当前位置:首页 >> 数学 >>

吐血奉献(新东方大班珍藏版讲义)——2014高三数学暑假班文科第6讲 《导数二》教师版带答案


第六讲

导数(二)

第六讲
【板块一】知识清单
7.基本函数的求导法则:

导数(二)

C ' ? 0 ( C 为常数)
(sin x)' ? cos x

( x n )' ? nx n?1 ( n ? R )
(cos x)' ? ? sin x

(log a x)' ?

1 x ln a

(ln x) ' ?

1 x

(a x )' ? a x ln a
8.导数四则运算法则:

(e x )' ? e x

(u ? v)' ? u '? v ' (uv)' ? u ' v ? v ' u ? (cv)' ? cv ' ( c 为常数)

u u ' v ? v 'u ( )' ? (v ? 0) v v2
9.函数单调性: (1)函数单调性的判定方法:设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果

f '( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为增函数;如果 f '( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为减函数.
(2)常数的判定方法; 如果函数 y ? f ( x) 在区间 I 内恒有 f '( x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 为常数. 注:① f '( x) ? 0 是 f ( x) 递增的充分条件,但不是必要条件,如 y ? 2 x
3

在 (??, ??) 上并不是都有 f '( x) ? 0 , 有一个点例外, 即 x ? 0 时,f '( x) ? 0 , 同样 f '( x) ? 0 是 f ( x) 递减的充分非必要条件. ②一般地,如果 f ( x) 在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或 负) ,那么 f ( x) 在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的. 10.极值的判别方法: (极值是在 x0 附近所有的点,都有 f ( x) ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) 是 函数 f ( x) 的极大值,极小值同理)当函数 f ( x) 在点 x0 处连续时,

1

新东方优能中学教材

①如果在 x0 附近的左侧 f '( x) ? 0 ,右侧 f '( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值; ②如果在 x0 附近的左侧 f '( x) ? 0 ,右侧 f '( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值. 也就是说 x0 是极值点的充分条件是 x0 点两侧导数异号,而不是 f '( x) ? 0 ,此 外,函数不可导的点也可能是函数的极值点.当然,极值是一个局部概念,极 值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近 的点不同) . 11.极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对 函数值进行比较(函数的极值点一定有意义) .

【板块二】方法点拨
函数 f ( x) 在 x ? x0 处的导数 f ' ( x0 ) 的几何意义:曲线 C : y ? f ( x) 在其上点

P( x0 , y 0 ) 处的切线的斜率.用导数研究切线问题,切点是关键(切点在切线上、
切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率) . 【例 1】过曲线 y ? x ? 2 x 上一点(1,3)的切线方程是_____________.
3

【解析】

2

第六讲

导数(二)

【例 2】 【2013· 广东卷】若曲线 y ? ax ? ln x 在点 (1, a) 处的切线平行于 x 轴,
2

则 a ? ________. 1 【解析】易知点(1,a)在曲线 y=ax2-ln x 上,y′=2ax- ,∴ y′| =2a-1=0, x x=1 1 ∴a= . 2 【例 3】 【2013· 全国卷】已知曲线 y ? x ? ax ?1在点 (?1, a ? 2) 处切线的斜率为
4 2

8,则 a ? A.9 B.6 C.-9 D.-6

【解析】y′=4x3+2ax,当 x=-1 时 y′=8,故 8=-4-2a,解得 a=-6.

【板块三】模拟训练
1. 【 2013· 海淀一模文】已知曲线 f ( x) ? ln x 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线经过点

(0, ?1) ,则 x0 的值为
A. 【解析】B 2. 【2013· 海淀一模文】函数 f ( x) ?

1 e

B. 1

C. e

D. 10

1 3 x ? kx ,其中实数 k 为常数. 3

(1)当 k ? 4 时,求函数的单调区间; (2)若曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? k 只有一个交点,求实数 k 的取值范围. (I)因为 f '( x ) ? x 2 ? k

3

新东方优能中学教材

当 k ? 4 时, f '( x ) ? x 2 ? 4 ,令 f '( x ) ? x 2 ? 4 ? 0 ,所以 x1 ? 2, x2 ? ?2

f '( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:
x

( ??, ?2)

?2
0 极大值

( ?2, 2)

2
0 极小值

(2, ??)

f '( x )

?
?

?
?

