当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

第七节等差数列与等比数列


第七节
基础知识
1.数列的概念

等差数列与等比数列

定义 1. 按照某一法则,给定了第 1 个数 a1 ,第 2 个数 a2 ,………,对于正整数 n 有一个确 定的数 an ,于是得到一列有次序的数 a1 , a2 ,?, an ,? 我们称它为数列,用符号 {an } 表示。 数列中的每项称为数列的项,第 n

项 an 称为数列的一般项,又称为数列 {an } 的通项。 定义 2.当一个数列的项数为有限个时, 称这个数列为有限数列; 当一个数列的项数为无限时, 则称这个数列为无限数列。 定义 3.对于一个数列,如果从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项,即 an?1 ? an ,这样 的数列称为递增数列;如果从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项,即 an?1 ? an ,这样 的数列称为递减数列。 定义 4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数, 即 | a n |? M , 其中 M 是某一个正数, 则称这样的数列为有界数列,否则就称为是无界数列。 定义 5.如果在数列 {an } 中,项数 n 与 an 具有如下的函数关系: an ? f (n), n ? N * ,则称这 个关系为数列 {an } 的通项公式。 2.等差数列 定义 6.一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数 列就叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母 " d " 表示。 等差数列具有以下几种性质: (1)等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d 或 an ? am ? (n ? m)d ; (2)等差数列的前 n 项和公式: S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) d; 或 S n ? na1 ? 2 2

(3)公差非零的等差数列的通项公式为 n 的一次函数; (4)公差非零的等差数列的前 n 项和公式是关于 n 不含有常数项的二次函数; (5)设 {an } 是等差数列,则 {?an ? b} ( ? , b 是常数)是公差为 ? d 的等差数列; (6)设 {an } , {bn } 是等差数列,则 {?1an ? ?2 bn } ( ?1 , ? 2 是常数)也是等差数列; (7)设 {an } , {bn } 是等差数列,且 bn ? N * ,则 {abn } 也是等差数列(即等差数列中等距 离分离出的子数列仍为等差数列) ; (8) 若m?n ? p?q, 则 am ? an ? a p ? aq ; 特别地, 当 m ? n ? 2 p 时,am ? an ? 2a p ;

(9)设 A ? a1 ? a2 ? ? ? an , B ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2n ,C ? a2n?1 ? a2n?2 ? ? ? a3n , 则有 2 B ? A ? C ; (10)对于项数为 2 n 的等差数列 {an } ,记 S 奇,S 数项的和,则 S奇 ? S偶 ? nd ,


分别表示前 2 n 项中的奇数项的和与偶

S奇 S偶

?

an ; an?1 S奇 S偶 ? n ; n ?1

(11)对于项数为 2n ? 1 的等差数列 {an } ,有 S奇 ? S 偶 ? an , (12) S n 是等差数列的前 n 项和,则 S 2n?1 ? (2n ? 1)an ;

(13)其他衍生等差数列:若已知等差数列 {an } ,公差为 d ,前 n 项和为 S n ,则 ①. a p , a p?1 ,?, a p?( n?1)t ,?为等差数列,公差为 td ; ②.a1 ? a2 ? ? ? am , am?1 ? am?2 ? ? ? a2m ,?(即 S m , S 2m ? S m , S 3m ? S 2m ,?) 为等差数列,公差 m d ; ③. {
2

Sn S S S d } (即 1 , 2 , 3 ,? )为等差数列,公差为 . 2 1 2 3 n

3.等比数列 定义 7.一般地,如果有一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于现中一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做公比;公比通常用字母 q 表示( q ? 0 ) ,即

an ? q(q ? 0) 。 a n?1
等比数列具有以下性质: (1)等比数列的通项公式: an ? a1q n?1 (a1 ? q ? 0) 或 an ? am q n?m (a1 ? q ? 0) ;

na1 ? (q ? 1) ? n (2)等比数列的前 n 项和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ; ? ( q ? 1 ) ? 1? q ? 1? q
(3)等比中项: an?1 ? ? an ? an? 2 ; (4) 无穷递缩等比数列各项公式: 对于等比数列 a1 , a1q, aq ,? (| q |? 1) 的前 n 项和, 当n
2

无限增大时的极限,叫做这个无穷递缩数列的各项的和,记为 S ,即

S ? lim S n ?
n??

