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高中数学选修4-4全套教案坐标系与参数方程


高中数学选修 4-4 全套教案
第一讲


坐标系

平面直角坐标系

课题:1、平面直角坐标系 教学目的: 知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法:体会坐标系的作用 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:体会直角坐标系的作用 教

学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 情境 1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行,并在按计划完成科学考察任务后,安 全、准确的返回地球,从火箭升空的时刻开始,需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境 2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演,其中不断变化的背景图案是由看 台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案,需要缺点不同的画布所在的位置。 问题 1:如何刻画一个几何图形的位置? 问题 2:如何创建坐标系? 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系 1、数轴 它使直线上任一点 P 都可以由惟一的实数 x 确定 2、平面直角坐标系 在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条 直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点 P 都可以由惟一的实数对 (x,y)确定 3、空间直角坐标系 在空间中, 选择两两垂直且交于一点的三条直线, 当取定这三条直线的交点为原点, 并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点 P 都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定 三、讲解新课: 1、建立坐标系是为了确定点的位置,因此,在所建的坐标系中应满足: 任意一点都有确定的坐标与其对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置
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2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例 1 选择适当的平面直角坐标系,表示边长为 1 的正六边形的顶点。 *变式训练 如何通过它们到点 O 的距离以及它们相对于点 O 的方位来刻画,即用”距离和方向” 确定点的位置?

例 2 已知 B 村位于 A 村的正西方 1 公里处,原计划经过 B 村沿着北偏东 60 0 的方向设一 条地下管线 m.但在 A 村的西北方向 400 米出,发现一古代文物遗址 W.根据初步勘探的结 果,文物管理部门将遗址 W 周围 100 米范围划为禁区.试问:埋设地下管线 m 的计划需要 修改吗?

*变式训练 1.一炮弹在某处爆炸,在 A 处听到爆炸的时间比在 B 处晚 2s,已知 A、B 两地相距 800 米,并且此时的声速为 340m/s,求曲线的方程

2.在面积为 1 的 ?PMN 中, tan ?PMN ? 求以 M,N 为焦点并过点 P 的椭圆方程

1 , tan ?MNP ? ?2 ,建立适当的坐标系, 2

例 3 已知 Q(a,b),分别按下列条件求出 P 的坐标 (1)P 是点 Q 关于点 M(m,n)的对称点 (2)P 是点 Q 关于直线 l:x-y+4=0 的对称点(Q 不在直线 1 上)

*变式训练 用两种以上的方法证明:三角形的三条高线交于一点。 思考 通过平面变换可以把曲线 变换? 四、巩固与练习 五、小 结:本节课学习了以下内容:1.如何建立直角坐标系; 2.建标法的基本步骤; 3.什么时候需要建标。 五、课后作业:课本 P14 页 1,2,3,4 六、课后反思:
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( x ? 1) 2 ( y ? 1) 2 ? ? 1 变为中心在原点的单位圆,请求出该复合 9 4

建标法,学生学习有印象,但没有主动建标的意识,说明学生数学学习缺乏系统性, 需要加强训练。

课题:2、平面直角坐标系中的伸缩变换 教学目标: 知识与技能:平面直角坐标系中的坐标变换 过程与方法:体会坐标变换的作用 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识 教学重点:理解平面直角坐标系中的坐标变换、伸缩变换 教学难点:会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题 授课类型:新授课 教学措施与方法:启发、诱导发现教学. 教学过程: 一、阅读教材 P4—P8 问题探究 1:怎样由正弦曲线 y ? sin x 得到曲线 y ? sin 2 x ? 思考: “保持纵坐标不变横坐标缩为原来的一半”的实质是什么? 问题探究 2:怎样由正弦曲线 y ? sin x 得到曲线 y ? 3sin x ? 思考: “保持横坐标不变纵坐标缩为原来的 3 倍”的实质是什么? 问题探究 3:怎样由正弦曲线 y ? sin x 得到曲线 y ? 3sin 2 x ? 二、新课讲解: 定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换

? :?

的作用下,点P(x,y)对应P’(x’,y’).称 ? 为平面直角坐标系中的伸缩变换 ? 注 (1) ? 0, ? ? 0 (2)把图形看成点的运动轨迹,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到; (3)在伸缩变换下,平面直角坐标系不变,在同一直角坐标系下进行伸缩变换。 ? x' ? 2 x 例 1、在直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 ? ' 后的图形。 ? y ? 3y (1)2x+3y=0; (2) x2 ? y 2 ? 1

?x' ? ? x ? y' ? ? y

(? ? 0) ( ? ? 0)

? x ? ? 3 x, 例 2、在同一平面坐标系中,经过伸缩变换 ? 后,曲线 C 变为曲线 x? 2 ? 9 y ? 2 ? 9 , y? ? y ? 求曲线 C 的方程并画出图象。 三、知识应用: 1、已知 f1 ( x) ? sin x, f 2 ( x) ? sin ?x ( ? ? 0) f 2 ( x) 的图象可以看作把 f 1 ( x) 的图象在其所
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1 在的坐标系中的横坐标压缩到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的,则 ? 为( ) 3 1 1 A. B .2 C.3 D. 2 3 ? x? ? 5x 2、在同一直角坐标系中,经过伸缩变换 ? 后,曲线 C 变为曲线 2x?2 ? 8 y?2 ? 1, 则 ? y? ? 3 y

曲线 C 的方程为(

) D.

