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2016届浙江省名校新高考研究联盟高三(下)第一次联考数学试卷(理科)解析版


2015-2016 学年浙江省名校新高考研究联盟高三(下)第一次联 考数学试卷(理科)
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分) (2015?衡南县二模)设全集 U=R,且 A={x||x﹣1|>2},B={x|x ﹣6x+8<0}, 则(?UA)∩B=( ) A.[﹣1,4) B. (2,3) C. (2,3] D. (﹣1,4) 2. (5 分) (2016 春?浙江月考)已知 m>0 且 m≠1,则 logmn>0 是(1﹣m) (1﹣n)>0 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. (5 分) (2011?蓝山县校级模拟)如图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图 都是边长为 2 的正三角形,其俯视图轮廓为正方形,则其体积是( )
2

A.

B.

C.

D.

4. (5 分) (2016?丹东二模)已知定义域为 R 的函数 f(x)不是偶函数,则下列命题一定为 真命题的是( ) A.? x∈R,f(﹣x)≠f(x) B.? x∈R,f(﹣x)≠﹣f(x) C.? x0∈R,f(﹣x0)≠f(x0) D.? x0∈R,f(﹣x0)≠﹣f(x0) 5. (5 分) (2013?东城区模拟)已知数列{an}满足 an= 若{an}是递减数列,则实数 a 的取值范围是( A. ( ,1) B. ( , ) ) (n∈N ) ,
*

C. ( ,1) D. ( , )
2

6. (5 分) (2015?腾冲县一模)已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位 于 x 轴的两侧, ( A. ) B. C. D. ? =2(其中 O 为坐标原点) ,则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是

7. (5 分) (2016 春?温州校级期中)如图四边形 ABCD,AB=BD=DA=2.BC=CD= 将△ABD 沿 BD 折起,使二面角 A﹣BD﹣C 的大小在[ 角的余弦值取值范围是( ) ,

,现

],则直线 AB 与 CD 所成

A.[0,

]∪(

,1)

B.[


?

] C.[0,
?

] D.[0,

]

8. (5 分) (2016 春?浙江月考)设函数 f:N →N ,并且对所有正整数 n,有 f(n+1)>f (n) ,f(f(n) )=3n,则 f(2015)=( ) A.2016 B.3858 C.4030 D.6045 二、填空题: (本大题共 7 小题,多空题每小题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. ) 9. (6 分) (2016 春?浙江月考) 双曲线 的实轴长是______, 渐近线方程是______.

10. (6 分) (2016 春?浙江月考)函数 f(x)=sinx﹣cosx﹣1 的最小正周期是______,单调 递增区间是______. 11. (6 分) (2016 春?浙江月考) 已知{|an|}是首项和公差均为 1 的等差数列, 则 a2=______, 若 S2=a1+a2,则 S2 的所有可能值组成的集合为______. a 12. (4 分) (2016 春?浙江月考)若 2 =6,b=log23,则 a﹣b=______. 13. (4 分) (2016 春?浙江月考)已知一平面与一正方体的 12 条棱的所成角都等于 α,则 sinα=______. 14. (6 分) (2016 春?浙江月考)若实数 x,y 满足|x|+|y|≤1,则|4x+y﹣2|+|3﹣x﹣2y| 的最小值是______,取到此最小值时 x=______,y=______. 15. (6 分) (2016 春?浙江月考)空间四点 A,B,C,D 满足| | |=7,则 ? 的值为______. |=2,| |=3,| |=4,

三、解答题: (本大题共 5 个题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (14 分) (2016 春?浙江月考)在△ABC 中,已知 AB=2, (Ⅰ)若 BC=3,求 AC 的长; (Ⅱ)若点 D 为 AC 中点,且 ,求 sinA 的值. .

17. (15 分) (2016 春?浙江月考)已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是等腰梯形,AB∥ CD,且 AC⊥BD,AC 与 BD 交于 O,PO⊥底面 ABCD,PO=2, 分别是 AB,AP 的中点. (1)求证:AC⊥EF; (2)求二面角 F﹣OE﹣A 的余弦值. ,E,F

18. (15 分) (2016 春?浙江月考)设 f(x)=x +bx+c(b,c∈R) ,函数 f(x)在区间(2, 3]上有最大值 1. (Ⅰ)若 c=4,求 b 的值; (Ⅱ)当|x|>2 时,f(x)>0 恒成立,求 b+ 的取值范围.