?
?
…………

f ( x)

所以 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??, ?2) , (2, ??) 单调递减区间是 ( ?2, 2) (II)令 g ( x) ? f ( x) ? k ,所以 g ( x ) 只有一个零点 因为 g '( x) ? f '( x ) ? x 2 ? k 当 k ? 0 时, g ( x ) ? x 3 ,所以 g ( x ) 只有一个零点 0 当 k ? 0 时, g '( x) ? x 2 ? k ? 0 对 x ? R 成立, 所以 g ( x ) 单调递增,所以 g ( x ) 只有一个零点 当 k ? 0 时,令 g '( x) ? f '( x) ? x 2 ? k ? 0 ,解得 x1 ? 所以 g '( x), g ( x ) 随 x 的变化情况如下表:

k 或 x2 ? ? k

x

( ??, ? k )

? k
0 极大值

(? k , k )

k
0 极小值

( k , ??)

g '( x ) g ( x)

?
?

?
?

?
?

g ( x ) 有且仅有一个零点等价于 g ( ? k ) ? 0

g (? k ) ?


2 9 k k ?k ?0 0?k ? 3 4 ,解得

综上所述,k 的取值范

k?
围是

9 4

4

第六讲

导数(二)

3. 【2013· 海淀二模文】已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ? (a ? 0) . (1) 当 a ? 1 时, 若曲线 y ? f ( x) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 处的切线与曲线 y ? g ( x) 在点 P( x0 , g ( x0 )) 处的切线平行,求实数 x0 的值; (2)若 ?x ? (0, e] ,都有 f ( x) ? g ( x) ? (I)当因为 a ? 1 , f '( x ) ?

a x

3 ,求实数 a 的取值范围. 2

1 1 , g ( x) ? 2 x x

若函数 f ( x ) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 处的切线与函数 g ( x ) 在点 P( x0 , g ( x0 )) 处的切线平行,所以

1 1 ? 2 ,解得 x0 ? 1 x0 x0

此时 f ( x ) 在点 M (1,0) 处的切线为 y ? x ? 1

g ( x ) 在点 P(1, ?1) 处的切线为 y ? x ? 2 所以 x0 ? 1
(II)若 ?x ? (0,e] ,都有 f ( x ) ? g ( x ) ? 记 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 于等于 0

3 2

3 a 3 ? ln x ? ? ,只要 F ( x ) 在 (0,e] 上的最小值大 2 x 2 1 a x?a F '( x ) ? ? 2 ? 2 x x x

则 F '( x), F ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
F '( x )

(0, a )
?

a
0 极大值

(a, ??)

?
?

F ( x)

?

当 a ? e 时,函数 F ( x ) 在 (0,e) 上单调递减, F (e) 为最小值 所以 F (e) ? 1 ? 所以 a ? e 当 a ? e 时,函数 F ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减,在 (a,e) 上单调递增 ,

a 3 e ? ? 0 ,得 a ? e 2 2

F (a ) 为最小值,所以 F (a ) ? ln a ?
所以 e ? a ? e 综上, e ? a

a 3 ? ? 0 ,得 a ? e a 2

4. 【2012· 海淀一模文】已知函数 f ( x ) ? a ln x ? (1)求 f ( x) 的单调区间;

1 2 1 x ? (a ? R且a ? 0) . 2 2

5

新东方优能中学教材

(2)是否存在实数 a ,使得对任意的 x ? ?1, ?? ? ,都有 f ( x) ? 0 ?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) .

f '( x ) ?

a ? x2 ? a . ?x? x x

当 a ? 0 时,在区间 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 . 所以 f ( x) 的单调递减区间是 (0, ??) . 当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 得

x ? a 或 x ? ? a (舍).
函数 f ( x) , f '( x) 随 x 的变化如下:

x
f '( x) f ( x)

(0, a )
+ ↗

a
0 极大值

( a , ??)

?