2 2 8 2 x ? y ?1 25 9 1 ? ? x? ? 2 x 3、在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 ? 后的图形。 1 ? y? ? y 3 ? (1) 5 x ? 2 y ? 0;

A. 25x2 ? 36 y 2 ? 1 B. 9 x2 ? 100 y 2 ? 1 C. 10 x2 ? 24 y 2 ? 1

(2) x 2 ? y 2 ? 1 。 四、知识归纳:设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ? x? ? ? ? x, (? ? 0), 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P?( x?, y ?) ,称 ? 为平面直角坐标系 ?:? ? y ? ? ? ? y, ( ? ? 0), 中的坐标伸缩变换 五、作业布置:
? ? 1 ?x ? 4 x ? 2 1、抛物线 y ? 4x 经过伸缩变换 ? 后得到 1 ? y? ? y ? 3 ? 2 y? ? 1 的伸缩变换为 2、把圆 x2 ? y 2 ? 16 变成椭圆 x?2 ? 16 3、在同一坐标系中将直线 3x ? 2 y ? 1 变成直线 2x' ? y' ? 2 的伸缩变换为 ? ? 1 ?x ? x 4、把曲线 y ? 3sin 2 x 的图象经过伸缩变换 ? 2 得到的图象所对应的方程为 ? y? ? 4 y ? ? x? ? 2 x ? 5、 在同一平面直角坐标系中, 经过伸缩变换 ? 曲线 C 变为 x?2 ?16 y?2 ? 4x? ? 0 , 1 后, y? ? y ? ? 2

则曲线 C 的方程 六、反思:

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极坐标系

课题:1、极坐标系的的概念 教学目的: 知识目标:理解极坐标的概念 能力目标:能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐 标系中刻画点的位置的区别. 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:理解极坐标的意义 教学难点:能够在极坐标系中用极坐标确定点位置 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 情境 1:军舰巡逻在海面上,发现前方有一群水雷,如何确定它们的位置以便将它们引 爆? 情境 2: 如图为某校园的平面示意图, 假设某同学在教学楼处。 (1)他向东偏 60°方向走 120M 后到达什么位置?该位 置惟一确定吗? (2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置,他应如何描 述? 问题 1:为了简便地表示上述问题中点的位置,应创建怎 样的坐标系呢? 问题 2:如何刻画这些点的位置? 这一思考,能让学生结合自己熟悉的背景,体会在某些情况下用距离与角度来刻画 点的位置的方便性,为引入极坐标提供思维基础. 二、讲解新课: 从情镜 2 中探索出:在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用 方向和距离表示平面上一点的位置的思想,就是极坐标的基本思想。 1、极坐标系的建立: 在平面上取一个定点 O,自点 O 引一条射线 OX,同时确定一个单位长度和计算角度 的正方向(通常取逆时针方向为正方向) ,这样就建立了一个极坐标系。 (其中 O 称为极点,射线 OX 称为极轴。 ) 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点 M,用 ? 表示线段 OM 的长度, 用 ? 表示从 OX 到 OM 的角度, 叫做点 M 的极径, ? ? 叫做点 M 的极角,有序数对(?,?)就叫做 M 的极坐标。 特别强调: 由极径的意义可知 ?≥0;当极角 ? 的取值范 围是[0,2 ? )时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(?,?)建
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立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径 ?=0,极角是任意角. 3、负极径的规定 在极坐标系中,极径 ? 允许取负值,极角 ? 也可以去任意的正角或负角 当 ?<0 时,点 M (?,?)位于极角终边的反向延长线上,且 OM= ? 。 M (?,?)也可以表示为 ( ? ,? ? 2k? )或(?? ,? ? (2k ? 1)? ) (k ? z ) 4、数学应用 例 1 写出下图中各点的极坐标(见教材 14 页) A(4,0)B(2 )C( ) D( )E( )F( ) G( ) ① 平面上一点的极坐标是否唯一? ② 若不唯一,那有多少种表示方法? ③坐标不唯一是由谁引起的? ③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式 约定:极点的极坐标是 ? =0, ? 可以取任意角。 变式训练 在极坐标系里描出下列各点 5? 5? ? 4? A(3,0) B(6,2 ? )C(3, )D(5, )E(3, )F(4, ? )G(6, 6 3 2 3 点的极坐标的表达式的研究 5? ? 例 2 在极坐标系中,(1)已知两点 P(5, ) (1, ) ,求线段 PQ 的长度; ,Q 4 4 ? (2)已知 M 的极坐标为(?,?)且 ?= ,? ? R ,说明满足上述条件的点 M 的位置。 3 变式训练 5? 5? 7? 1、若 ?ABC 的的三个顶点为 A(5, ), B(8, ), C (3, ), 判断三角形的形状 . 2 6 6 2、若 A、B 两点的极坐标为 ( ?1 ,?1 ), ( ? 2 ,? 2 ) 求 AB 的长以及 ?AOB 的面积。 为极点) (O 例 3 已知 Q(?,?) ,分别按下列条件求出点 P 的极坐标。 (1) P 是点 Q 关于极点 O 的对称点; ? (2) P 是点 Q 关于直线 ? ? 的对称点; 2 (3) P 是点 Q 关于极轴的对称点。 变式训练 ? 1.在极坐标系中,与点 ( ?8, ) 关于极点对称的点的一个坐标是 ( ) 6 ? 5? 5? ? A(8, ), B(8,? ), C (?8, ), D(?8,? ) 6 6 6 6 ? 5 2 在极坐标系中, 如果等边 ?ABC 的两个顶点是 A(2, ), B(2, ), 求第三个顶点 C 的坐标。 4 4 三、巩固与练习 四、小 结:本节课学习了以下内容:1.如何建立极坐标系。 2.极坐标系的基本
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要素是:极点、极轴、极角和度单位。3.极坐标中的点与坐标的对应关系。 五、课后作业: 六.课后反思:本节学习内容对学生来说是全新的,因而学生学习的兴趣很浓,课堂气 氛很好。部分学生还未能转换思维,感到有点吃力。后续教学还要加强基础训练。 课题:2、极坐标与直角坐标的互化 教学目的: 知识目标:掌握极坐标和直角坐标的互化关系式 能力目标:会实现极坐标和直角坐标之间的互化 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解 教学难点:互化关系式的掌握 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 情境 1:若点作平移变动时,则点的位置采用直角坐标系描述比较方便; 情境 2:若点作旋转变动时,则点的位置采用极坐标系描述比较方便 问题 1:如何进行极坐标与直角坐标的互化? 问题 2:平面内的一个点的直角坐标是 (1, 3) ,这个点如何用极坐标表示? 学生回顾 理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义 正确画出点的位置,标出极径和极角,借助几何意义归结到三角形中求解 二、讲解新课: 直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度 单位。平面内任意一点 P 的指教坐标与极坐标分别为 ( x, y ) 和 ( ? ,? ) ,则由三角函数的定 义可以得到如下两组公式: ? 2 ? x2 ? y2 x ? ? cos? { { y y ? ? sin ? tan? ? x 说明 1 上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式 2 通常情况下, 将点的直角坐标化为极坐标时, ? ≥ 取 0, 0 ≤ ? ≤ 2? 。 3 互化公式的三个前提条件 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同. 三.举例应用: 2? 例 1. (1)把点 M 的极坐标 (8, ) 化成直角坐标 3 (2)把点 P 的直角坐标 ( 6 ,? 2 ) 化成极坐标
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变式训练

