1+S2+S3+S4= S扇形OAB =

1 4

π (2a) =π a ①

2

2

而 S1+S3 与 S2+S3 的和恰好为一个半径为 a 的圆的面积, 即 S1+S3 +S2+S3=π a .② ①-②得 S3=S4, 由图可知 S3=(S 扇形 EOD+S 扇形 COD)-S 正方形 OEDC= 所以 S 阴影=π a -2a . 由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率为 p=
2 2 2

1 2

π a -a ,

2

2

S阴影 S扇形OAB

=

2 πa 2 -2a 2 =1- .故选 C. 2 π πa

答案:C 2.(2012 年北京卷,文 3)设不等式组 ? 坐标原点的距离大于 2 的概率是( (A)

?0 ? x ? 2, 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到 ?0 ? y ? 2
) (D)

π 4

(B)

π?2 2

(C)

π 6

4?π 4

解析:不等式组 ?

?0 ? x ? 2, 对应直角坐标系内的区域 D 为如图所示的正方形 ABCE,面积为 4,在区域 D 内随 ?0 ? y ? 2

机取一点,此点到原点的距离大于 2 对应的区域为如图所示的阴影部分(不包括 x≤2,0≤y≤2)外,面积为 4-π .∴所求概率为 答案:D

),即落在圆 x +y =4(0≤

2

2

4?π .故选 D. 4

3.(2012 年辽宁卷,文 11)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的 长,则该矩形面积大于 20 cm 的概率为( (A)
2

)

1 6

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

4 5

解析:设 AC=x cm 且 0<x<12,则 BC=(12-x)cm, ∴以 AC、CB 为邻边的矩形面积为 x·(12-x), 令 x(12-x)>20,得 2<x<10, 由几何概型知矩形面积大于 20 cm 的概率为 答案:C 4.(2011 年福建卷,文 7)如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点.若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( )
2

8 2 = 12 3

.

(A)

1 4

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3

解析:设矩形长为 a,宽为 b,则点取自△ABE 内部的概率 P=

S? ABE S矩形ABCD

1 ab 1 = 2 = ab 2

.故选 C.

答案:C 5.(2013 年湖南卷,文 9)已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使△APB 的最大边是 AB”发生的 概率为

1 2

,则

AD AB 1 4

=(

)

(A)

1 2

(B)

(C)

3 2

(D)

7 4

解析:如图,M、N 分别是矩形 CD 边上的四等分点,由题意,点 P 在线段 MN 上,满足条件,则 BN=AB,

由勾股定理,AD + 7AB =16AD ,
2 2

2

3 4

AB =AB ,

2

2



AD AB

=

7 4

.故选 D.

答案:D 6.(2013 年福建卷,文 14)利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,则事件“3a-1<0”发生的概率 为 .

解析:由题意得 0<a< 答案:

1 1 ,根据几何概型概率公式得事件“3a-1<0”发生的概率为 . 3 3

1 3
.

7.(2010 年湖南卷,文 11)在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率为

解析:∵区间[-1,2]的区间长度为 3,区间[0,1]的区间长度为 1,∴由几何概型概率计算公式知 x∈[0,1]的

1 . 3 1 答案: 3
概率为

模拟试题
考点一 求古典概型的概率
1.(2011 临沂模拟)一个盒子中装有 4 张卡片,上面分别写着如下四个定义域为 R 的函 数:f1(x)=x ,f2(x)=|x|,f3(x)=sin x,f4(x)=cos x,现从盒子中任取 2 张卡片,将卡片上的函数相乘得到一个 新函数,所得函数为奇函数的概率是( (A) )
3

1 6

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

5 6

解析:新函数的个数为 6 个.即 f1(x)·f2(x),f1(x)·f3(x),f1(x)·f4(x),f2(x)·f3(x),f2(x)·f4(x),f3(x)·f4(x).奇函数有 f1(x)·f2(x),f1(x)·f4(x),f2(x)·f3(x),f3(x)·f4(x),共 4 个.∴P= 答案:C 2.(2011 汕头一模)将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 m,第二次出现的点数为 n,向量 p=(m,n),q=(3,6),则向量 p 与 q 共线的概率为 . 解析:由向量 p 与 q 共线得 6m=3n,即 2m=n,符合要求的(m,n)有(1,2),(2,4),(3,6),则向量 p 与 q 共线的概 率为

4 2 = 6 3

.故选 C.