所以 f ( x) 的单调递增区间是 (0, a ) ,单调递减区间是 ( a , ??) . 综上所述,当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间是 (0, ??) ; 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间是 (0, a ) ,单调递减区间是 ( a , ??) . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知: 当 a ? 0 时, f ( x) 在 [1, ??) 上单调递减. 所以 f ( x) 在 [1, ??) 上的最大值为 f (1) ? 0 ,即对任意的 x ?[1, ??) , 都有 f ( x) ? 0 . 当 a ? 0 时, ① 当 a ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 [1, ??) 上单调递减. 所以 f ( x) 在 [1, ??) 上的最大值为 f (1) ? 0 ,即对任意的 x ?[1, ??) ,都 有 f ( x) ? 0 . 当 a ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 在 [1, a ) 上单调递增,

所以 f ( a ) ? f (1) .
6

第六讲 又 f (1) ? 0 ,

导数(二)

所以 f ( a ) ? 0 ,与对于任意的 x ?[1, ??) ,都有 f ( x) ? 0 矛盾. 综上所述,存在实数 a 满足题意,此时 a 的取值范围是 (??,0) ? (0,1] . 5. 【2012· 海淀二模文】已知函数 f ( x) ? (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 a ? 1 时,若对任意 x1 , x2 ? [?3, ??) ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m 成立,求实 数 m 的最小值. 解: f '( x) ?

x?a ( a ? 0 , a?R ) . x ? 3a 2
2

?( x ? a)( x ? 3a) . ( x 2 ? 3a 2 )2

令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? a 或 x ? ?3a . (Ⅰ)当 a ? 0 时, f '( x) , f ( x) 随着 x 的变化如下表

x
f '( x) f ( x)

(??, ?3a)

?3a

(?3a, a)

a
0
极大值

(a, ??)

?


0
极小值

?


?


函 数 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 是 (?3a, a) , 函 数 f ( x ) 的 单 调 递 减 区 间 是

(??, ?3a) , (a, ??) .
当 a ? 0 时, f '( x) , f ( x) 随着 x 的变化如下表

x
f '( x) f ( x)

(??, a)

a
0
极小值

(a, ?3a)

?3a
0
极大值

(?3a, ??)

?


?


?


函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (a, ?3a) ,函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (??, a) ,

(?3a, ??) .
7

新东方优能中学教材

(Ⅱ)当 a ? 1 时,由(Ⅰ)得 f ( x) 是 (?3,1) 上的增函数,是 (1, ??) 上的减函数. 又当 x ? 1 时, f ( x) ?

x ?1 ?0. x2 ? 3

1 1 ,最大值为 f (1) ? . 6 2 2 所以 对任意 x1 , x2 ? [?3, ??) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f ( ?3) ? . 3
所以 f ( x ) 在 [?3, ??) 上的最小值为 f (?3) ? ? 所 以 对 任 意 x , x ? [?3, ??) , 使 f ( x ) ? f ( x ) ? m 恒 成 立的 实 数 m 的 最 小 1 2 1 2 6. 【2011· 海淀一模文】已知函数 f ( x ) ? xe x ,则 f ?( x) =________;函数 f ( x ) 图象 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为_______.
x 【解析】 (1 ? x )e , y ? x

7. 【2011· 海淀一模文】已知函数 f ( x) ?

1 ? a ln x (a ? 0, a ? R) . x

(1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的极值和单调区间; (2)若在区间 [1, e] 上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 成立,求实数 a 的取值 范围. (I)因为 f '( x ) ? ? 【解析】 当 a ? 1 , f '( x ) ?

x ?1 , x2

1 a ax ? 1 ? ? , x2 x x2
令 f '( x ) ? 0 ,得 x ? 1 ,

又 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

(0,1)

1
0 极小值

(1, ??)

?
?

?
?

所以 x ? 1 时, f ( x ) 的极小值为 1 .

f ( x ) 的单调递增区间为 (1, ??) ,单调递减区间为 (0,1) ;
(II)解法一: 因为 f '( x ) ? ?

1 a ax ? 1 ? ? ,且 a ? 0 , x2 x x2

8

第六讲 令 f '( x ) ? 0 ,得到 x ?

导数(二)

1 , a

若在区间 (0, e] 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 成立, 其充要条件是 f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值小于 0 即可. (1)当 x ?

1 ? 0 ,即 a ? 0 时, f '( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立, a

所以, f ( x ) 在区间 (0, e] 上单调递减,

1 1 ? a ln e ? ? a , e e 1 1 1 由 ? a ? 0 ,得 a ? ? ,即 a ? (??, ? ) e e e 1 (2)当 x ? ? 0 ,即 a ? 0 时, a 1 ① 若 e ? ,则 f '( x ) ? 0 对 x ? (0, e] 成立,所以 f ( x ) 在区间 (0, e] 上单调递 a
故 f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值为 f (e) ? 减, 所以, f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值为 f (e) ?

1 1 ? a ln e ? ? a ? 0 , e e

显然, f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值小于 0 不成立 ② 若0 ?