? ? 在极坐标系中,已知 A(2, ), B(2,? ), 求 A,B 两点的距离 6 6
例 2.若以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立直角坐标系. 5? (1)已知 A 的极坐标 (4, ), 求它的直角坐标, 3 (2)已知点 B 和点 C 的直角坐标为 (2,?2)和(0,?15) 求它们的极坐标. ( ? >0,0≤ ? <2 ? ) 变式训练 把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定 ? >0,0≤ ? < 2? ) A(?1,1), B(0,?2),C (3,4), D(?3,?4)

? 2? 例 3.在极坐标系中,已知两点 A(6, ), B (6, ) . 6 3 求 A,B 中点的极坐标.
变式训练

? ? 在极坐标系中,已知三点 M (2,? ), N (2,0), P(2 3 , ) .判断 M , N , P 三点是否在一条直线 3 6 上.
四、巩固与练习:课后练习 五、小 结:本节课学习了以下内容: 1.极坐标与直角坐标互换的前提条件; 2.互换的公式; 3.互换的基本方法。 五、课后作业: 六、课后反思:在教师的引导下,学生能积极应对互化的原因、方法,也能较好地模仿 操作,但让学生独立自主完成新的问题的解答,明显有困难,需要教师的点拨引导。这 点可采取的措施是:小组讨论,共同寻找解决问题的方法,很有效。但教学时间不足。

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三 简单曲线的极坐标方程 课 题: 1、圆的极坐标方程 教学目标: 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教学重点、极坐标方程的意义 教学难点:极坐标方程的意义 教学方法:启发诱导,讲练结合。 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 问题情境 1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用? 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程?
王新敞
奎屯 新疆

学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置? 2、曲线的方程和方程的曲线(直角坐标系中)定义 3、求曲线方程的步骤 4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课: 1、引例.如图,在极坐标系下半径为 a 的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0),你能用一个等式表示圆上任意一点, 的极坐标(?,?)满足的条件? 解:设 M (?,?)是圆上 O、A 以外的任意一点,连接 AM, 则有:OM=OAcosθ,即:ρ=2acosθ ①, 2、提问:曲线上的点的坐标都满足这个方程吗? 可以验证点 O(0,π/2)、A(2a,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之,适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义:一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 f ( ? ,? ) ? 0 的点 在曲线上,那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程,这条曲线称为这个 极坐标方程的曲线。 例 1、已知圆 O 的半径为 r,建立怎样的坐标系, 可以使圆的极坐标方程更简单? ①建系;
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②设点;M(ρ,θ) ③列式;OM=r, 即:ρ=r ④证明或说明. 变式练习:求下列圆的极坐标方程 (1)中心在C(a,0),半径为 a; (2)中心在(a,?/2),半径为 a; (3)中心在C(a,?0),半径为 a 答案:(1)?=2acos ? (2) ?=2asin ? (3) ?=2a cos(? ? ?0 ) 例 2. (1)化在直角坐标方程 x 2 ? y 2 ? 8 y ? 0 为极坐标方程, ? (2)化极坐标方程 ? ? 6 cos( ? ? ) 为直角坐标方程。 3 三、课堂练习: 1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1 为半径的圆的方程是 (C) ?? ?? ? ? A.? ? 2cos ?? ? ? B.? ? 2sin ? ? ? ? 4? 4? ? ? C.? ? 2cos ?? ? 1? D.? ? 2sin ?? ? 1? 2.极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是多少?
3.说明下列极坐标方程表示什么曲线 (1)?=2cos(? -

2 2

?

4 (3)?=3 sin ?   

)

(2)?=cos( (4) ?=6

?
3

-? )

4.填空:   (1)直角坐标方程x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 y ? 0的  极坐标方程为_______ (2)直角坐标方程2 x-y+1? 0的极坐标方程为_______ (3)直角坐标方程x 2 ? y 2 ?9的极坐标方程为_____ (4)直角坐标方程x ?3的极坐标方程为_______ 四、课堂小结: 1.曲线的极坐标方程的概念. 2.求曲线的极坐标方程的一般步骤. 五、课外作业:教材 P28 1,2

? 1.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C (3, ) ,半径 r ? 3 , 6 (1)求圆 C 的极坐标方程。 (2)若 Q 点在圆 C 上运动, P 在 OQ 的延长线上,且 OQ : OP ? 3 : 2 ,求动点 P 的 轨迹方程。

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课题:2、直线的极坐标方程 教学目标: 知识与技能:掌握直线的极坐标方程 过程与方法:会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:理解直线的极坐标方程,直角坐标方程与极坐标方程的互化 教学难点:直线的极坐标方程的掌握 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教学过程: 一、探究新知: 阅读教材 P13-P14 l ? 探究 1、直线 l 经过极点,从极轴到直线 l 的角是 ,如何用极坐标方程表示直线 l 4
? 4
O

思考:用极坐标表示直线时方程是否唯一?

x

探究 2、如何表示过点 A(a, 0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程,化为直角坐 标方程是什么?过点 A(a, 0)(a ? 0) ,平行于极轴的直线 l 的极坐标方程呢?