2

19. (15 分) (2016 春?浙江月考)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右焦点为 F1,

F2,离心率为 e.直线 l:y=ex+a 与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B 两点,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点 F1 关于直线 l 的对称点,设 (Ⅰ)若 ,求椭圆 C 的离心率; .

(Ⅱ)若△PF1F2 为等腰三角形,求 λ 的值. 2 * 20. (15 分) (2016 春?浙江月考)设数列{an}满足 a1=a,an+1an﹣an =1(n∈N ) (I)若 a3= ,求实数 a 的值;
* *

(Ⅱ)设 bn=

(n∈N ) .若 a=1,求证

≤bn< (n≥2,n∈N ) .

2015-2016 学年浙江省名校新高考研究联盟高三(下)第 一次联考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 2 1. (5 分) (2015?衡南县二模)设全集 U=R,且 A={x||x﹣1|>2},B={x|x ﹣6x+8<0}, 则(?UA)∩B=( ) A.[﹣1,4) B. (2,3) C. (2,3] D. (﹣1,4) 【分析】利用绝对值是表达式的解法求出集合 A,二次不等式的解法求解集合 B,然后求解 (?UA)∩B. 【解答】解:A={x||x﹣1|>2}={x|x>3 或 x<﹣1}, ?UA={x|﹣1≤x≤3}. 2 B={x|x ﹣6x+8<0}={x|2<x<4}, ∴(?UA)∩B={x|2<x≤3}. 故选:C. 【点评】本题考查集合的基本运算,绝对值表达式以及二次不等式的解法,考查计算能力. 2. (5 分) (2016 春?浙江月考)已知 m>0 且 m≠1,则 logmn>0 是(1﹣m) (1﹣n)>0 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】 根据对数不等式以及不等式的性质, 结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:若 m>1,由 logmn>0 得 n>1,此时 1﹣m<0,1﹣n<0,则(1﹣m) (1﹣n) >0 成立, 若 0<m<1,由 logmn>0 得 0<n<1,此时 1﹣m>0,1﹣n>0,则(1﹣m) (1﹣n)>0 成立, 即充分性成立, 若(1﹣m) (1﹣n)>0 则 >0 无意义,即必要性不成立, 即 logmn>0 是(1﹣m) (1﹣n)>0 的充分不必要条件, 故选:A 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据对数不等式的解法和不等式的性质 是解决本题的关键.注意要进行分类讨论. 3. (5 分) (2011?蓝山县校级模拟)如图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图 都是边长为 2 的正三角形,其俯视图轮廓为正方形,则其体积是( ) 或 ,当 0<m<1,n=0 时,满足 ,但 logmn

A.

B.

C.

D.

【分析】三视图复原的几何体是正四棱锥,求出底面面积,正四棱锥的高,即可求出体积. 【解答】解:如图据条件可得几何体为底面边长为 2 的正方形,侧面是等边三角形高为 2 的正四棱锥, 故其体积 V= ×4× 故选 C. = .

【点评】本题是基础题,考查几何体的三视图,几何体的体积的求法,准确判断几何体的形 状是解题的关键. 4. (5 分) (2016?丹东二模)已知定义域为 R 的函数 f(x)不是偶函数,则下列命题一定为 真命题的是( ) A.? x∈R,f(﹣x)≠f(x) B.? x∈R,f(﹣x)≠﹣f(x) C.? x0∈R,f(﹣x0)≠f(x0) D.? x0∈R,f(﹣x0)≠﹣f(x0) 【分析】根据定义域为 R 的函数 f(x)不是偶函数,可得:? x∈R,f(﹣x)=f(x)为假 命题;则其否定形式为真命题,可得答案. 【解答】解:∵定义域为 R 的函数 f(x)不是偶函数, ∴? x∈R,f(﹣x)=f(x)为假命题; ∴? x0∈R,f(﹣x0)≠f(x0)为真命题, 故选:C. 【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性的定义,全称命题的否定,难度中档.