1 1 ? e ,即 a ? 时,则有 a e 1 x (0, ) a

1 a

1 ( , e) a

f '( x) f ( x)

?
?

0
极小值

?
?

所以 f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值为 f ( ) ? a ? a ln 由 f ( ) ? a ? a ln

1 a

1 , a

1 a

1 ? a(1 ? ln a ) ? 0 , a

得 1 ? ln a ? 0 ,解得 a ? e ,即 a ? (e, ??) . 综上,由(1)(2)可知: a ? ( ??, ? ) ? ( e, ??) 符合题意. 解 法 二 : 若 在 区 间 (0, e] 上 存 在 一 点 x0 , 使 得 f ( x0 ) ? 0 成 立 , 即

1 e

1 ? a ln x0 ? 0 , x0
9

新东方优能中学教材

因为 x0 ? 0 , 所以,只需 1 ? ax0 ln x0 ? 0 令 g ( x) ? 1 ? ax ln x ,只要 g ( x) ? 1 ? ax ln x 在区间 (0, e] 上的最小值小于 0 即 可 因为 g '( x) ? a ln x ? a ? a(ln x ? 1) , 令 g '( x) ? a(ln x ? 1) ? 0 ,得 x ? (1)当 a ? 0 时:

1 e 1 ( , e] e

x
g '( x ) g ( x)

1 (0, ) e

1 e

?
?

0
极大值

?
?

因为 x ? (0, ) 时, g ( x) ? 1 ? ax ln x ? 0 ,而 g (e) ? 1 ? ae ln e ? 1 ? ae , 只要 1 ? ae ? 0 ,得 a ? ?

1 e

x
g '( x ) g ( x)

1 (0, ) e

1 1 ,即 a ? (??, ? ) (2)当 a ? 0 时: e e 1 1 ( , e] e e

?
?

0
极小值

?
?

所以, 当 x ? (0, e] 时,g ( x) 极小值即最小值为 g ( ) ? 1 ? a ? ln 由 1?

1 e

1 e

1 a ? 1? , e e

a ? 0 , 得 a ? e ,即 a ? (e, ??) . e

1 a ? ( ??, ? ) ? (e, ??) e 综上,由(1)(2)可知,有 .
8. 【2011· 海淀二模文】已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? bx (a, b ? R) . 3

(1)若 f '(0) ? f '(2) ?1 ,求函数 f ( x) 的解析式; (2)若 b ? a ? 2 ,且 f ( x) 在区间 (0,1) 上单调递增,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)因为 f '( x ) ? x 2 ? 2ax ? b , 由 f '(0) ? f '(2) ? 1 即 ?

?b ? 1 ?a ? 1 得? ? 4 ? 4a ? b ? 1 ? b ? 1



10

第六讲
1 3 2 所以 f ( x) 的解析式为 f ( x ) ? x ? x ? x . 3

导数(二)

(Ⅱ)若 b ? a ? 2 ,则 f '( x ) ? x 2 ? 2ax ? a ? 2 , ? ? 4a 2 ? 4(a ? 2) , (1) 当 ? ? 0, 即 ?1 ? a ? 2 时, f '( x ) ? 0 恒成立, 那么 f ( x ) 在 R 上单调递增, 所以,当 ?1 ? a ? 2 时, f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增; (2)解法 1:当 ? ? 0 ,即 a ? 2 或 a ? ?1 时, 令

f '( x) ? x 2 ? 2ax ? a ? 2 ? 0





x1 ?

a ?2

a 2 ? ,a ?

x2 ? a ? a 2 ? a ? 2
列表分析函数 f ( x ) 的单调性如下:

x
f '( x) f ( x)

( ??, x1 )

( x1 , x2 )

( x2 , ??)

?
?

?
?

?
?

要使函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,

?a ? 2或a ? ?1 ?a ? 2或a ? ?1 ? ? 只需 ?a ? 0 或 ?a ? 1 , ? f '(0) ? 0 ? f '(1) ? 0 ? ?
解得 ?2 ? a ? ?1 或 2 ? a ? 3 . 解法 2:当 ? ? 0 ,即 a ? 2 或 a ? ?1 时, 因为 f '( x) ? x 2 ? 2ax ? a ? 2 的对称轴方程为 x ? a 要使函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,

需?

