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芜湖一中物理竞赛内部教材


高中物理奥林匹克竞赛导航(作者:褚华)

E=mC2

第一章 运动学

第四节 相对速度与运动的合成和分解

知 识 导 航

1.相对速度 运动是相对的,质点相对不同的参照物有不同的运动状态, 这些不同的运动状态又通过参照物之间的相对运动联系起来。 通常,将相对观察者静止的参照

系称为静止参照系, 将相对 于观察者运动的参照系称为运动参照系。 物体相对静止参照系 的运动称为绝对运动,速度称为绝对速度。物体相对运动参照 系的运动称为相对运动,速度称为相对速度。运动参照系相对 静止参照系的运动称为牵连运动,速度称为牵连速度。绝对速 度、相对速度和牵连速度的关系是
v绝 ? v相 ? v牵

上式也可写成便于记忆的以下两个基本关系
v A对 C ? v A对 B ? v B对 C v A对 B ? ? v B对 A

其中 v

A对 C

表示 A 物体相对 C 物体的速度,即绝对速度。 v
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A对 B


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B对 C

第一章 运动学

示物体相对于 B 物体速度,即相对速度, v

表示 B 物体相对

于 C 物体的速度,即牵连速度。 以上关于相对速度的关系式也同样适用于求相对位移和 ..... 相对加速度。在运用时一定要注意它们都是矢量式,应按照平 ..... 行四边形定则进行运算。 2.运动的合成和分解 质点运动时,若同时受到几个相互独立因素的作用,而这 几个因素独立作用用于质点时都可以使质点产生一个相应的 运动, 则此质点的运动可以看成是由这几个独立进行运动叠加 而成的,这就是运动的独立性原理。在用运动的独立性原理分 析一个物体同时参与两个或多个运动时, 可以对每一个运动进 行单独的分析,在分析的时候好像是其它运动根本不存在一 样。 运动的独立性原理又叫叠加原理,是同一概念的两个方 面。如果已知两个分运动,求解跟它等效的一个合运动叫做运 动的合成,反之叫做运动的分解,合成和分解互为逆运算。 3.物系相关速度 正确分析物体(质点)的运动,除可以用运动的合成知识 外,还可以充分利用物系相关之间的关系简捷求解。以下三个 结论在实际解题中十分有用,切记。 (1) 刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的 . 分速度。 (2) 接触物系在接触面法线方向的分速度相同,切向分速
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第一章 运动学

度在无相对滑动时也是相同的。 (3) 线状交叉物系交叉点的速度是相交物系双方沿双方切 向运动的矢量和。

例题分析

例题 1. 某人以 2.5 米/秒的速度向正西方 向跑时, 感到风来自正北。 如他将速度增加一 倍, 则感到风从正西北方向吹来。 求风速和风 向。 解析:根据相对速度的矢量关系,即 v? 1-4-1 所示的速度矢量图,易得
v风 ? 2 v 人 ? 3 .5 4 m / s


图 1-4-1

? ?v

风对人

? ?v



,做出如图

方向是正东北风 点评:正确作出速度的矢量图,可以帮助我们迅速解答问 题。这种方法有时在解题时是十分有效的。请同学们要多加练
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第一章 运动学

习。 例题 2.一条河宽为 d ,河水的速度为 v ,船以对静水的速度
1

是 v 。试问:
2

(1)为了使船到达对岸的时间最短,船头与河岸应成多少 度角?最短时间是多少?到达对岸时,船在下游何处? (2)当的船航行方向怎样时,小船所经过的路程最短? 解析: (1)由于河宽是一定的。设船头与河岸成θ 角,如图 1-4-2 所示,则船沿河宽方向的分速度为
v 2 sin ?

过河时间为 显然,当θ =90°时,船过河的时间最短,为

t ?

d v2 ? s i ? n

图 1-4-2
t min ? d v2

船到达对岸时,船在正对岸的下游
s ? v 1 t min ? dv 1 / v 2

图 1-4-3

(2)当 v

2

? v1

时,显然,最短的路程即为河宽 d 。航向方向
? arcsin v1 v2

为偏向上游一个角度,其角度大小为 ? 当v
2



? v1

时,垂直河岸的航行方向驶向对岸是不可能的。但

总可以找到一个这样的方向, 使得航行的路程最短: 如图 1-4-3 所示, 设船实际航行速度为 v ? , 与河岸夹角为 ? , 实际路程为 L ,
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第一章 运动学

则有 L ? d

s in ?