a1 (0 ?| q |? 1) ; 1? q

m (5)设 {an } 是等比数列,则 {?an } ( ? 是常数) , {an } 仍成等比数列;

(6)设 {an } , {bn } 是等比数列,则 {an ? bn } 也是等比数列; (7)设 {an } 是等比数列, {bn } 是等差数列,且 bn ? Z * 则 {abn } 也是等比数列(即等比数 列中等距离分离出的子数列仍为等比数列) ; (8)设 {an } 是正项等比数列,则 {logc an } (c ? 0, c ? 1) 是等差数列; (9)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ;特别地,当 m ? n ? 2 p 时, am ? an ? a 2 p ; (10) 设 A ? a1 ? a2 ? ? ? an ,B ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2n ,C ? a2n?1 ? a2n?2 ? ? ? a3n , 则有 B ? A ? C ;
2

(11)其他衍生等比数列:若已知等比数列 {an } ,公比为 d ,前 n 项和为 S n ,则 ①. a p , a p?1 ,?, a p?( n?1)t ,?为等比数列,公比为 q ; ②.a1 ? a2 ? ? ? am , am?1 ? am?2 ? ? ? a2m ,?(即 S m , S 2m ? S m , S 3m ? S 2m ,?) 为等比数列,公比为 q m ;
t

典例分析
例 1.设等差数列的首项与公差均为非负整数,项数不小于 3,且各项之和为 972,则这样 的数列有_____________个。 解 : 设 等 差 数 列 的 首 项 为 a , 公 差 为 d 。 由 已 知 有 na ?

1 n(n ? 1)d ? 97 2 , 即 2

[2a ? (n ? 1)d ] ? n ? 2 ? 972 。又因为 n ? 3 ,所以 n 只可能取 97,2 ? 97,972 ,2 ? 972 ,又
因为 a ? 0, d ? 0 且 a, d 均为整数,故 2 ? 972 ? n(n ? 1)d ? 2an ? n(n ? 1)d ;
2 若 d ? 0 ,由于 d 为正数,则 d ? 1 ,即 2 ? 97 ? n(n ? 1)d ? n(n ? 1) ,故 n ? 97 ,这时

有 (n, a, d ) ? (97,49,1) 或 (97,1,2) ;
2 2 若 d ? 0 ,则 na ? 97 ,这时有 (n, a, d ) ? (97,97,0) 或 (97 ,1,0) 。

} ,A 是 S 的三元子集,满足:A 中元素可以组成等差数列,那么 例 2.设 S ? {1,2,?,100
这样的三元子集有___________个。

解:若 a1 , a2 , a3 成等差数列,则 a1 ? a3 ? 2a2 ,从而首未两项奇偶相同,且首未两项一旦 确定,那么等差数列也就随之确定了。但是值得注意的是,虽然 a1 , a2 , a3 成等差数列时,

a3 , a2 , a1 也成等差数列,但它们所对应的是同一个集合 A={ a1 , a2 , a3 }。
将 S 按数的奇偶性分成 S1 ? {1,3,5,?,2001 ,2003 } 与 S 2 ? {2,4,6,?,2002 } 两个子集。
2 从 S1 中取出两个数作为等差数列的首未两项,共有 C1002 种不同的取法; 2 从 S 2 中取出两个数作为等差数列的首未两项,共有 C1001 种不同的取法; 2 2 所以共有 C1002 + C1001 种不同的取法。

例 3.设 S ? {1,2,3,?, n} ,A 为至少含有两项且公差为正的等差数列,其项都在 S 中,且 添加 S 的其它元素于 A 后均不能构成与 A 有相同公差的等差数列,求这种 A 的个数(这里 只有两项的数列也看作是等差数列) (1991 年全国高中数学联赛二试第一题) 分析:可先对特殊的 n(如 n=1,2,3)通过列举法求出 A 的个数,然后总结规律,找出 an 的 递推关系,从而解决问题;也可以就 A 的公差 d ? 1,2,?, n ? 1 时,讨论 A 的个数。 解 法 一 : 设 n 元 素 集 S ? {1,2,3,?, n} 中 满 足 条 件 的 A 有 an 个 , 则