二、知识应用: 例 1、已知点 P 的极坐标为 (2, ? ) ,直线 l 过点 P 且与极轴所成的角为 坐标方程。

? ,求直线 l 的极 3

例 2、把下列极坐标方程化成直角坐标方程 5? ( ? ? R) (1) ? ? (2) ? (2cos ? ? 5sin ? ) ? 4 ? 0 4

? (3) ? sin(? ? ) ? 4 3

? 2 例 3、判断直线 ? sin(? ? ) ? 与圆 ? ? 2cos ? ? 4sin ? 的位置关系。 4 2
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三、巩固与提升: P15 第 1,2,3,4 题

四、知识归纳: 1、直线的极坐标方程 2、直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 3、直线与圆的简单综合问题 五、作业布置: 1、在直角坐标系中,过点 (1, 0) ,与极轴垂直的直线的极坐标方程是( ) A ? sin ? ?1 B ? ? sin ? C ? cos ? ? 1 D ? ? cos ? ? 2、与方程 ? ? ( ? ? 0) 表示同一曲线的是 ( ) 4 ? 5? 5? ? ( ? ? 0) C ? ? ( ? ? R) A ? ? ( ? ? R) B ?? D ? ? ( ? ? 0) 4 4 4 4 ? 3、在极坐标系中,过点 A(2, ? ) 且与极轴平行的直线 l 的极坐标方程是 2 4、在极坐标系中,过圆 ? ? 4cos? 的圆心,且垂直于极轴的直线方程是 3? 5、在极坐标系中,过点 A(2, ) 且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 4 7? ? 2 6、已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? ,求点 A(2, ) 到这条直线的距离。 4 4 2

7、在极坐标系中,由三条直线 ? ? 0,? ?

?
3

, ? cos ? ? ? sin ? ? 1 围成图形的面积。

六、反思:

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柱坐标系与球坐标系简介

课题:球坐标系与柱坐标系 教学目的: 知识目标:了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标:了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点:利用它们进行简单的数学应用 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 情境:我们用三个数据来确定卫星的位置,即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。 问题:如何在空间里确定点的位置?有哪些方法? 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 二、讲解新课: 1、球坐标系 设 P 是空间任意一点,在 oxy 平面的射影为 Q,连接 OP,记| OP |= r ,OP 与 OZ 轴正向所夹的角为 ? ,P 在 oxy 平面的射影为 Q,Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转 过的最小正角为 ? ,点 P 的位置可以用有序数组 (r ,? , ? ) 表示,我们把建立上述对应关 系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系) 有序数组 (r ,? , ? ) 叫做点 P 的球坐标,其中 r ≥0,0≤ ? ≤ ? ,0≤ ? <2 ? 。 空间点 P 的直角坐标 ( x, y, z ) 与球坐标 (r ,? , ? ) 之间的变换关系为:
?x 2 ? y 2 ? z 2 ? r 2 ? ? x ? r sin ? cos? ? ? y ? r sin ? sin ? ? z ? r cos? ?

2、柱坐标系 设 P 是空间任意一点,在 oxy 平面的射影为 Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示 点在 平面 oxy 上的极坐标,点 P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的 坐标系叫做柱坐标系 有序数组(ρ,θ,Z)叫点 P 的柱坐标,其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z∈R 空间点 P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为:
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3、数学应用

? x ? ? cos? ? ? y ? ? sin ? ? z?z ?

例 1 建立适当的球坐标系,表示棱长为 1 的正方体的顶点.

变式训练 建立适当的柱坐标系, 表示棱长为 1 的正方体的顶点. 例 2.将点 M 的球坐标 (8,

? 5?
3 , 6

) 化为直角坐标.

变式训练 1.将点 M 的直角坐标 (?1,?1, 2 ) 化为球坐标. ? 2.将点 M 的柱坐标 ( 4, ,8) 化为直角坐标. 3 (a, a, a) (a >0)的球坐标是什么? 3.在直角坐标系中点 例 3.球坐标满足方程 r=3 的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.

变式训练 标满足方程 ? =2 的点所构成的图形是什么?

例 4.已知点 M 的柱坐标为 ( 2 ,

?
4

,3), 点 N 的球坐标为 (2,

? ?

, ), 求线段 MN 的长度. 4 2

思考:
? ? ? ? 在球坐标系中,集合 M ? ?(r ,? , ? ) 2 ? r ? 6,0 ? ? ? ,0 ? ? ? 2? ? 表示的图形的体 2 ? ? ? 积为多少?

三、巩固与练习 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.球坐标系的作用与规则; 2.柱坐标系的作用与规则。 五、课后作业:教材 P15 页 12,13,14,15,16
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六、课后反思:本节内容与平面直角坐标和极坐标结合起来,学生容易理解。但以后少 用,可能会遗忘很快。需要定期调回学生的记忆。

第二章 【课标要求】

参数方程

1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。 2、理解直线的参数方程及其应用;理解圆和椭圆(椭圆的中心在原点)的参数方 程及其简单应用。 3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。 第一课时 一、教学目标: 1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写出抛物运动轨迹的参数方 程,体会参数的意义。 2.分析曲线的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。 二、教学重点:根据问题的条件引进适当的参数,写出参数方程,体会参数的意义。 教学难点:根据几何性质选取恰当的参数,建立曲线的参数方程。 三、教学方法:启发诱导,探究归纳 四、教学过程 (一) .参数方程的概念 1.问题提出:铅球运动员投掷铅球,在出手的一刹那,铅球的速度为 角,如何来刻画铅球运动的轨迹呢? 2.分析探究理解: (1) 、斜抛运动:
y v=v0

参数方程的概念

?

0 ,与地面成

?

? x ? v0 cos? ? t ? ? 1 2 (t为参数) ? y ? v0 sin ? ? t ? 2 gt ?

?
O x

(2) 、抽象概括:参数方程的概念。说明: (1)一般来说,参数的变化范围是有限制的。 (2)参数是联系变量 x,y 的桥梁,可以有实际意义,也可无实际意义。 (3)平抛运动:
第 15 页 共 33 页 y 500 v=100m/s A

O

x

? x ? 100t ? ? 1 2 (t为参数) ? y ? 500 ? 2 gt ?
(4)思考交流:把引例中求出的铅球运动的轨迹 的参数方程消去参数 t 后,再将所得方程与原方程进行比较,体会参数方程的作用。 (二) 、应用举例:
? x ? 3t 例 1、已知曲线 C 的参数方程是 ? (t 为参数)(1)判断点 2 ? y ? 2t ? 1

M

1

(0,1),

(2)已知点 M 3 (6,a)在曲线 C 上,求 a 的值。 M 2 (5,4)与曲线 C 的位置关系; 分析:只要把参数方程中的 t 消去化成关于 x,y 的方程问题易于解决。学生练习。 反思归纳:给定参数方程要研究问题可化为关于 x,y 的方程问题求解。

?
例 2、设质点沿以原点为圆心,半径为 2 的圆做匀速(角速度)运动,角速度为 60 rad/s,试以时间 t 为参数,建立质点运动轨迹的参数方程。 解析:如图,运动开始时质点位于 A 点处,此时 t=0,设动点 M(x,y)对应时刻 t,由图

可知

{

x ?2cos? y ? 2sin?

