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简单的线性规划问题复习


简单的线性规划问 题复习
y

o

x

1.二元一次不等式表示的平面区域

直线定界,特殊点定域

(1)一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+

C>0 表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域,不含

r />边界线.不等式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域包括边界线. (2)对于直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),使得 Ax +By+C 的值的符号相同,也就是说位于同一平面区域内的点, 若其坐标适合 Ax+By+C>0,则位于另一个平面区域内的点,其

坐标适合 Ax+By+C<0.
(3)可在直线 Ax+By+C=0 某一侧任取一点,一般取特殊点 (x0,y0)[如原点(0,0)],用 Ax0+By0+C 的值的正负来判断 Ax+By +C>0(或 Ax+By+C>0)所表示的区域.

2.线性规划 (1)线性约束条件:不等式组是一组对变量 x,y 的约束条件, 由于这组约束条件都是关于 x,y 的一次不等式,所以又可称其为

线性约束条件.
(2)目标函数:z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的 变量 x,y 的解析式,我们把它称为目标函数. (3)线性目标函数:由于 z=Ax+By 是关于 x,y 的一次解析式, 所以又可叫做线性目标函数.

(4)可行解:满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解, (5)可行域:由所有可行解组成的集合叫做可行域. (6)最优解:若可行解(x1,y1)和(x2,y2)分别使目标函数取得最 大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解. (7)一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最 小值的问题,统称为线性规划问题.

线性目 标函数

线性约 束条件

? x ? 4 y ? ?3 ? 设z=2x+y,求满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 最优解 ? 任何一个满足
时,求z的最大值和最小值. 线性规 划问题
所有的

不等式组的 (x,y) 可行解

可行域

解线性规划问题的步骤:
1、找 找出线性约束条件、目标函数; (1)2、画: 画出线性约束条件所表示的可行域; (2)3、移: 在线性目标函数所表示的一组平行线中, 利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线; (3)4、求:通过解方程组求出最优解; (4)5、答:作出答案。
6

说明:
线性规划求最优整数解的一般方法: 1.打网格线法: 即先打网格,描出可行域内的
整点,平移直线,最先经过或最后经过的整点

坐标即为整点最优解.

2.调整优解法:即先求非整数条件下的最优解,
调整Z的值使不定方程Ax+By=Z存在最大(小) 的整点值,最后筛选出整点最优解.

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分),用不等式 表示为( ).

A.2x- y-3<0 B.2x-y-3>0 C.2x-y-3≤0 D.2x-y-3≥0 解析 将原点(0,0)代入2x-y-3得2×0-0-3=-3<0,所以不等式为

2x-y-3>0. 答案 B

2.下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域内的点是( A.(0,0) 解析 答案 B.(-1,1) C.(-1,3) D.(2,-3)

).

逐一代入得点(-1,3)不在x+y-1≤0表示的平面区域内. C

2x+y-6≤0, 3.不等式组? ?x+y-3≥0, ?y≤2

所表示的平面区域的面积为_. 1

4.若点(1,3)和点(-4,-2)在直线 2x+y+m=0 的两侧,则 -5<m<10 m 的取值范围是_________________.

例1
学案P69典型例题 例1 已知x,y满足现行约束条件 ? x-2y ? 7 ? 0 ? ?4 x ? 3 y ? 12 ? 0 ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 求(1)u=4x-3y的最大值与最小值。 (2)z=(x+3) +(y+1) 的最大值和最小值。 y ?1 (3)t = 的最值。 x?3
2 2

5 31 l过点A时U min ? 4 ? (-2) ? 3 ? ? ? 2 2 l过BC时Umax ? 4 ? 3 ? 0 ? 12
(-2,5/2)

(9,8)

4x-3y-12=0

X-2y+7=0

(3,0)

x+2y-3=0

y?

4 Z x? 3 3

PE ? d ?

? 3 ? 2 ? (?1) ? 3 5
2

64 PE ? Z ? PC 即 ? Z ? 225 5
2

8 5 ? 5

PC ? (?3 ? 9)2 ? (?1 ? 8)2 ? 15
(9,8)

X-2y+7=0
(-2,5/2)

4x-3y-12=0

E

P(-3,-1)

(3,0)

x+2y-3=0

y ?1 t? x?3
(-2,5/2)

k PB ? t ? k PA 1 7 即 ?t ? 6 2
X-2y+7=0
Q(x,y)
(9,8)

4x-3y-12=0

P(-3,-1)

(3,0)

x+2y-3=0

例2、已知x、y满足

x -4y≤-3 3x+5y≤25 ,设z=ax+y (a不为0), x≥1

若z取得最大值时,最优解有无数个,求a 的值。 解:当直线 l :y =-ax+ z 与 直线重合时,有无数个点,使 函数值取得最大值,此时有: y k l =kAC



4.4 ? 2 3 ? ? kAC= 1 ? 5 5

3x+5y=25 x-4y=-3

C

k l = -a ∴ -a
3 =? 5 3 5

A B



a=

o

x

x=1

?y ? x ?2x ? y ? k ? 0 ? 例3、已知点p(x,y)满足条件 ? ?x ? 0 ? ?y ? 0 若Z ? x ? 3y的最大值为8,则k ? .
解:作出可行域如图所示, 作直线 l0:x+3y=0, 平移 l0 知当 l0 过点 A 时,x+3y 最大, k k 由于 A 点坐标为(- ,- ). 3 3 k ∴- -k=8,从而 k=-6. 3


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