5. (5 分) (2013?东城区模拟)已知数列{an}满足 an= 若{an}是递减数列,则实数 a 的取值范围是( A. ( ,1) B. ( , ) )

(n∈N ) ,

*

C. ( ,1) D. ( , )

【分析】 依题意, an=

(n∈N ) , {an}是递减数列, 可知

*



解之即可得答案. 【解答】解:∵an= (n∈N ) ,且{an}是递减数列,
*



,即



解得 <a< . 故选 D.

【点评】本题考查数列的函数特性,求得

是关键,也是难点,考查理解与转化

能力,属于中档题. 6. (5 分) (2015?腾冲县一模)已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位 于 x 轴的两侧, ( A. ) B. C. D. ? =2(其中 O 为坐标原点) ,则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是
2

【分析】先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利 用韦达定理及 ? =2 消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题.

【解答】解:设直线 AB 的方程为:x=ty+m,点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 与 x 轴的交点为 M(m,0) , 2 2 x=ty+m 代入 y =x,可得 y ﹣ty﹣m=0,根据韦达定理有 y1?y2=﹣m, ∵ ? =2,∴x1?x2+y1?y2=2,从而(y1?y2) +y1?y2﹣2=0,
2

∵点 A,B 位于 x 轴的两侧, ∴y1?y2=﹣2,故 m=2. 不妨令点 A 在 x 轴上方,则 y1>0, 又 F( ,0) , ∴S△ BFO+S△ AFO= ? ?y1+ ? ?|y2

= (y1+



≥ ?2 = 当且仅当 y1= ,即 y1= 时,取“=”号,

∴△BFO 与△AFO 面积之和的最小值是



故选:B. 【点评】求解本题时,应考虑以下几个要点: 1、联立直线与抛物线的方程,消 x 或 y 后建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消 元,这是处理此类问题的常见模式. 2、求三角形面积时,为使面积的表达式简单,常根据图形的特征选择适当的底与高. 3、利用基本不等式时,应注意“一正,二定,三相等”. 7. (5 分) (2016 春?温州校级期中)如图四边形 ABCD,AB=BD=DA=2.BC=CD= 将△ABD 沿 BD 折起,使二面角 A﹣BD﹣C 的大小在[ 角的余弦值取值范围是( ) , ,现

],则直线 AB 与 CD 所成

A.[0,

]∪(

,1)

B.[



] C.[0,

] D.[0,

]

【分析】取 BD 中点 O,连结 AO,CO,以 O 为原点,OC 为 x 轴,OD 为 y 轴,过点 O 作 平面 BCD 的垂线为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线 AB 与 CD 所成角 的余弦值取值范围. 【解答】解:取 BD 中点 O,连结 AO,CO, ∵AB=BD=DA=2.BC=CD= ,∴CO⊥BD,AO⊥BD,且 CO=1,AO= , ∴∠AOC 是二面角 A﹣BD﹣C 的平面角, 以 O 为原点,OC 为 x 轴,OD 为 y 轴, 过点 O 作平面 BCD 的垂线为 z 轴,建立空间直角坐标系, B(0,﹣1,0) ,C(1,0,0) ,D(0,1,0) ,

设二面角 A﹣BD﹣C 的平面角为 θ,则 连 AO、BO,则∠AOC=θ,A( ∴ 设 AB、CD 的夹角为 α, 则 cosα= = , ,

, ) , ,

∵ ∴cos 故选:D.

,∴cos .

,∴|1﹣

|∈[0, ].

【点评】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 向量法的合理运用. 8. (5 分) (2016 春?浙江月考)设函数 f:N →N ,并且对所有正整数 n,有 f(n+1)>f (n) ,f(f(n) )=3n,则 f(2015)=( ) A.2016 B.3858 C.4030 D.6045 【分析】可令 n=1,可得 f(f(1) )=3,讨论 f(1)=1,2,3,即可判断 f(1)=2,f(2) =3,进而求得 f(3)=6,f(6)=9,…,f(54)=81,…,得到 n 与 f(n)的关系,总结出 一般规律,即可得到 f(2015)的值. 【解答】解:令 n=1 可得 f(f(1) )=3, f(n)为正整数,若 f(1)=1,把 f(1)=1 带进去,就成了 f(1)=3,矛盾. 要是 f(1)=2,那就是 f(2)=3,可能正确, 要是 f(1)=3,那就是 f(3)=3,不满足 f(n+1)>f(n) . 所以 f(1)=2,所以 f(f(2) )=f(3)=6,f(f(3) )=f(6)=9, f(9)=f(f(6) )=18,f(18)=f(f(9) )=27,f(27)=f(f(18) )=54,f(54)=f(f (27) )=81,…, 即有 n∈[1,2],f(n)∈[2,3],即 f(n)与 n 一一对应; n∈[3,6],f(n)∈[6,9],即 f(n)与 n 一一对应; n∈[9,18],f(n)∈[18,27],即 f(n)与 n 一一对应;
? ?

n∈[27,54],f(n)∈[54,81],即 f(n)与 n 一一对应;…; 则得到一般的规律,任意的 n 为自然数,存在 m 为自然数, n∈[3 ,3 ],n=3 +k, m m m m m ①n∈[3 ,2?3 ],0≤k≤3 ,f(n)=f(3 +k)=2?3 +k; m m+1 m m+1 m m m m ②n∈[2?3 ,3 ],3 ≤k≤3 ,f(n)=f(3 +k)=2?3 +3 +3(k﹣3 )=3k. 6 7 6 2015∈[2?3 ,3 ],2015=3 +1286,f(2015)=1286×3=3858. 故选:B. 【点评】本题考查抽象函数及运用,考查解决抽象函数的常用方法:赋值法,正确赋值和找 出规律是迅速解题的关键,本题属于难题. 二、填空题: (本大题共 7 小题,多空题每小题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. ) 9. (6 分) (2016 春?浙江月考)双曲线 的实轴长是 2 ,渐近线方程是
m m+1 m

y= x . 【分析】根据双曲线的标准方程分别进行求解即可. 【解答】解:由双曲线的方程得 a =1,b =3, 则 a=1,b= , 则双曲线的实轴长 2a=2,渐近线方程为 y=± x= x,
2 2

故答案为:2,y= x 【点评】本题主要考查双曲线实轴和渐近线的求解,求出 a,b 是解决本题的关键. 10. (6 分) (2016 春?浙江月考)函数 f(x)=sinx﹣cosx﹣1 的最小正周期是 2π ,单调 递增区间是 [2kπ﹣ ,2kπ+ ],k∈Z .

【分析】利用两角和与差的正弦公式,由周期公式求得周期,再由复合函数的单调性求得原 函数的单调递增区间. 【解答】解:f(x)=sinx﹣cosx﹣1= ∴T=2π; 由 ∴f(x)的单调递增区间为[2kπ﹣ 故答案为:2π,[2kπ﹣ ,2kπ+ ,得 ,2kπ+ ],k∈Z. ],k∈Z. ,k∈Z. .

【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用,考查了 y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性 质,是基础题. 11. (6 分) (2016 春?浙江月考) 已知{|an|}是首项和公差均为 1 的等差数列, 则 a2= ±2 , 若 S2=a1+a2,则 S2 的所有可能值组成的集合为 {﹣3,﹣1,1,3} . 【分析】解:由题意|an|=n,分别求出 a1、a2 的值,再求对应的 S2 即可. * 【解答】解:由题意|an|=n,n∈N ,

∴a1=±1,a2=±2; 当 a1=1,a2=2 时,S2=3; 当 a1=1,a2=﹣2 时,S2=﹣1; 当 a1=﹣1,a2=﹣2 时,S2=﹣3; 当 a1=﹣1,a2=2 时,S2=1; 所以 S2 的所有可能值组成的集合为{﹣3,﹣1,1,3}. 故答案为:±2;{﹣3,﹣1,1,3}. 【点评】本题考查了等差数列的定义与通项公式的应用问题,考查了分类讨论思想,是基础 题目. 12. (4 分) (2016 春?浙江月考)若 2 =6,b=log23,则 a﹣b= 1 . 【分析】根据对数的定义和对数的运算性质计算即可. 【解答】解:∵2 =6,b=log23 ∴a=log26, ∴a﹣b=log26﹣log23=log22=1, 故答案为:1 【点评】本题考查了对数的定义和对数的运算性质,属于基础题. 13. (4 分) (2016 春?浙江月考) 已知一平面与一正方体的 12 条棱的所成角都等于 α, 则 sinα= . 【分析】棱 A1A,A1B1,A1D1 与平面 AB1D1 所成的角相等,平面 AB1D1 就是与正方体的 12 条棱的夹角均为 θ 的平面.则∠A1AO=θ,即可得出. 【解答】解:∵棱 A1A,A1B1,A1D1 与平面 AB1D1 所成的角相等, ∴平面 AB1D1 就是与正方体的 12 条棱的夹角均为 θ 的平面.则∠A1AO=θ,
a a