?a ? 2 ?a ? ?1 或? ? f '(0) ? 0 ? f '(1) ? 0

解得 ?2 ? a ? ?1 或 2 ? a ? 3 . 综上:当 a ? [?2,3] 时,函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增. 9. 【2013· 朝阳一模文】已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x ,其中 a ? R .
2

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线的斜率为 1,求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间.
11

新东方优能中学教材

2 【解析】(Ⅰ)由 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x 可知,函数定义域为 x x ? 0 ,

?

?

且 f ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ? 解得 a ? 2 .

a a .由题意, f ?(2) ? 4 ? (a ? 2) ? ? 1 , x 2

(Ⅱ) f ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ?

a (2 x ? a)( x ? 1) ( x ? 0) . ? x x a 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 , x2 ? . 2 a 【解析】 (1)当 a ? 0 时, ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ;令 f ?( x) ? 0 ,得 2

0 ? x ?1.
则函数 f ( x) 的单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 (1, ??) .

a a ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 或 x ? 1 . 2 2 a 则函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ) , (1, ??) . 2 a 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? x ? 1 . 2 a 则函数 f ( x) 的单调递减区间为 ( ,1) . 2 a (3)当 ? 1 ,即 a ? 2 时, f ?( x) ? 0 恒成立,则函数 f ( x) 的单调递增区 2
(2)当 0 ? 间为 (0, ??) .

a a ? 1 ,即 a ? 2 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 或 x ? , 2 2 a 则函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0,1) , ( , ??) . 2 a 令 f ?( x) ? 0 ,得 1 ? x ? . 2 a 则函数 f ( x) 的单调递减区间为 (1, ) . 2 ax ? a , g ( x) ? a ln x ? x ( a ? 0 ) 10. 【2013· 朝阳二模文】已知函数 f ( x) ? 2 . x ?1
(4)当 (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)求证:当 a ? 0 时,对于任意 x1 , x2 ? ? 0,e? ,总有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立. (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 R ,

12

第六讲

导数(二)

f ?( x) ?

a(1 ? x2 ) a(1 ? x)(1 ? x) ? . ( x2 ? 1)2 ( x2 ? 1)2

当 a ? 0 时, 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)
当 a ? 0 时,

(??, ?1)

?1
0

(?1,1)

1
0

(1, ??)

?


?


?


当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)
综上所述,

(??, ?1)

?1
0

(?1,1)

1
0

(1, ??)

?


?


?


当 a ? 0 时,f ( x) 的单调递增区间为 (?1,1) , 单调递减区间为 (??, ?1) , (1, ??) ; 当 a ? 0 时,f ( x) 的单调递增区间为 (??, ?1) , 单调递减区间为 (?1,1) . (1, ??) , (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当 a ? 0 时,

f ( x) 在 (0,1) 上 单 调 递 增 , f ( x) ? f (0); f ( x) 在 (1, e] 上 单 调 递 减 , 且

f ( e)?

ae ?a ?a. e ?1
2
新|课 | 标|第 | 一| 网

所以 x ? (0, e] 时, f ( x) ? a .

因为 g ( x) ? a ln x ? x ,所以 g ?( x) ? 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? a .

a ?1 , x

①当 0 ? a ? e 时,由 g ?( x) > 0 ,得 0 ? x ? a ;由 g ?( x) < 0 ,得 x ? a , 所以函数 g ( x) 在 (0, a) 上单调递增,在 (a, e] 上单调递减.

13

新东方优能中学教材

所以 g ( x)max ? g (a) ? a ln a ? a . 因为 a ? (a ln a ? a) ? a(2 ? ln a) ? a(2 ? ln e) ? a ? 0 , 所以对于任意 x1 , x2 ? ? 0,e? ,总有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) . ②当 a ? e 时, g ?( x) ? 0 在 (0, e] 上恒成立, 所以函数 g ( x) 在 (0, e] 上单调递增, g ( x)max ? g (e) ? a ? e < a . 所以对于任意 x1 , x2 ? ? 0,e? ,仍有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) . 综上所述,对于任意 x1 , x2 ? ? 0,e? ,总有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) . 11. 【2012· 朝阳一模文】已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? e , a ? R .
2 x

?

?

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 1 时取得极值,求 a 的值; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间. (Ⅰ) f ?( x) ? ax 2 ? 2ax ? 1 ? e x . x ? R 依题意得 f ?(1) ? (3a ? 1) ? e = 0 ,解得 a ?

?

?