,要求 L 最小,即要求 s in ? 的有最大值。在速度合
1 1

成的矢量三角形 O v ?v 中,设 ? O v ?v

??

,运用正弦定理可得
v2 sin ? ? v1 sin ?
v2 v1

sin ? ?

sin ?

即 sin ?

m in

?

v2 v1

。此时 ?

?

?
2

,即速度的方向与船速垂直时,船才有最

短路程。此时船的航行方向是:偏向上游,与水流的夹角为
(

?
2

? a rc sin

v2 v1

)

,其所经过的最短路程为
L m in ? d sin ? ? d v1 v2

点评:船过河的问题是典型的速度合成问题,解此题时要 注意船渡河的过程中水和船都在同时运动, (等时性) ;其次是 船从此岸到彼岸,真正起作用的是船速,与水的流速无关(互 不相干性) 。水的流速只影响船登陆的地点。 例题 3.如图 1-4-4 所示,一个半径为 R 的环(环心为 O2) 立在水平面上,另一个同样大小的环(环心为 O1)以速度 v 从 前一环的旁边经过。试求当两环的环心相距为 d ( 2 R ? d ? 0 )时, 两环上部的交点 A 的运动速度。 两环均很薄, 可以认为两环是 在同一平面内,第二个环是紧贴着第一个环擦过去的。

图 1-4-4

图 1-4-5

解析:经过一段极短的时间 ? t ,交点由 A 点移至 C 点,如 图 1-4-5 所示,由于交点是在不动的环上由 A 点移至 C 点,所 以交点的移动速度必沿不动圆环的切线方向。另一方面,交点
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第一章 运动学

的水平方向上的坐标总是与两环心连线中点的坐标相同, 并且 在任何一段时间内交点的水平位移总是等于环心 O1 的水平位 移的一半,则此交点速度的水平分量是
v Ax ? 1 2 v

又因为 且 sin ?
R ? (d / 2)
2 2

vA ?

v Ax s i? n

?

,所以
vA ? 4R Rv
2

R

?d

2

点评:这是求两个圆环交点的速度,由于其中一个圆环不 动,使得问题相对简单了些。但我们也可从其中看到这类问题 的处理方法,特别是这类问题中存在的几何约束,往往是解题 的关键,请多加留意和总结。 例题 4.两相同的正方形铁丝框如图 1-4-6 所示放置,并 沿对角线方向分别以速度 v 和 2 v 向两侧运动, 问两框交点 M 的运 动速度应为多少? 解析: 交点 M 既在 a ?a ?? 杆上也在 b ?b ?? 杆 上,v 应为 M 点分别在 a ?a ?? 和 b ?b ?? 杆上对地
M

速度 v 、 v 的合成。设右框不动,左框以 v
1 2

向左运动,M 参与了相对框架沿 a ?a ?? 的运

图 1-4-6

动,随框架一起以 v 向左运动,速度矢量图如图 1-4-7 所示,则
v1 ? v co s 4 5
0

同理,可得
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图 1-4-7

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v 2 ? 2 v co s 4 5
0

第一章 运动学

因此,交点 M 的运动速度为
v ? v1 ? v 2 ?
2 2

10 2
0

v

? ? arctan

v1 v2

? 2 6 .6

点评:通过这道例题,我们要认真领会“线状交叉物系交 叉点的速度是相交物系双方沿双方切向运动的矢量和”的意 义,真正掌握物系相关速度的求解方法。

历届赛题回访

赛题 1. (第 2 届全国中学生力学竞赛初赛试题)二直杆交 角为 ? ,交点为 A,若二杆各以 身的速度 v 、 v 沿着纸平面运动,
1 2

垂直于自 如图 1-4-8 大
图 1-4-9

所示。则交点 A 运动速度的确 为 。



图 1-4-8
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第一章 运动学

解法一:设经过 t 时间后, a、 b 杆运动到如图 1-4-9 所示的 位置, a 发生的位移是 A M
? v1 t

; b 发生的位移是 A N ? v t ,A 点的
2

位移是 A A ? ? vt 。在三角形 A B A ? 中,由数学知识可得
A A ? ? A B ? A ? B ? 2 A B ? A ? B cos ?
2 2 2


( vt ) ?
2

v t (1 s i? n

2

? )

v t 2 (2 ? ) s i n ?