设棱长为:1,A1O=

,AO=

=

,易知 sinθ=

=

=



故答案为:



【点评】本题考查了正方体的性质、线面角,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 14. (6 分) (2016 春?浙江月考)若实数 x,y 满足|x|+|y|≤1,则|4x+y﹣2|+|3﹣x﹣2y| 的最小值是 ,取到此最小值时 x= ,y= .

【分析】分情况讨论目标函数化简,画出约束条件所表示的可行域,结合图形找出最优解, 可求出目标函数的最小值. 【解答】解: (1)当 时,作出满足约束条件的可行域如图,

令 z=|4x+y﹣2|+|3﹣x﹣2y|=3x﹣y+1,则 y=3x+1﹣z, ∴y=3x+1﹣z 过点 C 时,1﹣z 取得最大值,z 取得最小值.

解方程组





∴z=3x﹣y+1= .

(2)当

时,作出满足约束条件的可行域如图,

令 z=|4x+y﹣2|+|3﹣x﹣2y|=﹣5x﹣3y+5, 则 y=﹣ + ∴y=﹣ + , 经过点 C 时, 取得最大值,z 取得最小值,

由(1)知,C( , ) ,∴z=﹣5x﹣3y+5= . (3)当 3﹣x﹣2y<0 时,不存在符合条件的可行域, 综上,|4x+y﹣2|+|3﹣x﹣2y|的最小值是 . 故答案为: , , .

【点评】 本题考查了简单线性规划的应用, 运用绝对值的意义分类讨论和正确作出平面区域 是关键.

15. (6 分) (2016 春?浙江月考)空间四点 A,B,C,D 满足| | |=7,则 ? 的值为 19 . , , , 转化为以 ?
2

|=2,|

|=3,|

|=4,

【分析】 将向量 ﹣| | ,又
2

, , , 的式子, 计算| ﹣
2

| ﹣|

2

| +|

2

|

2

=( | ﹣| ﹣ ﹣ ?

﹣ | +|
2 2

)?( | ﹣| ﹣ ?
2

) ,展开即可得到所求值. ) ﹣( ﹣ )
2

【解答】解:| =( =2( ﹣ ?
2

| =( ) ﹣(
2

) +(
2

2

) ﹣(

2



2

) ﹣( + ?

) +( ﹣



=4﹣9+16﹣49=﹣38, 即有 又 = ? ? ? + =( + ? ? ﹣ ﹣ ﹣ ? ﹣ ﹣ ? ? ) =19. =﹣19,

) ?( ? ﹣

故答案为:19. 【点评】本题考查向量的加减运算和数量积的性质,考查运算能力,属于中档题. 三、解答题: (本大题共 5 个题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (14 分) (2016 春?浙江月考)在△ABC 中,已知 AB=2, (Ⅰ)若 BC=3,求 AC 的长; .

(Ⅱ)若点 D 为 AC 中点,且

,求 sinA 的值.

【分析】 (Ⅰ)由 cosB 的值,以及 BC 与 AB 的长,利用余弦定理求出 AC 的长即可; (Ⅱ)法 1:利用余弦定理列出关系式,联立求出 a 与 b 的值,再利用正弦定理即可确定出 sinA 的值;法 2:由题意得到 = ( + ) ,两边平方后求出 a 的值,进而求出 b 的值,

再由 sinB 的值,利用正弦定理求出 sinA 的值即可. 【解答】解: (Ⅰ)∵cosB= ,AB=2,BC=3, ∴由余弦定理得:AC =AB +BC ﹣2AB?BC?cosB=4+9﹣4=9, 则 AC=3; (Ⅱ)法 1:在△ABC 中,设 BC=a,AC=b, ∵AB=c=2,cosB= , 由余弦定理得:b =a +4﹣ a①,
2 2 2 2 2