1 . 经检验符合题意. 3
2

(Ⅱ) f ?( x) ? ax 2 ? 2ax ? 1 ? e x ,设 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 , (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ?e , f ( x) 在 ? ??, ?? ? 上为单调减函数.
x

?

?

(2)当 a ? 0 时,方程 g ( x) ? ax ? 2ax ?1 = 0 的判别式为 ? ? 4a 2 ? 4a ,
2

令 ? ? 0 , 解得 a ? 0 (舍去)或 a ? ?1 . 1°当 a ? ?1 时, g ( x) ? ? x ? 2 x ? 1 ? ?( x ? 1) ? 0 ,
2 2

即 f ?( x) ? ax 2 ? 2ax ? 1 ? e x ? 0 , 且 f ?( x) 在 x ? ?1 两侧同号,仅在 x ? ?1 时等于 0 , 则 f ( x) 在 ? ??, ?? ? 上为单调减函数. 2°当 ?1 ? a ? 0 时, ? ? 0 ,则 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? 0 恒成立,
2

?

?

即 f ?( x) ? 0 恒成立,则 f ( x) 在 ? ??, ?? ? 上为单调减函数. 3° a ? ?1 时, ? ? 4a 2 ? 4a ? 0 ,令 g ( x) ? 0 ,
14

第六讲

导数(二)

方程 ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根

a2 ? a a2 ? a x1 ? ?1 ? , x2 ? ?1 ? , a a
作差可知 ?1 ?

a2 ? a a2 ? a ? ?1 ? , a a a2 ? a 时 , g(x ? ) a
, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 0

则 当 x ? ?1 ?

(??, ?1 ?

a2 ? a ) 上为单调减函数; a

a2 ? a a2 ? a ? x ? ?1 ? 当 ?1 ? 时, g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 , a a
f ( x) 在 (?1 ?

a2 ? a a2 ? a , ?1 ? ) 上为单调增函数; a a a2 ? a a
时 ,



x ? ?1 ?

g(x ? )

, 0

f ?( x) ? 0 ,

f ( x) 在

a2 ? a (?1 ? , ??) 上为单调减函数. a
综上所述,当 ?1 ? a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调减区间为 ? ??, ?? ? ;当 a ? ?1 时, 函数 f ( x) 的单调减区间为

(??, ?1 ?

a2 ? a a2 ? a ) (?1 ? , ??) a a
.



, 函数 f ( x) 的

单调增区间为

a2 ? a a2 ? a (?1 ? , ?1 ? ) a a

12. 【2012· 朝阳二模文】设函数 f ( x) ? a ln x ?

2a 2 (a ? 0) . x

(1)已知曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线 l 的斜率为 2 ? 3a ,求实数 a 的值; (2)讨论函数 f ( x) 的单调性; (3)在(1)的条件下,求证:对于定义域内的任意一个 x ,都有 f ( x) ? 3 ? x .

15

新东方优能中学教材

(Ⅰ) f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0} ,

f ?( x) ?

a 2a 2 . ? x x2

根据题意, f ?(1) ? 2 ? 3a , 所以 a ? 2a 2 ? 2 ? 3a ,即 a 2 ? 2a ? 1 ? 0 , 解得 a ? 1 . (Ⅱ) f ?( x) ?

a 2a 2 a ( x ? 2 a ) . ? ? x x2 x2

(1)当 a ? 0 时,因为 x ? 0 ,所以 x ? 2a ? 0 , a( x ? 2a) ? 0 , 所以 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减. (2)当 a ? 0 时, 若 0 ? x ? 2a , 则 ax 函数 f ( x) 在 (0, 2a) 上单调递减; ( ? 2 a) 0? ,f ?( x) ? 0 , 若 x ? 2a ,则 a(x ? 2a) ? 0 , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (2a, ??) 上单调 递增. 综上所述, 当 a ? 0 时, 函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减; 当 a ? 0 时, 函数 f ( x) 在 (0, 2a) 上单调递减,在 (2a, ??) 上单 调递增.

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? ln x ?

2 . x 2 ? x ? 3. x

设 g ( x) ? f ( x) ? (3 ? x) ,即 g ( x) ? ln x ?

g ?( x) ?

1 2 x 2 ? x ? 2 ( x ? 1)( x ? 2) ? 2 ?1 ? ? ( x ? 0) . x x x2 x2

当 x 变化时, g ?( x) , g ( x) 的变化情况如下表:

x g ?( x) g ( x)

(0,1)


1
0 极小值

(1, ??)