? 又? ? 60 t ,得参数方程为

{

? x ? 2 cos 60 t ? y ? 2sin 60 t
3000
Y

(t ? 0) 。

2500

2000

1500

1000

M

500

A
X

-4000

-3000

-2000

-1000

1000

2000

3000

4000

5000

-500

-1000

c1

-1500

-2000

-2500

-3000

反思归纳:求曲线的参数方程的一般步骤。 (三) 、课堂练习:
第 16 页 共 33 页

(四) 、小结:1.本节学习的数学知识;2、本节学习的数学方法。学生自我反思、教 师引导,抓住重点知识和方法共同小结归纳、进一步深化理解。 (五) 、作业: 补充:设飞机以匀速 v=150m/s 作水平飞行,若在飞行高度 h=588m 处投弹(设投弹 的初速度等于飞机的速度,且不计空气阻力)(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程; 。 (2) 试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标。简解: 1) (
? x ? 150t ? 2 ? y ? 588 ? 4.9t (t为参数) 。 (2)1643m。

五、教学反思:

第 17 页 共 33 页

第二课时 一、教学目标:

圆的参数方程及应用

知识与技能:分析圆的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几 何性质求最值(数形结合) 过程与方法:能选取适当的参数,求圆的参数方程 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:能选取适当的参数,求圆的参数方程 教学难点:选择圆的参数方程求最值问题. 三、教学方法:启发、诱导发现教学. 四、教学过程:
O y r M

?
x M0 x

(一) 、圆的参数方程探求 1、根据图形求出圆的参数方程,教师准对问题讲评。

? x ? r cos? ? ? y ? r sin ?

(?为参数) 这就是圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程。

说明: (1)参数θ的几何意义是 OM 与 x 轴正方向的夹角。 (2)随着选取的参数不同, 参数方程形式也有不同,但表示的曲线是相同的。 (3)在建立曲线的参数方程时,要注 明参数及参数的取值范围。

?x ? 2 cos? ? 5 2、指出参数方程 (?为参数)所表示圆的圆心坐标、 半径,并化为普通方程 。 ? ? y ? 3 ? 2 sin ?
8 6 4

P

2

A

-10

-5

C

5

10

-2

c1
-4

-6

-8

3、若如图取<PAX=θ,AP 的斜率为 K,如何建立圆的参数方程,同学们讨论交流,自我
第 18 页 共 33 页

解决。 结论:参数取的不同,可以得到圆的不同形式的参数方程。 4,反思归纳:求参数方程的方法步骤。 (二) 、应用举例 例 1、已知两条曲线的参数方程

45 c1 : ?y ?5sin? (? 为参数)和c 2 : ?y ?3?t sin 450 (t为参数)
(1) 、判断这两条曲线的形状; 、求这两条曲线的交点坐标。学生练习,教师准对 (2) 问题讲评。 (三) 、最值问题:利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值(数形结合) 例 2、1、已知点 P(x,y)是圆 x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 12 ? 0 上动点,求(1) x 2 ? y 2 的最 值, (2)x+y 的最值, (3)P 到直线 x+y- 1=0 的距离 d 的最值。 解: x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 12 ? 0 即 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 , 圆 用参数方程表示为 { 由于点 P 在圆上,所以可设 P(3+cosθ,2+sinθ) , (1) x 2 ? y 2 ? (3 ? cos? ) 2 ? (2 ? sin ? ) 2 ? 14 ? 4 sin ? ? 6 cos? ? 14 ? 2 13 sin(? ? ? ) (其中 tan ? =
3 ) ∴ x 2 ? y 2 的最大值为 14+2 2

x ?5cos?

x ? 4 ? t cos

0

x ? 3 ? cos? y ? 2 ? sin ?

13 ,最小值为 14- 2 13



(2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+ 2 sin( θ + 最小值为 5 - 2 。

? 4 )∴ x+y 的最大值为 5+

2



(3)

d?

3 ? cos ? ? 2 ? sin ? ? 1 2

4 ? 2 sin(? ? ? 2

?
4

)

显然当 sin( θ+

? 4 )= ? 1 时,d 取最大值,最小值,分别为 1 ? 2 2 , 1 ? 2 2 .
第 19 页 共 33 页

2、 过点(2,1)的直线中,被圆 x2+y2-2x+4y=0 截得的弦: 为最长的直线方程是_________; 为最短的直线方程是__________; 3、若实数 x,y 满足 x2+y2-2x+4y=0,则 x-2y 的最大值为 (三) 、课堂练习:学生练习:1、2 (四) 、小结:1、本课我们分析圆的几何性质,选择适当的参数求出圆的参数方程。2、 参数取的不同,可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参 数方程求最值。要求大家掌握方法和步骤。 (五) 、作业: 1、方程 x 2 ? y 2 ? 4tx ? 2ty ? 5t 2 ? 4 ? 0 (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是(D) A.一个定点 2、已知 ? B.一个椭圆 C.一条抛物线 的最大值是 6。 D.一条直线 。

? x ? 2 ? cos? (?为参数) ,则 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 4) 2 ? y ? sin?

8.曲线 x 2 ? y 2 ? 2 y 的一个参数方程为 ? 五、教学反思:

? x ? cos? (?为参数) ? y ? 1 ? sin?

第 20 页 共 33 页

第三课时 一、教学目标:

圆锥曲线的参数方程

知识与技能:了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法:能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点:选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法:启发、诱导发现教学. 四、教学过程: (一) 、复习引入: 1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

? x ? r cos? (1)圆 x 2 ? y 2 ? r 2 参数方程 ? ? y ? r sin ?

( ? 为参数) ( ? 为参数)

? x ? x0 ? r cos? (2)圆 ( x ? x0 ) 2 ? ( y \ y0 ) 2 ? r 2 参数方程为: ? ? y ? y 0 ? r sin ?
2.写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。 3.能模仿圆参数方程的推导,写出圆锥曲线的参数方程吗? (二) 、讲解新课:
x2 y2 1.椭圆的参数方程推导:椭圆 2 ? 2 ? 1 参数方程 a b

? x ? a cos? ( ? 为参数),参 ? ? y ? b sin ?

数 ? 的几何意义是以 a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与 X 轴正半轴的夹角。
6 5 4

3

A

2

1

M

-8

-6

-4

-2 -1

O

L1

2

N

4

6

8

10

-2

-3

-4

-5

-6

-7

第 21 页 共 33 页

2.双曲线的参数方程的推导: 双曲线

x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2
2500

? x ? a sec? ( ? 为参数) ? ? y ? b tan?

2000
Q P

1500
B

1000

500

A

-4000

-3000

-2000

-1000

1000

2000

3000

M

4000

5000

-500

-1000

-1500

-2000

-2500

-3000

-3500

参数 ? 几何意义为以 a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与 X 轴正半轴的夹 角。
? x ? 2 Pt 2 3.抛物线的参数方程:抛物线 y ? 2Px 参数方程 ? (t 为参数),t 为以抛物 ? y ? 2 Pt
2

线上一点(X,Y)与其顶点连线斜率的倒数。 (1) 、关于参数几点说明: A.参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。 B.同一曲线选取的参数不同,曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义: 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式,它借助于中间变量把曲线上的动点的 两个坐标间接地联系起来,参数方程与变通方程同等地描述,了解曲线,参数方程实际 上是一个方程组,其中 x , y 分别为曲线上点 M 的横坐标和纵坐标。 (3) 、参数方程求法: (A)建立直角坐标系,设曲线上任一点 P 坐标为 ( x, y ) ; (B) 选取适当的参数; (C)根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点 P 坐标与参 数的函数式; (D)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取:选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的 关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间 t 做参数;与旋转的有关问题
第 22 页 共 33 页

选取角 ? 做参数;或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。
x2 y2 4、椭圆的参数方程常见形式: (1) 、椭圆 2 ? 2 ? 1 参数方程 a b
2 x ? y ? 1(b ? a ? 0) 2 参数) ;椭圆 2 的参数方程是 b a 2

? x ? a cos? (? 为 ? ? y ? b sin ?

?

x ?b cos? y ?a sin?

(?为参数,且0 ? ? ? 2?).

( 2 ) 以 ( x 0, y ) 为 中 心 焦 点 的 连 线 平 行 于 x 轴 的 椭 圆 的 参 数 方 程 是 、
0

x 0 ? a cos? {y ? y ?b sin? (? 为参数) (3)在利用 ?x ? a cos? 研究椭圆问题时,椭圆上的点的 。 ? 0 ? y ? b sin ?
x?

坐标可记作(acos ? ,bsin ? ) 。 (三) 、巩固训练
1 ? ?x ? t ? t (t为参数) 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 4 。 1、曲线 ? 1 ?y ? t ? t ?

2、曲线 ? A.
1 2

? x ? cos? ? y ? sin?

(?为参数) 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是(D)

B.

2 2

C.1

D. 2

? x ? 3 cos? 3、已知椭圆 ? ? y ? 2 sin ?

( ? 为参数) 求 (1) ? ?

?
6

时对应的点 P 的坐标

(2)直线 OP 的倾斜角 (四) 、小结:本课要求大家了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义,能选取适当的参 数,求简单曲线的参数方程,通过推到椭圆及双曲线的参数方程,体会求曲线的参数方 程方法和步骤,对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握。 (五) 、作业: 五、教学反思:

第 23 页 共 33 页

第四课时 一、教学目标:

圆锥曲线参数方程的应用

知识与技能:利用圆锥曲线的参数方程来确定最值,解决有关点的轨迹问题 过程与方法:选择适当的参数方程求最值。 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:选择适当的参数方程求最值。 教学难点:正确使用参数式来求解最值问题 三、教学模式:讲练结合,探析归纳 四、教学过程: (一) 、复习引入: 通过参数 ? 简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题, 从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值,参数取值范围等问题。 (二) 、讲解新课: 例 1、双曲线{
x ?2 3 tan ? y ?6sec?

(?为参数)的两焦点坐标是



答案: (0,-4 3 )(0,4 3 ) , 。学生练习。

e ?e 例 2、方程{ y ? t ? ? t e e
x ?
2

x?

t

?t

(t 为参数)的图形是 双曲线右支



学生练习,教师准对问题讲评。反思归纳:判断曲线形状的方法。

例 3、 P 是椭圆 36 设

y
4

2

? 1 在第一象限部分的弧 AB 上的一点,求使四边形 OAPB

的面积最大的点 P 的坐标。 分析: 本题所求的最值可以有几个转化方向, 即转化为求

s

?POA?

s

?poB ,

S

OAPB



最大值或者求点 P 到 AB 的最大距离,或者求四边形 OAPB 的最大值。 学生练习,教师准对问题讲评。 ? = 4 时四边形 OAPB 的最大值=6 2 ,此时点 P 【 为(3 2 ,2)】 。
第 24 页 共 33 页

?

(三) 、巩固训练 1、直线 ? A. 或 2、椭圆
? 6
? x ? t cos? ? x ? 4 ? 2 cos? (?为参数) 与圆 ? (?为参数) 相切,那么直线的倾斜角为(A) ? y ? t sin? ? y ? 2 sin?

5? 6

B.

? 3? 或 4 4

C.