在△ABD 和△BCD 中,由余弦定理得:cos∠ADB=

,cos∠

BDC=



∵cos∠ADB=﹣cos∠BDC,∴ 联立①②,解得:a=3,b=3, ∵cosB= ,B 为三角形内角,∴sinB=

=﹣

,即 b =2a ﹣9②,

2

2



由正弦定理

=

得:sinA= = (
2

= ) , ,
2

=



法 2:根据题意得:
2

+

两边平方得: (c +a +2ac?cosB)= 把 c=2 代入得:1+ a + a= 分解得: (3a+13) (a﹣3)=0, 解得:a=﹣ (舍去)或 a=3,
2

,即 3a +4a﹣39=0,

∵AB=c=2,cosB= , ∴sinB=
2

=
2



由余弦定理得:b =a +4﹣ a, 把 a=3 代入得:b=3, 由正弦定理 = 得:sinA= = = .

【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的 关键. 17. (15 分) (2016 春?浙江月考)已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是等腰梯形,AB∥ CD,且 AC⊥BD,AC 与 BD 交于 O,PO⊥底面 ABCD,PO=2, 分别是 AB,AP 的中点. (1)求证:AC⊥EF; (2)求二面角 F﹣OE﹣A 的余弦值. ,E,F

【分析】 (1)以 O 为原点,建立空间坐标系,求出 出 AC⊥EF; (2)求出平面 OEF 的法向量 ,则|cos<

的坐标,通过计算



>|为所求二面角的余弦值.

【解答】证明: (1)∵四边形 ABCD 是等腰梯形,∴OA=OB,OC=OD. ∵AC⊥BD,AB=2 ,CD= , ∴OA=OB=2,OC=OD=1. 以 O 为原点,以 OB,OC,OP 为坐标轴建立空间直角坐标系, 则 A(0,﹣2,0) ,B(2,0,0) ,C(0,1,0) ,P(0,0,2) . ∵E,F 分别是 AB,AP 的中点, ∴E(1,﹣1,0) ,F(0,﹣1,1) , ∴ ∴ =(0,3,0) , =0, =(﹣1,0,1) ,

∴AC⊥EF. (2) =(1,﹣1,0) , =(0,﹣1,1) ,

设平面 OEF 的法向量为 =(x,y,z) ,则





,令 z=1,得 =(1,1,1) .

∵OP⊥平面 OAE, ∴ =(0,0,2)为平面 OAE 的一个法向量. , >= = = ,

∵cos<

∴二面角 F﹣OE﹣A 的余弦值为



【点评】本题考查了空间向量的应用与空间角的计算,属于中档题. 18. (15 分) (2016 春?浙江月考)设 f(x)=x +bx+c(b,c∈R) ,函数 f(x)在区间(2, 3]上有最大值 1. (Ⅰ)若 c=4,求 b 的值; (Ⅱ)当|x|>2 时,f(x)>0 恒成立,求 b+ 的取值范围. 【分析】 (1)由函数 f(x)图象开口向上且在区间(2,3]上有最大值 1,得 f(3)=1,解 出 b; (2)由 f(3)=1 可得 bc 之间的关系式和 b 的取值范围,然后讨论△与 0 的关系,结合当 |x|>2 时,f(x)>0 恒成立进一步确定 b 的范围,最后得到 b+ 的表达式,求出此表达式 的值域即可. 【解答】解: (I)c=4 时,f(x)=)=x +bx+4, f(x)图象开口向上,对称轴为 x=﹣ , ∵函数 f(x)在区间(2,3]上有最大值 1, f(3)=1,即 5+b=1,解得 b=﹣4. (II)∵函数 f(x)在区间(2,3]上有最大值 1, ∴ 即 ,
2 2

∴c=﹣8﹣3b. ∴△=b ﹣4c=b +12b+32=(b+6) ﹣4. ∵b≥﹣5,∴△≥﹣3. ①若△=0,即 b=﹣4 时,f(x)=0 的解为 x=﹣ =2,符合题意, ②若△<0,即﹣5≤b<﹣4 时,f(x)>0 恒成立,符合题意, ③若△>0,即 b>﹣4 时, ∵当|x|>2 时,f(x)>0 恒成立,
2 2 2



,即

,无解.