3 1 = . 36 12

答案:

1 12
求几何概型的概率

考点二

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 1.(2013 北京市昌平区期末)设不等式组 ? x ? 4, 表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个点 ? y ? ?2 ?
P,则点 P 到直线 y+2=0 的距离大于 2 的概率是( (A) )

4 13

(B)

5 13

(C)

8 25

(D)

9 25

解析:不等式对应的区域为三角形 AEF,

当点 P 在线段 BC 上时,点 P 到直线 y+2=0 的距离等于 2, 所以要使点 P 到直线的距离大于 2, 则点 P 应在三角形 BCF 内. 各点的坐标为 B(-2,0),C(4,0),A(-6,-2),E(4,-2),F(4,3), 所以 AE=10,EF=5,BC=6,CF=3,

S? BCF 根据几何概型可知所求概率为 P= S? AEF
答案:D

1 ? 6?3 9 = 2 = ,选 D. 1 25 ?10 ? 5 2
2 2

2.(2012 保定调研)已知点 P(x,y)满足|x|+|y|≤1,集合 M={(x,y)|x +y ≤1},在集合 M 中任取一点,则恰好 取到点 P 的概率为( (A) ) (C)

1 π

(B)

2 π

3 π

(D)1

解析:点 P(x,y)所在正方形的面积为 2,集合 M 所表示的圆的面积为π ,所以所求概率为 答案:B

2 .故选 B. π

3.(2013 云南师大附中)在区间[-6,6]内任取一个元素 x0,若抛物线 y=x 在 x=x0 处的切线的倾斜角为α ,则 α ∈

2

? π 3π ? 的概率为 , ? ?4 4 ? ?

.

解析:当α ∈

? π 3π ? 时,斜率 k≥1 或 k≤-1, , ? ?4 4 ? ?
1 2
或 x0≤-

又 y′=2x,所以 x0≥

1 2

,

11 . 12 11 答案: 12
所以 P= 4.(2012 山东模拟)已知函数 f(x)=-3x +ax+b,若 a,b 都是在区间[0,4]内任取的一个数,则 f(1)>0 的概率 为 . 解析:如图所示,a,b 满足的范围就是边长为 4 的正方形区域,而 f(1)>0,即 a+b>3,表示的是直线的右上方,
2

1 ? 3 ? 3 23 即阴影部分的区域.故所求的概率为 1- 2 = . 4 ? 4 32

答案:

23 32

综合检测
2 3

1.(2013 北京市海淀区期末)在等边△ABC 的边 BC 上任取一点 P,则 S△ABP≤ (A)

S△ABC 的概率是(

)

1 3

(B)

解析:当 S△ABP

1 2 2 = S 3

(C) 时,

2 3

(D)

5 6

△ABC



1 2

AB·PD=

2 3

×

1 2

AB·CO,

即 PD=

2 3

CO,

则有 BP=

2 3

BC,

要使 S△ABP≤

2 3

S△ABC,则点 P 在线段 BP 上,

所以根据几何概型可知 S△ABP≤ 答案:C

2 3

S△ABC 的概率是

BP 2 = BC 3

,选 C.

2.(2011 莆田模拟)一袋中装有大小相同,编号分别为 1,2,3,4,5,6,7,8 的八个球,从中有放回地每次取一个 球,共取 2 次,则取得两个球的编号和不小于 15 的概率为( (A) )

1 32

(B)

1 64

(C)

3 32

(D)

3 64 3 .故选 D. 64

解析:基本事件为(1,1),(1,2),?,(1,8),(2,1),(2,2),?,(8,8),共 64 种.两球编号之和不小于 15 的情况 有三种,分别为(7,8),(8,7),(8,8),∴所求概率为 答案:D 3.(2011 宁德模拟)若在边长为 4 的等边三角形 OAB 的边 OB 上任取一点 P,则使得 OA · OP ≥6 的概率 为( (A) )

??? ?

??? ?

1 1 (D) 3 4 ??? ? ??? ? 解析:如图所示, OA · OP ≥6,
(B) (C)

3 4

2 3

即 4·| OP |·cos 60°≥6, 即| OP |≥3, ∴|PB|≤1, ∴所求概率为 故选 D. 答案:D

??? ?

??? ?

1 4

.

4.(2011 厦门)在区间[0,π ]上随机取一个数 x,则事件“sin x+cos x≥

6 ”发生的概率为 2

.

解析:sin x+cos x=

6 π? ? 2 sin ? x ? ? ≥ , 2 4? ?

∴sin ? x ?

? ?

3 π? . ?≥ 2 4?

π π 2 ≤x+ ≤2kπ + π , 3 4 3 π 5 ∴2kπ + ≤x≤2kπ + π. 12 12
2kπ + ∵0≤x≤π ,

π 5 ≤x≤ π. 12 12 4 π 1 12 ∴P= = . π 3 1 答案: 3



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