1

v v t 22 ? 2 ?s i n

2

c o s
1 sin ?

所以 分速度是 v ? ?
1

v?

v1 ? v 2 ? 2 v1 v 2 co s ?
2 2

解法二:假设 b 杆不动,则 a 对平面的速度在沿 b 杆方向的
v1 sin ?

;同理, v ? ?
2

v2 sin ?
2

,所以 A 点的速度为
2

v?
?

? ? ? ? v 1 ? v 2 ? 2 v1 v 2 co s ?
1 sin ? v1 ? v 2 ? 2 v1 v 2 co s ?
2 2

点评:解法一是从位移的角度来求解,解法 二是从速度的分解和合成的角度来求解。对同一 物理问题,往往会有多种解法,我们在学习过程 中,要学会更多的一题多解的方法,提高自己的 解题能力。 赛题 2. (1994 年第 11 届全国高中生物理竞 赛预赛试题)顶杆 AB 可在竖直滑槽 K 内滑动,
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图 1-4-10

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第一章 运动学

其下端由凸轮 M 推动, 凸轮绕 O 轴以匀角速 ? 转动, 如图 1-4-10 所示,在图示的瞬时, O A ? r ,凸轮轮缘与 A 接触处法线 n 与 OA 之间的夹角为 ? ,试求此瞬时顶杆 AB 的速度。 解法一:根据速度的定义求解。 t 时刻顶杆与凸轮的接触 点为 A,经 ? t 时间,即 t ? ? t 时刻,接触点为凸轮上的 A ? 点(在 ? t 时间内凸轮转过 ? ? 角度) ,如图 1-4-11 所示,可得
? r ? r ( t ? ? t ) ? r ( t ) ? r ? ? tan ?

因此有速度的定义得
v A ? lim ?r ?t
?t ? 0

tan ? ? r lim

?? ?t

?t ? 0

tan ? ? r ? tan ?

解法二:应用速度的合成原理求解。取动坐标系固连在凸 轮上,定坐标系固定在滑槽 K 上,动点 A(也就是顶杆 AB) 相对定坐标系的运动是竖直的直线运动, 动点 A 相对动坐标系 的轨道就是凸轮的轮廓线。 因此, 动点 A 对定坐标系的速度 v 、
A

动点对动坐标系的速度 v 和动坐标系上与动点 A 重合点的速度
r

ve

三者,根据相对运动的速度关

系应组成三角形,如图 1-4-12 所示,因此有
v A ? v e tan ? ? r ? tan ?

点评:速度求解通常有两种 途径: 一是根据速度定义; 二是
图 1-4-11 图 1-4-12

应用速度合成原理。 前者求解关键是质点的空间位置关系要弄 清,后者是描述速度的参照物要明确,速度的分解与合成不能 出错。
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第一章 运动学

赛题 3. (俄罗斯奥林匹克竞赛题)快艇系在湖面很大的湖 岸边(湖岸线可认为是直线) ,突然快艇被松脱,风吹着快艇 以恒定的速度 v 以v
1 0

? 2.5 km / h

沿与湖岸成 ? ? 15 的角漂去,你若沿湖岸
0

? 4 km / h

行走和在水中以速度 v

2

? 2 km / h

游去,能否赶上快艇?

当快艇速度为多大时总可以赶上? 解法一:人须先沿湖岸跑一段时间 t ,然后再下水追艇,情
1

况如图 1-4-13 所示,若使 t 追得上的条件为

3

? t2

,即表示

人能追上或超过快艇。 根据余弦定理知
图 1-4-13
v1 t1 ? v 0 ( t1 ? t 2 ) ? 2 v1 v 0 ( t1 ? t 2 ) co s 1 5 ? v 2 t 3 ? v 2 t 2
2 2 2 2 0 2 2 2 2

代入数据化简、整理得
2.85 t1 ? 6.9 t1t 2 ? 2.25 t 2 ? 0
2 2

对任意确定的 t 、 t 有正根,即
1 2

0 .4 9 3 t1 ? t 2 ? 2 .5 7 3 t1

原条件成立,人能追上。 解法二:设从 O 点开始运动, 经 ts ,人到达 A 点,艇到达 B 点。 将人在水中的速度 v 沿 v 方向和 AB 方向分解。如图 1-4-14 所
2 0

图 1-4-14

示。显然,只有当人的速度与 AB 垂直时,人沿 v 方向的速度
0

分量 v 才有最大值,这个最大值只要超过艇的速度,人就能追 上。 由于 A E ? v , 在三角形 ACE 中角 ?
1

? 30

0

, 所以角 ? ? 60

0

? 15 ? 45
0

0



故 v 的最大值是
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v m ax ? v2 co s 4 5
0

第一章 运动学

? 2 2 km / h ? 2 .8 km / h ? v 0

人能追上快艇。 点评:首先必须明确的是人游水的速度小于艇的速度,因 此人必须先在岸上跑一定的距离后再游泳追艇, 才有可能追上 快艇。但能否追上,还要进行分析。解法一用的是纯数学的方 法,解法二用的是物理方法,相对要简便一些。可见,在理解 了题意后,利用物理方法(这里用到了速度分解) ,再结合必 要的数学知识解题,常能产生意想不到的效果。

导航练习四

1.一木排通过码头 A 时,有一艘摩托艇正经过码头驶向 下游距码头 s1=15km 处的村庄 B。 摩托艇在时间 t=0.75 小时内 到达村庄;然后折回在距村庄 s2=9km 的 D 处遇到木排。求水 流的速度
v水

和摩托艇相对水的速度 )
0

v艇

。( 答 案 :

v 水 ? 4 km / h ; v 艇 ? 16 km / h

2.火车停止时,车窗上雨痕向前倾斜 ? 角。当火车以某一 速度 v 匀速前进时,窗上雨痕向后倾斜 ? 角。火车以较大速度 v
1 1 2

匀速前进时,窗上雨痕向后倾斜 ? 角。设雨
2

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图 1-4-15

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1 2

第一章 运动学

滴落下方向对地来说是不变的。 求火车速度 v 与 v 的比。 (答案:
v1 v2 ? cos ? 0 tg ? 1 ? sin ? 0 cos ? 0 tg ? 2 ? sin ? 0


1

3.如图 1-4-15 所示,质点 P1 以 v 由 A 向 B 作匀速运动, 同时质点 P2 以 v 从 B 指向 C 作匀速运动, 已知 A、 间的距离 B
2

为 l ,∠ABC=α 且为锐角,试确定在何时刻 t ,两质点间距 d 最 短,为多少? [答案: t ?
l ( v 1 ? v 2 cos ? ) v ? v ? 2 v 1 v 2 cos ?
2 1 2 2

; d min ?

lv 2 sin ? v ? v 2 ? 2 v 1 v 2 cos ?
2 1 2



4.如图 1-4-16 所示,在直角墙角,立方块 和三角块相互接触,若已知三角块的速度和加速 度分别为 v 和 a ,试求立方体中心的速度和加速 度。 (答案: v
c

图 1-4-16

? vtg ? ; a c ? atg ? )

5.一架飞机以恒速 v (相对于空气)沿 A 到 B 直线来回
0

飞行,A、B 之间的距离为 L ,风速为 v 。试问 (1)如果风向是沿 AB 直线,忽略任何飞机转向所需的 时间,计算飞机从 A 到 B 往返飞行所需的总时间。 (2)如果风向是垂直于 AB 直线,计算飞机从 A 到 B 往 返飞行所需的总时间。 (3)如果风向是任意方向,计算飞机从 A 到 B 往返飞行 所需总时间的表达式(注意,只要有任何方向的风存在,往返 时间总是增加的) 。 (答案:
2 v0 L v0 ? v
2 2

;

2L v0 ? v
2 2

;

2 v0 L v0 ? v
2 2

1?

v

2

sin ?
2

v0


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图 1-4-17

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第一章 运动学

6.合页构件由三个菱形组成,其边长之比为 3:2:1,如 图 1-4-17 所示。顶点 A 以速度 v 沿水平方向向右运动时。求当
3

构件的所有角都为直角时,顶点 A 、 A 、 B 的速度。(答案:v
1 2 2

A1

?

v 2



vA2 ?

5v 6

,v

B2

?

17 6

v

)

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