综上,﹣5≤b≤﹣4. ∴b+ =b﹣ 令 g(b)=b﹣ . ,则 g′(b)=1+ >0,

∴g(b)在(﹣5,﹣4]上是增函数, ∵g(﹣5)=﹣ ,g(﹣4)=﹣ ,﹣ , ].

∴b+ 的取值范围是[﹣

【点评】本题考查了二次不等式与二次函数的关系,确定 b 的范围是解题关键.

19. (15 分) (2016 春?浙江月考)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右焦点为 F1,

F2,离心率为 e.直线 l:y=ex+a 与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B 两点,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点 F1 关于直线 l 的对称点,设 (Ⅰ)若 ,求椭圆 C 的离心率; .

(Ⅱ)若△PF1F2 为等腰三角形,求 λ 的值. 【分析】 (I)直线 l:y=ex+a 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 据 = ,可得 M ,代入椭圆方程即可得出. ,B(0,a)两点,根

(II)若△PF1F2 为等腰三角形,P 是点 F1 关于直线 l 的对称点,可得:|AF1|=|BF1|,即 = ,可得 e= .由 ,可得 M ,

代入椭圆方程解出即可得出.

【解答】解: (I)直线 l:y=ex+a 与 x 轴、y 轴分别交于点 A (0,a)两点, ∵ = ,∴M + ,
2 2 2 2 2



,B

代入椭圆方程可得:

=1,b =a ﹣c ,化为: (4e ﹣1) =0,解得 e= .

(II)若△PF1F2 为等腰三角形,P 是点 F1 关于直线 l 的对称点, ∴|PA|=|AF1|,|PB|=|BF1|,|PA|=|PB|, ∴|AF1|=|BF1|, ∴
2 2

=

, .

化为:a =3c ,解得 e= =



=1﹣

,解得

= .





∴M



代入椭圆方程可得:
2

+

=1,

∴3(λ﹣1) +
2

=1,

化为: (3λ﹣2) =0, 解得 .

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交问题、垂直平分线的性 质、向量的坐标运算性质、等腰三角形的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 20. (15 分) (2016 春?浙江月考)设数列{an}满足 a1=a,an+1an﹣an =1(n∈N ) (I)若 a3= ,求实数 a 的值;
* * 2 *

(Ⅱ)设 bn=

(n∈N ) .若 a=1,求证
2

≤bn< (n≥2,n∈N ) .

【分析】 (Ⅰ)由已知得 a2a﹣a =1,解得 由此能求出实数 a 的值.

,由 a3= ,得

= 或

=2,

(Ⅱ)由已知得

=

,由

=2,能证明

=b2,再用数学归纳法证明 bn< ,n≥2.由此能证明 n∈N ) . 2 * 【解答】 (Ⅰ)解:∵数列{an}满足 a1=a,an+1an﹣an =1(n∈N ) , ∴a2a﹣a =1,解得 ∵a3= ,∴ 解得 由 = 或 =2, =2,解得 a=1.
2 * 2 *

≤bn< (n≥2,

, ,

= 解得 a∈?,由

∴实数 a 的值为 1. (Ⅱ)证明:当 a=1 时,数列{an}满足 a1=1,an+1an﹣an =1(n∈N ) , ∴ ∴ =2,
*

, , = ,…

∵bn=

(n∈N ) ,

∴ ∵an>0,∴

=

, =2,当且仅当 ,即 an=1=a1 时,取等号,



=b2,

再证 bn< ,n≥2. (a)n=2 时, ,满足 .

(b)假设当 n=k, (k>2)时有 bk< ,等价于





,∴k



当 n=k+1 时,



=



∴只需证

< . , >4 , , ,∴ , ,

证明如下:∵k>2,∴k>

∴9k>16,∴25k>16(k+1) ,∴5 ∴ ∴ ∴ >2 ,∴





∴ ∴n=k+1 时,

, 成立.

综合(a) , (b)知 bn< . 综上所述: ≤bn< (n≥2,n∈N ) .
*

【点评】本题考查实数值的求法,考查不等式的证明,综合性强、难度大,解题时要认真审 题,注意均值定理、数学归纳法、数列知识的合理运用.


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