a1 ? 0, a2 ? 1, a3 ? 2( A ? {1,3},{1,2,3}) , a4 ? 4( A ? {1,3},{1,4},{2,4},{1,2,3,4}) ,……
如此下去,可以发现 a n ? a n ?1 ? [ ] 。 事实上,S ? {1,2,3,?, n} 比 S ? {1,2,3,?, n ? 1} 的 A 增加的公差为 (n ? 1) 的 1 个, 公差为

n 2

n n ?1 n (n 为奇数)的增加 1 个,共增加 [ ] 个。 (n ? 2) 的 1 个,……,公差为 ( n 为偶数)或 2 2 2
由 {an } 的递推公式可得 a n ? [

n2 ] 个。 4
n n 时,公差为 d 的 A 有 d 个,当 ? 1 ? d ? n ? 1 时, 2 2

解法二:设 A 的公差为 d ,则 1 ? d ? n ? 1 ,分为两种情况讨论: (1)当 n 为偶数时,则当 1 ? d ?

公差为 d 的 A 有 (n ? d ) 个,故当 n 为偶数时,这种 A 共有

n n n2 (1 ? 2 ? ? ? ) ? {1 ? 2 ? ? ? [n ? ( ? 1)]} ? 个; 2 2 4
(2)当 n 为奇数时,则当 1 ? d ?

n ?1 n ?1 ? d ? n ? 1 时, 时,公差为 d 的 A 有 d 个,当 2 2

公差为 d 的 A 有 (n ? d ) 个,故当 n 为奇数时,这种 A 共有

n n n2 ?1 (1 ? 2 ? ? ? ) ? {1 ? 2 ? ? ? [n ? ( ? 1)]} ? 个; 2 2 4
综合(1) (2)得,所求的 A 共有 [

n2 ] 个。 4

例 4.将数列 {2n ? 1} 依次按每一项,两项,三项,四项循环分成(3) , (5,7) , (9,11, 13) , (15,17,19,21) , (23) , (25,27) , (29,31,33) , (35,37,39,41) , (43)……, 则第 100 个括号内的各数之和是__________________。 解:每循环一次记为一组,则第 100 个括号是第 25 组的第 4 个括号。而每组中第四个括号 内的各数之和构成以 72 为首项,以 80 为公差的等差数列,故 72 ? 24 ? 80 ? 1992 为所求。
2 2 2 例 5. 设数列 {an } 是等差数列, 且 b1 ? a1 ,b2 ? a2 ,b3 ? a3 ( a1 ? a 2 ) , {bn } 是等比数列,

又 lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ?
n???

2 ? 1 ,试求数列 {an } 的首项与公差。
(2000 年全国高中数学联赛一试第 13 题)

2 2 2 分析;题中两个基本量 {an } 中的首项 a1 和公差 d 是所需求的。利用 a1 , a2 , a3 成等比数

列和给定的极限可列出两个方程,但需注意极限存在的条件。 解:设所求的首项为 a1 ,公差为 d 。因为 a1 ? a 2 ,故 d ? a2 ? a1 ? 0 ;又因为 {bn } 成等
2 2 比 数 列 , 故 b2 , 即 (a1 ? d ) ? a1 (a1 ? 2d ) , 化 简 得 : ? b1 ? b3 , 即 a 2 ? a1 a3
4 2 4 2 2

2a12 ? 4a1d ? d 2 ? 0 ,解得 d ? (?2 ? 2 )a1 ,而 ? 2 ? 2 ? 0 ,故 a1 ? 0 ;
若 d ? (?2 ? 2 )a1 , 则q ?
2 2 a2 a2 2 ; 若 , 则 ? ( 2 ? 1 ) q ? ? ( 2 ? 1) 2 ; d ? ( ? 2 ? 2 ) a 1 a12 a12

但是 lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ?
n???

2 ? 1 存在,可知 | q |? 1 ,于是 q ? ( 2 ? 1) 2 不合题意,从

而只有 q ? ( 2 ? 1) 2 。于是由 lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ?
n???

b1 a12 ? ? 2 ?1 1 ? q 1 ? ( 2 ? 1) 2

2 解得 a1 ? (2 2 ? 2)( 2 ? 1) ? 2 ,所以 a1 ? ? 2 , d ? (?2 ? 2 )a1 ? 2 2 ? 2

故数列 {an } 的首项与公差分别为 ?

2 和2 2 ? 2。
2 n?1 n ?1 n ?1 ) (cos ? ? i sin ? )(n ? N * ) 2 6 6

例 6.若复数列 {an } 的通项公式为 a n ? (

(1)将数列 {an } 的各项与复平面上的点对应,问从第几项起,以后所有的各项对应的点都

落在圆 x ? y ?
2 2

1 的内部; 16

(2)将数列 {an } 中的实数项按原来的顺序排成一个新数列 {bn } ,求数列 {bn } 的通项及所 有项的和。 解: ( 1 ) 设 数 列 {an } 的 各 项 在 复 平 面 上 对 应 的 点 的 坐 标 为 {( xn , yn )} , 则

xn ? (

2 n ?1 2 n?1 n ?1 ?。 ) cos ? , y n ? ( ) n?1 sin 2 6 2 6
1 2 n ?1 2 1 2 n ?1 2 的内部,只需 [( ) n?1 cos ?] ? , ? ] ? [( ) n?1 sin 16 2 6 16 2 6

2 2 要使点 ( xn , yn ) 落在圆 x ? y ?

得( )

1 2

n ?1

1 1 ? ( ) 4 即 n ? 5 ,故从第 6 项起,以后每一项都落在圆 x 2 ? y 2 ? 的内部。 2 16

(2)要使数列 {an } 中的项为实数,则 (

2 n?1 n ?1 ) sin ? ? 0 ,得 n ? 6k ? 5(k ? N * ) , 2 6 2 6 n ?6 ) cos(n ? 1)? , 2

因此数列 {bn } 的通项公式为 bn ? a6n?5 ? (

所以

bn?1 2 cosn? 1 ? ( )6 ? ? ,且 b1 ? a1 ? 1 bn 2 cos(n ? 1)? 8
1 的无穷递缩数列,从而数列 {bn } 的所有项的和为: 8

故数列 {bn } 是首项为 1 ,公比为 ?

S?

b1 ? 1? q

1 1? 1 8

?

8 。 9

例 7. 已知整数 n ? 3 , 2, 3, ……, n 的一个排列, 求证: a1 , a2 , a3 ?, an 是 1, a1 ,2a2 ,3a3 ?, nan 不可能构成一个等差数列, 也不可能构成一个等比数列。 (2006 年山东省第二届夏令营试题) 证 明 : 若 a1 ,2a2 ,3a3 ?, nan 构 成 一 个 等 差 数 列 , 设 其 公 差 为 d , 则 d ? 2a 2 ? a1 ,

nan ? a1 ? (n ? 1)d ? nd ? 2a1 ? 2a2 ,所以 n | (2a1 ? 2a2 ) 。
而 ? 2n ? 2a1 ? 2a2 ? 2n ,因为 a1 ? a 2 ,所以 2a1 ? 2a2 ? {?n, n} 所以 a1 ? d ? 2a1 ? 2a2 ? {?n, n} 。 于是当 a1 ? d ? ?n 时,则 d ? a1 ? n ,于是

(n ? 1)an?1 ? a1 ? (n ? 2)d ? a1 ? (n ? 2)(a1 ? n) ? (n ? 1)a1 ? n(n ? 2)

所以 (n ? 1) \ n(n ? 2) ,矛盾! 当 a1 ? d ? n 时,则 d ? a1 ? n ? 0 , 又因为 nan ? a1 ? 0 所以 d ? 0 ,从而 d ? 0 。 所以 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an?1 ? nan , 所以 n ? 1 | a1 , n | a1 , 从而 n(n ? 1) | a1 , 矛盾! 从而 a1 ,2a2 ,3a3 ?, nan 不可能构成一个等差数列。 下证 a1 ,2a2 ,3a3 ?, nan 不可能构成一个等比数列。 若 a1 ,2a2 ,3a3 ?, nan 构成了一个等比数列,考虑最后三项。 有 (n ?1) an?1 ? (n ? 2)an?2 nan ,所以 n(n ? 2) | (n ?1) an?1 。
2 2 2 2

而( n(n ? 2) , (n ? 1) ) ? 1 ,所以 n(n ? 2) | a n ?1 ;
2

2

当 an?1 ? n ? 2 时,显然 n(n ? 2) a n ?1 ;
2

当 an?1 ? n ? 1 时,显然 n(n ? 2)

(n ? 1) 2 ;

当 an?1 ? n 时,有 n(n ? 2) | n 2 ,知 (n ? 2) | n ,所以 (n ? 2) | n ? (n ? 2) 即 (n ? 2) | 2 ,所 以 n ? 3 或 4; 当 n ? 3 时, a1 ,2a 2 ,3a3 只能为 1,6,6 或 2,6,3,但这两个都不是等比数列; 当 n ? 4 时, a3 ? 4 ,所以 3a3 ? 12 ? 4a4 故 q ? 1 ;又因为 3a3 ? 12 ? a1 ,所以 q ? 1 矛盾! 所以 a1 ,2a2 ,3a3 ?, nan 也不可能构成一个等比数列。 例 8. 正整数序列 {an } 按以下方式构成:a0 为某个正数, 如果 an 能被 5 整除, 则 a n ?1 ?

an ; 5

如果 an 不能被 5 整除, ,则 an?1 ? [ 5an ] 。证明:数列{ an }自某一项起,以后各项都不是 5 的倍数。 (2006 年山东省第二届夏令营试题)

证明:首先证明 {an } 中一定在存在相邻的两项,它们都不是 5 的倍数。 (反证)若不然,数列 {an } 中任意的两项都是 5 的倍数。 若 5 | an?1 ,则 a n ? 2 ?

an?1 [ 5an ] 5an ? ? ? an ; 5 5 5

若5

a n?1 ,则 5 | a n ,从而 a n ? 2 ? [ 5a n ?1 ] ? [ 5

an 5an ]? ? an ; 5 5

所以 a0 ? a1 ? a2 ? ?? 矛盾! (因为某个正数,不可能大于无穷多个正整数) 从而 {an } 中一定在相在相邻的两项,它们都不是 5 的倍数。 设 a n , a n ?1 都不是 5 的倍数,则 an?1 ? [ 5an ] ? 5an ? ? ,其中 0 ? ? ? 1 , 有 an?2 ? [ 5an?1 ] ? [ 5( 5an ? ? )] ? [ 5an ? 5? ] ? 5an ? [? 5? ] 因为 0 ? 所以 ? 5 ? ? 5? ? 0 , 所以 [? 5? ] 只能取 ? 1,?2,?3 , 即 a n? 2 ? 5a n 5? ? 5 ,

只能取 ? 1,?2,?3 ,这说明 a n? 2 不是 5 的倍数。 即从 an 起以后每一项都不是 5 的倍数。 例 9.将与 105 互质的所有正整数从小到大排成数列,求这个数列的第三 1000 项。 解 : 设 U ? {1,2,3,?,1 0} 5, A3 ? {a | a ?U且3 | a} , A5 ? {a | a ?U且5 | a} ,

A7 ? {a | a ?U且7 | a}


105 105 105 ? 35 ; Card ( A5 ) ? ? 21 ; Card ( A7 ) ? ? 15 ; 3 5 7 105 105 105 Card ( A3 ? A5 ) ? ? 7 ; Card ( A5 ? A7 ) ? ? 3 ; Card ( A7 ? A3 ) ? ? 5; 3? 5 5? 7 7?3 105 Card ( A3 ? A5 ? A7 ) ? ? 1 ,所以 Card (U ) ? 105。 3? 5? 7 Card ( A3 ) ?

在 1 到 105 之间与 105 互质的数有 Card (CU A3 ? CU A5 ? CU A7 ) ? Card(U ) ? [ Card ( A3 )

? Card ( A5 ) ? Card ( A7 ) ]+[ Card ( A3 ? A5 ) + Card ( A5 ? A7 ) + Card ( A7 ? A3 ) ]
- Card ( A3 ? A5 ? A7 ) =105-(35+21+15)+(7+3+5)-1=48 设将与 105 互质的数从小到大排列起来为数列 a1 , a2 ,?, an ,? , 则 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 4,?,

a48 ? 104, a49 ? 105? 1, a50 ? 105? 2 , a51 ? 105? 4,?, a96 ? 105? 104,?
这是一个以 48 为周期的周数列,因为 1000 ? 48 ? 20 ? 40 所以 a1000 ? 105? 20 ? a40 ; 而由于 a48 ? 104, a47 ? 103, a46 ? 101, a45 ? 97 , a44 ? 94 , a43 ? 92 , a42 ? 89 ,

a41 ? 88, a40 ? 86 ;
所以 a1000 ? 105? 20 ? a40 = 105 ? 20 ? 86 ? 2186 。

?a n ?1 2 例 10.数列 {an } 的定义如下: a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时,有 ? ? 1 ? ? a n ?1
现已知 a n ?

