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2015年高考数学一轮复习热点难点精讲精析:2.9函数与方程


张喜林制 [选取日期] 2015 年高考一轮复习热点难点精讲精析: 2.9 函数与方程 1、零点的判定 ○相关链接○ (1)解方程:当能直接求解零点时,就直接求出进行判断。 (2)用定理:零点存在性定理。 注:如果函数 y ? f ( x) 在[a,b]上的图象是连续不断的曲线,且 x0 是函数在这个区间上的一个零点, 但 f (a ) f (b) ? 0 不一定成立。 (3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断 ○例题解析○ 〖例〗判断下列函数在给定区间是否存在零点。 (1) f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; (2) f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3] 分析:第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点,第(2)问利用零点的存在性定理或利用 两图象的交点来求解。 解答: (1)方法一: ∵f(1)=12-3×1-18=-20<0, f(8)=82-3×8-18=22>0, ∴f(1)·f(8)<0, 故 f(x)=x2-3x-18, x∈[1,8]存在零点 方法二: 令 f(x)=0 得 x2-3x-18=0,x∈[1,8]。 ∴ (x-6)(x+3)=0, ∴x=6∈[1,8],x=-3 ? [1,8], ∴f(x)=x2-3x-18, x∈[1,8]存在零点 (2)方法一:∵f(1)=log23-1>log22-1=0,f(3)=log25-3<log28-3=0, (3) ∴f(1)·f(3)<0,故 f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点。 1/6 方法二:设 y=log2(x+2),y=x,,在同一直角坐标系中画出它们的图象,从图象中可以看出当1 ? x ? 3 时,两图象有一个交点,因此 f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点。 注:(1)判断函数零点所在的区间,当方程 f(x)=0 无法解出或函数 y=f(x)的图象不易作出时,常用函 数零点存在的判定定理判断. (2)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题. 2、函数零点个数的判定 ○相关链接○ 函数零点个数的判定有下列几种方法: (1)解方程法:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点; (2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且 f(a)·f(b)< 0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点 值所具有的性质; (3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数, 其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点. ○例题解析○ 判断函数 f ( x) ? 4 x ? x 2 ? 2 3 x 在区间 ? ?1,1? 上零点的个数,并说明理由。 3 分析:求 f (1), f (?1) 的值 ? 判断函数在 ? ?1,1? 上的单调性 ? 函数零点个数。 解答: 2 7 2 13 ? ? ? 0, f (1) ? 4 ? 1 ? ? ? 0 3 3 3 3 ? f ( x)在 ? ?1,1? 上有零点。 f (?1) ? ?4 ? 1 ? 9 1 ? 2( x ? ) 2 , 2 2 9 当 ? 1 ? x ? 1时,0 ? f ?( x) ? , 2 ? f ( x)在 ? ?1,1? 上是单调递增函数, 又f ?( x) ? 4 ? 2 x ? 2 x 2 ? ? f ( x)在 ? ?1,1? 上有

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