? 2? 或 3 3

D. ?

? 5? 或? 6 6

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )与 x 轴正向交于点 A,若这个椭圆上存在点 P,使 OP a2 b2

⊥AP, 为原点) (O ,求离心率 e 的范围。 3、抛物线 y 2 ? 4 x 的内接三角形的一个顶点在原点,其重心恰是抛物线的焦点,求内接 三角形的周长。 4、设 P 为等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 上的一点, F1 , F2 为两个焦点,证明 F1 P ? F2 P ? OP 5、求直线 ?
?x ? 1 ? t ?y ? 1? t (t为参数) 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 的交点坐标。
2

解:把直线的参数方程代入圆的方程,得(1+t)2+(1-t)2=4,得 t=±1,分别代入直线 方程,得交点为(0,2)和(2,0) 。 (三) 、小结:本节课我们利用圆锥曲线的参数方程来确定最值,解决有关点的轨迹问 题,选择适当的参数方程正确使用参数式来求解最值问题,要求理解和掌握求解方法。 (四) 、作业: 练习:在抛物线 y 2 ? 4ax (a ? 0) 的顶点,引两互相垂直的两条弦 OA,OB,求顶 点 O 在 AB 上射影 H 的轨迹方程。 五、教学反思:

第 25 页 共 33 页

第五课时 一、教学目标:

直线的参数方程

知识与技能:了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法:能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二重难点:教学重点:曲线参数方程的定义及方法 教学难点:选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法:启发、诱导发现教学. 四、教学过程 (一) 、复习引入: 1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

? x ? r cos? 圆 x 2 ? y 2 ? r 2 参数方程 ? ? y ? r sin ?

( ? 为参数)

? x ? x0 ? r cos? (2)圆 ( x ? x0 ) 2 ? ( y \ y0 ) 2 ? r 2 参数方程为: ? ? y ? y 0 ? r sin ?
2.写出椭圆参数方程.

( ? 为参数)

3.复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参 数方程? (二) 、讲解新课: 1、问题的提出:一条直线 L 的倾斜角是 30 ,并且经过点 P(2,3) ,如何描述直 线 L 上任意点的位置呢? 如果已知直线 L 经过两个 定点 Q(1,1) ,P(4,3) , 那么又如何描述直线 L 上任意点的 位置呢? 2、教师引导学生推导直线的参数方程: (1)过定点 P( x0 , y0 ) 倾斜角为 ? 的直线的 参数方程
第 26 页 共 33 页
0

Y P

L M Q

A O B C X

? x ? x 0 ? t cos ? ? ? y ? y 0 ? t sin ?

( t 为参数)

【辨析直线的参数方程】 :设 M(x,y)为直线上的任意一点,参数 t 的几何意义是指 ???? ? 从点 P 到点 M 的位移,可以用有向线段 PM 数量来表示。带符号. ( 2 ) 经 过 两 个 定 点 Q ( x1, y ) , P ( x 2, y ) ( 其 中 、
1 2

x ?x
1

2

)的直线的参数方程为

Y L P M Q A N B

O

X

{

x? y?

x1?? X 2 1?? y1?? y 2 1??

(?为参数,? ? ?1) 。其中点

M(X,Y)为直线上的任意一点。这里

??? ? 参数 ? 的几何意义与参数方程 (1) 中的 t 显然不同, 它所反映的是动点 M 分有向线段 QP
的数量比
QM MP

。当 ? ? o 时,M 为内分点;当 ? ? o 且 ? ? ?1 时,M 为外分点;当 ? ? o 时,

点 M 与 Q 重合。 (三) 、直线的参数方程应用,强化理解。 1、例题: 学生练习,教师准对问题讲评。反思归纳:1、求直线参数方程的方法;2、利用直线参 数方程求交点。 2、巩固导练:
第 27 页 共 33 页

补充:1、直线 ? 为(A) A. 或
? 6
5? 6

? x ? t cos? ? x ? 4 ? 2 cos? (?为参数) 与圆 ? (?为参数) 相切,那么直线的倾斜角 ? y ? t sin? ? y ? 2 sin?

B.

? 3? 或 4 4

C.

? 2? 或 3 3

D. ?

? 5? 或? 6 6

? x ? 1 ? 2t , 2、(2009 广东理)(坐标系与参数方程选做题)若直线 l1 : ? (t为参数) 与直线 ? y ? 2 ? kt. ? x ? s, ( s 为参数)垂直,则 k ? . l2 : ? ? y ? 1 ? 2s. ? x ? 1 ? 2t , k 解:直线 l1 : ? (t为参数) 化为普通方程是 y ? 2 ? ? ( x ? 1) , 2 ? y ? 2 ? kt. k 该直线的斜率为 ? , 2 x ? s, ? 直线 l2 : ? ( s 为参数)化为普通方程是 y ? ?2 x ? 1 , ? y ? 1 ? 2s. 该直线的斜率为 ? 2 , ? k? 则由两直线垂直的充要条件,得 ? ? ? ? ?? 2? ? ?1 , k ? ?1 。 ? 2?
(四) 、小结: (1)直线参数方程求法; (2)直线参数方程的特点; (3)根据已知条件 和图形的几何性质,注意参数的意义。 (五) 、作业:

?x ? 1? t 补充: (2009 天津理)设直线 l1 的参数方程为 ? (t 为参数) ,直线 l2 的 ? y ? 1 ? 3t 方程为 y=3x+4 则 l1 与 l2 的距离为_______ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离,基础题。 | 4 ? 2 | 3 10 解析:由题直线 l1 的普通方程为 3 x ? y ? 2 ? 0 ,故它与与 l2 的距离为 。 ? 5 10 五、教学反思:

第 28 页 共 33 页

第六课时 一、教学目标:

参数方程与普通方程互化

知识与技能:掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 过程与方法:选取适当的参数化普通方程为参数方程 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:参数方程与普通方程的互化 教学难点:参数方程与普通方程的等价性 三、教学方法:启发、诱导发现教学. 四、教学过程: (一) 、复习引入: (1) 、圆的参数方程; (2) 、椭圆的参数方程; (3) 、直线的参数方程; (4) 、双曲线的参数方程。 (二) 、新课探究: 1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种: (1) 代入法:利用解方程的技巧求出参数 t,然后代入消去参数 (2) 三角法:利用三角恒等式消去参数 (3) 整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。 化参数方程为普通方程为 F ( x, y) ? 0 :在消参过程中注意变量 x 、 y 取值范围的一 致性,必须根据参数的取值范围,确定 f (t ) 和 g (t ) 值域得 x 、 y 的取值范围。 2、探析常见曲线的参数方程化为普通方程的方法,体会互化过程,归纳方法。

? x ? r cos? (1)圆 x 2 ? y 2 ? r 2 参数方程 ? ? y ? r sin ?

( ? 为参数) ( ? 为参数)

? x ? x0 ? r cos? (2)圆 ( x ? x0 ) 2 ? ( y \ y0 ) 2 ? r 2 参数方程为: ? ? y ? y 0 ? r sin ?
(3)椭圆
x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2

? x ? a cos? ( ? 为参数) ? y ? b sin ? ?

第 29 页 共 33 页

(4)双曲线

x2 y2 ? ? 1 参数方程 a2 b2

? x ? a sec? ( ? 为参数) ? ? y ? b tan?

? x ? 2 Pt 2 (5)抛物线 y 2 ? 2Px 参数方程 ? (t 为参数) ? y ? 2 Pt

(6)过定点 P( x0 , y0 ) 倾斜角为 ? 的直线的参数方程
? x ? x 0 ? t cos ? ? ? y ? y 0 ? t sin ?

( t 为参数)

3、理解参数方程与普通方程的区别于联系及互化要求。 (二) 、例题探析 例 1、将下列参数方程化为普通方程
? ? x ? t ? 2t (1) ? ?y ? t 2 ? 2 ?
2

? x ? sin ? ? cos? (2) ? ? y ? sin 2?
2 ? ?x ? 1 ? t 2 ? (4) ? ? y ? 2t ? 1? t2 ? 1 ? ? x ? 2(t ? t ) ? (5) ? ? y ? 3(t 2 ? 1 ) ? t2 ?

t ?1 ? ?x ? t ? 2 ? (3) ? ? y ? 2t ? t?2 ?

学生练习,教师准对问题讲评,反思归纳方法。 例 2 化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线。
?x ? 1 ? 2 t ? (1) ? ?y ? 3 ? 4 t ?
x? t 1 ? 2t 2 1 ? 2t 2 y? 1 ? 2t 2

(t 是参数)

(2)

x ? 2 cos? y ? cos 2?

( ? 是参数)

(3)

(t 是参数)

学生练习,教师准对问题讲评,反思归纳方法。 例 3、已知圆 O 半径为 1,P 是圆上动点,Q(4,0)是 x 轴上的定点,M 是 PQ 的中点, 当点 P 绕 O 作匀速圆周运动时,求点 M 的轨迹的参数方程。 学生练习,教师准对问题讲评,反思归纳方法。 (三) 、巩固导练:

第 30 页 共 33 页

1 ? ?x ? t ? 1、 (1)方程 ? t ?y ? 2 ?
A、一条直线 C、一条线段

表示的曲线(

) 。

B、两条射线 D、抛物线的一部分

(2)下列方程中,当方程 y 2 ? x 表示同一曲线的点
?x ? t A、 ? 2 ?y ? t

? x ? sin 2 t ? B、 ? ? y ? sin t ?

?x ? 1 ? 1 C、 ? ?y ? t

1 ? xos2t ? ?x ? D、 ? 1 ? cos2t ? y ? tant ?

? x ? 4 sin ? 2、P 是双曲线 ? (t 是参数)上任一点, F1 , F2 是该焦点: ? y ? 3 tan?
求△F1F2 的重心 G 的轨迹的普通方程。 3、 已知 P( x, y) 为圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 上任意一点,求 x ? y 的最大值和最小值。 (四) 、小结:本节课学习了以下内容:熟练理解和掌握把参数方程化为普通方程的几 种方法。抓住重点题目反思归纳方法,进一步深化理解。 (五) 、作业: 五、教学反思:

第 31 页 共 33 页

第七课时 一、教学目标:

圆的渐开线与摆线

知识与技能:了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程. 过程与方法:学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点: 圆的渐开线的参数方程,摆线的参数方程 教学难点: 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法 三、教学方法:讲练结合,启发、诱导发现教学. 四、教学过程: (一) 、复习引入:复习:圆的参数方程 (二) 、新课探析: 1、以基圆圆心 O 为原点,直线 OA 为 x 轴,建立平面直角坐标系,可得圆渐开线的

? x ? r (cos? ? ? sin ? ) 参数方程为 ? ? y ? r (sin ? ? ? cos? )

( ? 为参数)

6

5

4

3

D
2

j

C

1

x -10

-8

-6

-4

-2

O
-1

B

2

O'

4

6

8

-2

-3

-4

-5

-6

2、在研究平摆线的参数方程中,取定直线为 x 轴,定点 M 滚动时落在直线上的一个 位置为原点,建立直角坐标系,设圆的半径为 r,可得摆线的参数方程为。

? x ? r (? ? sin ? ) ? ? y ? r (1 ? cos? )

( ? 为参数)

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(三) 、例题与训练题: 例 1 求半径为 4 的圆的渐开线参数方程 变式训练 1 当? ?

?

? x ? cos? ? ? sin ? , ? 时,求圆渐开线 ? 2 ? y ? sin ? ? ? cos?

上对应点 A、B 坐标并

求出 A、B 间的距离。 变式训练 2
? ? ? x ? 2 (cost ? t sin t ) 求圆的渐开线 ? 上当 t ? 对应的点的直角坐标。 4 ? y ? 2 (sin t ? t cost ) ?

例 2 求半径为 2 的圆的摆线的参数方程

? x ? t ? sin t 变式训练 3: 求摆线 ? ? y ? 1 ? cost

0 ? t ? 2? 与直线 y ? 1 的交点的直角坐标

例 3、设圆的半径为 8,沿 x 轴正向滚动,开始时圆与 x 轴相切于原点 O,记圆上动点为 M 它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时 M 点的轨迹方程,画出相应曲线,求此 曲线上纵坐标 y 的最大值,说明该曲线的对称轴。 (四) 、小结:本节课学习了以下内容: 1. 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程; 2.探析圆的渐开线的参数方程,摆线的参数方程 3.会运用圆的渐开线的参数方程,摆线的参数方程求解简单问题。 (五) 、作业: 五、教学反思:

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