当n为偶数时 当n为奇数时

30 , 求正整数 n . 19

(2006 年山东省第二届夏令营试题)

解: 由题设条件知 an ? 0, n ? 1,2? , 并由 a1 ? 1 得当 n 为偶数时, 当 n 为奇数时, an ? 1 , an ? 1 ;

30 ? 1 ,知 n 为偶数; 19 n n?2 30 11 1 19 所以 a n ? a n ? 1 ? 为偶数; ?1 ? ? 1知 为奇数;所以 a n ? ? ? 1知 ?1 2 2 19 19 a n 11 2 2
由于 a n ?
2

a n?2 ? a n ? 1 ?
4 2 ?1

1 11 n?2 n?6 19 8 ? ? 1知 为奇数; a n?2 ? 为偶数; ?1 ? ? 1知 ?1 4 4 a n?2 8 11 11 4
4

a n ?6 ? a n ?6 ? 1 ?
8 4

n?6 n ? 14 11 3 1 8 为奇数; a n?6 ? 为偶数; ?1 ? ? 1知 ? ? 1知 ? 1 8 8 8 8 a n ?6 3 8
8

8 5 5 2 n ? 14 n ? 14 a n?14 ? a n?6 ? 1 ? ? 1 ? ? 1知 a n?14 ? a n?14 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 知 为偶数; 为奇数; 16 32 3 3 3 3 16 8 32 16
a n?14
32 ?1

?

1 a n ?14
32

?

3 1 n ? 46 n ? 46 3 为偶数; a n?46 ? a n?14 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 知 为奇数; ? 1知 32 64 2 2 2 64 32
n ? 110 为偶数; a n ?110 64 128

a n?46
64

?1

?

1 a n?46
64

? 2 ?1知

? a n?110 ?1 ? 2 ?1 ? 1
64

所以

n ? 110 ? 1 ,所以 n ? 238 。 128


相关文章:
第七节:等差数列与等比数列的性质及应用
第七节:等差数列与等比数列的性质及应用_数学_高中教育_教育专区。奇迹教育:祝...等差数列与等比数列的性质及应用题型一 “成对下标和”性质 1. 已知等比数列 ...
等差数列和等比数列的解题技巧
4.数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考中占有重要的 地位.高考对本章的考查比较全面, 等差数列, 等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题...
等差数列与等比数列解题技巧
等差数列与等比数列解题技巧【摘要】在高中数学课程内容中,数列作为离散函数的典型代表之一,不仅在高中数学中具有重要 位置,而且,在现实生活中有着非常广泛的作用.因...
等差数列与等比数列的有关知识比较一览表
定义递推关系 等差数列与等比数列的有关知识比较一览表 等差数列等比数列 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项 项...
等差数列和等比数列公式
等差数列和等比数列公式_高一数学_数学_高中教育_教育专区。简要介绍资料的主要内容,以获得更多的关注知识回顾 1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 等差数...
高中数学必修5:等差数列与等比数列知识对比表
高中数学必修 5:等差数列与等比数列知识比较一览表等差数列 一般地,如果一个数列 {an } 从第 2 项起,每一项与它 的前一项的差等于同一个常数 d,那么这个...
等差数列等比数列常见结论
等差数列等比数列常见结论_高一数学_数学_高中教育_教育专区。等差数列等比数列常见结论 一、等差数列常见结论 1, 判断给定的数列 {an } 是等差数列的方法 (1) ...
等差数列与等比数列知识点类比表
一、等差数列与等比数列知识点类比表 等差数列 定义 递推 公式 通项 公式 中项 前 n 等比数列 a n ?1 an ? q ( q ? 0, 且为常数 , n ≥ 2 ) ...
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列、等比数列知识点梳理_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。最新总结,适合复习 等差数列和等比数列知识点梳理第一节:等差数列的公式和相关性质 1、等差...
更多相关标签:
等差等比数列求和公式 | 等差等比数列公式 | 等差数列 等比数列 | 等差数列等比数列笑话 | 等差数列和等比数列 | 等差数列与等比数列 | 等差等比数列基础题 | 等差数列 等比数列 污 |