?

?

x ? 1 是 g ( x) 在 (0, ??) 上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是 g ( x) 的最小值
点.可见 g ( x)最小值 ? g (1) ? 0 , 所以 g ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? (3 ? x) ? 0 ,所以对

于定义域内的每一个 x ,都有 f ( x) ? 3 ? x .

f ( x) ?
13. 【2011· 朝阳一模文】已知函数
16

2 ? a ln x x ,a?R.

第六讲

导数(二)

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线垂直于直线 y ? x ? 2 ,求 a 的 值; (2)求函数 f ( x) 在区间 (0, e] 上的最小值. (Ⅰ)直线 y ? x ? 2 的斜率为 1.函数 y ? f ( x) 的导数为 f ?( x) ? ?

2 a ? , x2 x

2 a ? ? ?1 ,所以 a ? 1 . 12 1 ax ? 2 (Ⅱ) f ?( x) ? , x ? (0, ? ?) . x2
则 f ?(1) ? ? ①当 a ? 0 时, 在区间 (0, e] 上 f ?( x) ? ? 调递减, 则 f ( x) 在区间 (0, e] 上的最小值为 f (e) ? ②当

2 ? 0 ,此时 f ( x) 在区间 (0, e] 上单 x2 2 . e

2 ?0, 即 a ? 0 时, 在区间 (0, e] 上 f ?( x) ? 0 , 此时 f ( x) 在区间 (0, e] 上 a

单调递减,

2 ?a. e 2 2 2 ③当 0 ? ? e ,即 a ? 时,在区间 (0, ) 上 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在区间 a e a 2 2 2 (0, ) 上单调递减;在区间 ( , e] 上 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在区间 ( , e] 上 a a a 2 2 单调递增;则 f ( x) 在区间 (0, e] 上的最小值为 f ( ) ? a ? a ln . a a 2 2 ( x) ≤ 0 ,此时 f ( x) 在区 ④ 当 ≥ e ,即 0 ? a ≤ 时,在区间 (0, e] 上 f ′ a e 2 间 (0, e] 上为单调递减,则 f ( x) 在区间 (0, e] 上的最小值为 f (e) ? ? a . e
则 f ( x) 在区间 (0, e] 上的最小值为 f (e) ?

a≤
综上所述,当

2 2 2 ?a a? e 时, e 时, f ( x) 在区间 (0, e] 上的最小值为 e ;当 a ? a ln
x

f ( x) 在区间 (0, e] 上的最小值为

2 a.

14. 【2011· 朝阳二模文】已知函数 f ( x) ? e ? ax , a ? R . (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 x ? [0, ??) 时,都有 f ( x) ? 0 成立,求实数 a 的取值范围.
x (Ⅰ) f ( x) 的定义域是 ? ??, ?? ? , f ?( x) ? e ? a .

17

新东方优能中学教材

(1)当 a ≤ 0 时, f ?( x) ? 0 成立, f ( x) 的单调增区间为 ? ??, ?? ? ; (2)当 a ? 0 时, 令 f ?( x) ? 0 , 得 x ? ln a , 则 f ( x) 的单调增区间是 ? ln a, ?? ? . 得 x ? ln a ,则 f ( x) 的单调减区间是 ? ??,ln a ? . 综上所述,当 a ≤ 0 时, f ( x) 的单调增区间为 ? ??, ?? ? ;当 a ? 0 时, f ( x) 的单调减区间是 ? ??,ln a ? , f ( x) 的单调增区间是 ? ln a, ?? ? . (Ⅱ)当 x ? 0 时, f ( x) ? 1≥ 0 成立, a ? R . 当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ( x) ? e x ? ax ≥ 0 成立, 即 x ? ? 0, ?? ? 时, a ≤ 令 f ?( x) ? 0 ,

ex 成立. x
所以 g ?( x) ?

设 g ( x) ?

ex , x

xe x ? e x ( x ? 1)e x = . x2 x2

当 x?

(0, 1) 时, g ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 , 函数 g ( x) 在 (0, 1) 上为减函数; x ? ?1, ?? ? 时,
函数 g ( x) 在 x ? ?1, ?? ? 上为增函数.则 g ( x) 在 x ? 1 处取得最小值, g (1) ? e . 则

a≤e.
综上所述,

x ? ?0, ?? ?

时, f ( x) ≥ 0 成立的 a 的范围是 (??, e]

18


相关文章:
更多相关标签: