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2.2直接证明与间接证明学案(含答案)


直接证明与间接证明学案 审核签名: 编制: 编制时间: 3 月 4 日 完成所需时间: 40 分钟 班级 姓名 第 小组 一.自主测试 1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的 条件. 2.若 a>b>0,则 a+
1 b

§2.2

b+

1 .(用“>”,“<”,“=”填空) a

3.要证明 3 + 7 <2 5 , 可选择的方法有以下几种, 其中最合理的是

(填序号) .

①反证法 ②分析法 ③综合法 2 4.用反证法证明命题:若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a、 b、c 中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是 . ①假设 a、b、c 都是偶数 ②假设 a、b、c 都不是偶数 ③假设 a、b、c 至多有一个偶数 ④假设 a、b、c 至多有两个偶数 5.设 a、b、c∈(0,+∞) ,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P、Q、R 同时大于零”的 条件. 二.典例分析 例 1 (1)设 a,b,c>0,证明:
a2 b2 c2 ≥a+b+c. ? ? b c a
2 2 2

(2)已知 a,b,c 为互不相等的非负数.求证:a +b +c > abc ( a + b + c )

例2

(1)求证: 3 ? 7 ? 2 5 。

(2)已知 a>0,求证:

a2 ?

1 a2

- 2 ≥a+

1 -2. a

例3

若 x,y 都是正实数,且 x+y>2, 求证:

1? y 1? x <2 与 <2 中至少有一个成立. x y

三.巩固练习 1.用反证法证明“如果 a>b,那么 3 a > 3 b ”假设内容应是 .
2

2 2 ? ? 2.已知 a>b>0,且 ab=1,若 0<c<1,p=logc a ? b ,q=logc ? 1 ? ,则 p,q 的大小关系 ? a? b? 2 ? ?

是 . 3.设 S 是至少含有两个元素的集合.在 S 上定义了一个二元运算“*” (即对任意的 a,b∈S, 对于有序元素对(a,b),在 S 中有唯一确定的元素 a*b 与之对应).若对任意的 a,b∈S,有 a*(b*a)=b,则对任意的 a,b∈S,下列恒成立的等式的序号是 . ①(a*b)*a=a ②[a*(b*a)]*(a*b)=a ③b*(b*b)=b ④(a*b)*[b*(a*b)]=b 4.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则△A1B1C1 是 三角形,△A2B2C2 是 三角形.(用“锐角”“钝角”或“直角”填空) 、 5.已知三棱锥 S—ABC 的三视图如图所示:在原三棱锥中给出下列命题: ①BC⊥平面 SAC;②平面 SBC⊥平面 SAB;③SB⊥AC. 其中正确命题的序号是 . 6.对于任意实数 a,b 定义运算 a*b=(a+1)(b+1)-1,给出以下结论: ①对于任意实数 a,b,c,有 a*(b+c)=(a*b)+(a*c); ②对于任意实数 a,b,c,有 a*(b*c)=(a*b)*c; ③对于任意实数 a,有 a*0=a,则以上结论正确的是 . (写出你认为正确的结论的所有序号) 7.(教材)在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c 且 A,B,C 成等差数列,a, b, c 成等比数列,求证△ABC 为等边三角形。

8.(教材)已知

1 ? tan ? ? 1, 求证 3sin 2? ? ?4cos 2? 2 ? tan ?

9.已知 a、b、c∈(0,1) ,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于 .

1 4

参考答案
一,自主测试 1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的 答案 充分 2.若 a>b>0,则 a+ 答案 > (填序号) .
1 b

条件.

b+

1 .(用“>”,“<”,“=”填空) a

3.要证明 3 + 7 <2 5 , 可选择的方法有以下几种, 其中最合理的是

①反证法 ②分析法 ③综合法 答案 ② 2 4.用反证法证明命题:若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a、b、 c 中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是 . ①假设 a、b、c 都是偶数 ②假设 a、b、c 都不是偶数 ③假设 a、b、c 至多有一个偶数 ④假设 a、b、c 至多有两个偶数 答案 ② 5.设 a、b、c∈(0,+∞) ,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P、Q、R 同时 大于零”的 条件. 答案 充要 二.典例分析 例1 设 a,b,c>0,证明:
a2 b2 c2 ≥a+b+c. ? ? b c a

证明 有
2

∵a,b,c>0,根据基本不等式,

c2 a b2 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c. a b c

三式相加: 即

a2 b2 c2 + + +a+b+c≥2(a+b+c). a b c

a2 b2 c2 + + ≥a+b+c. a b c

变.已知 a,b,c 为互不相等的非负数. 求证:a +b +c > abc ( a + b + c ). 证明 ∵a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,a +c ≥2ac. 又∵a,b,c 为互不相等的非负数, ∴上面三个式子中都不能取“=” , 2 2 2 ∴a +b +c >ab+bc+ac, ∵ab+bc≥2 ab 2 c ,bc+ac≥2 abc2 , ab+ac≥2 a 2 bc , 又 a,b,c 为互不相等的非负数,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴ab+bc+ac> abc ( a + b + c ), ∴a +b +c > abc ( a + b + c ).
2 2 2

例2

(1)略(2)已知 a>0,求证: 要证 a 2 ?
1 a2 1 a2

a2 ?

1 a
2

- 2 ≥a+

1 -2. a

证明

- 2 ≥a+

1 -2, a

只要证 a 2 ?

+2≥a+
? ?

1 + 2. a

2分

∵a>0,故只要证 ? a 2 ? ? 即a+
2 2

1 a2

? 1 2 ? 2 ? ≥(a+ + 2 ) , ? a ?

2

6分

1 a
2

+4 a 2 ?
1

1 a2

+4 8分 10 分

≥a +2+

a2

1 +2 2 ? a ? ? +2, ? ? ? a?
1 a2

从而只要证 2 a 2 ? 只要证 4 ? a 2 ? ?
? ?

1 ≥ 2 ?a ? ? , ? ? ? a?

1 1 2 2 1 ? ? ≥2(a +2+ 2 ),即 a + 2 ≥2,而该不等式显然成立, ? a a a2 ?

故原不等式成立. 例 3 若 x,y 都是正实数,且 x+y>2, 求证: 证明 则有
1? y 1? x <2 与 <2 中至少有一个成立. x y

14 分

假设

1? y 1? x <2 和 <2 都不成立, x y

1? y 1? x ≥2 和 ≥2 同时成立, x y

因为 x>0 且 y>0, 所以 1+x≥2y,且 1+y≥2x, 两式相加,得 2+x+y≥2x+2y, 所以 x+y≤2,这与已知条件 x+y>2 相矛盾, 因此
1? y 1? x <2 与 <2 中至少有一个成立. x y

一、填空题 1.(2008·南通模拟)用反证法证明“如果 a>b,那么 3 a > 3 b ”假设内容应是 答案
3

.

a =3 b 或3 a <3 b

2 2 ? ? 2.已知 a>b>0,且 ab=1,若 0<c<1,p=logc a ? b ,q=logc ? 1 ? ,则 p,q 的大小关系 ? a? b? 2 ? ?

2

是 . 答案 p<q 3.设 S 是至少含有两个元素的集合.在 S 上定义了一个二元运算“*” (即对任意的 a,b∈S, 对于有序元素对(a,b),在 S 中有唯一确定的元素 a*b 与之对应).若对任意的 a,b∈S,有 a*(b*a)=b,则对任意的 a,b∈S,下列恒成立的等式的序号是 . ①(a*b)*a=a ②[a*(b*a)]*(a*b)=a ③b*(b*b)=b ④(a*b)*[b*(a*b)]=b 答案 ②③④ 4.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则△A1B1C1 是 三角形,△A2B2C2 是 三角形.(用“锐角”“钝角”或“直角”填空) 、 答案 锐角 钝角 5.已知三棱锥 S—ABC 的三视图如图所示:在原三棱锥中给出下列命题: ①BC⊥平面 SAC;②平面 SBC⊥平面 SAB;③SB⊥AC. 其中正确命题的序号是 .

答案 ① 6.对于任意实数 a,b 定义运算 a*b=(a+1)(b+1)-1,给出以下结论: ①对于任意实数 a,b,c,有 a*(b+c)=(a*b)+(a*c); ②对于任意实数 a,b,c,有 a*(b*c)=(a*b)*c; ③对于任意实数 a,有 a*0=a,则以上结论正确的是 . 写出你认为正确的 ( 结论的所有序号) 答案 ②③ 二、解答题 7.略,8 略 9.已知 a、b、c∈(0,1) ,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于 . 证明 方法一
1 4 1 4

假设三式同时大于 ,
1 4 1 4

1 4

即(1-a)b> ,(1-b)c> ,(1-c)a> , ∵a、b、c∈(0,1), ∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>
1 . 64

又(1-a)a≤ ?

1 ?1? a ? a ? ? = , 2 4 ? ?

2

同理(1-b)b≤ ,(1-c)c≤ , ∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤
1 , 64

1 4

1 4

这与假设矛盾,故原命题正确. 方法二 假设三式同时大于 ,
1 4

∵0<a<1,∴1-a>0,
(1 ? a) ? b 1 1 ≥ (1 ? a)b > = , 2 4 2

同理

(1 ? b) ? c 1 (1 ? c) ? a 1 > , > , 2 2 2 2

三式相加得 > ,这是矛盾的,故假设错误, ∴原命题正确.

3 2

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