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江苏省盐城市2012—2013学年高一下学期期末数学试题


2012/2013 学年度第二学期期终调研考试 高一数学试题
注意事项: 1.本试卷考试时间为 120 分钟,试卷满分 160 分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分. 3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 4.第 19、20 题,请四星级高中学生选做(A) ,三星级高中与普

通高中学生选做(B) ,否则不 给分.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合 P ? ?1,2,3? , Q ? ?a, 4? ,若 P 2.函数 y ? 3sin( x ?

Q ? ?1? ,则 a =
▲ . ▲ . .





1 2

?
3

) 的最小正周期为

3.在等比数列 ?an ? 中,若 a2 ? 1, a5 ? 8 ,则 a3 = 4.直线 3x ? y ? 6 ? 0 的倾斜角的大小为 ▲

5.在 ?ABC 中,若 AB ? 3, ?B ? 45?, ?C ? 60? ,则 AC =



. ▲ ▲ ▲ . . C .

6.已知直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 与 l2 : mx ? (2 ? m) y ? 1 ? 0 平行,则实数 m ? 7.已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 7 ,则该正四棱锥的侧面积为 8.如图,在 ?ABC 中, ?A ? 90? , AB ? 3 , AC ? 4 ,则 CA ? CB = 9.设 f ( x) ? log2 x ,则 f (4 ) =
10



. A 第8题 B

10.已知 m, n 是两条不重合的直线, ? , ? 是两个不重合的平面. ①若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? ; ③若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n ; 上述命题中为真命题的是 ▲ ②若 ? ? ? , ?

? ? n , m ? ? ,则 m ? n ; ? ? n ,则 m // n .

④若 m // ? , m ? ? , ?

(填写所有真命题的序号) . ▲ .

11.若方程 ln x ? 3 ? x 的解在区间 (a ? 1, a)(a ? Z ) 内,则 a =

高一数学试题 第 1 页(共 4 页)

12.若函数 f ( x) ? x? | x ? a | 的最小值为 3a ? 2 ,则实数 a 的值为 13.已知数列 ?an ? 为等差数列,若



. ▲ 项.

a9 ? 1 ? 0 ,则数列 ?| an |? 的最小项是第 a8

14.在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 x ? 则 b 的取值范围是 ▲ .

4 ? y 2 上恰好有三个点到直线 y ? x ? b 的距离为 1,

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

? 底面 ABC , AC 在斜三棱柱 ABC ? A ? C1C , E , F 分别是 1 B 1C 1 中,已知侧面 ACC1 A 1 1

AC 1 1 A 1B 1 的中点. (1)求证: EF // 平面 BB1C1C ; (2)求证:平面 ECF ? 平面 ABC .

A1 F

E B1

C1

A B 第 15 题

C

16. (本小题满分14分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,设 m ? ( 3,1) , n ? (1 ? cos A,sin A) . (1)当 A ? 时,求 | n | 的值; 3 (2) 若 a ? 1, c ? 3 ,当 m ? n 取最大值时,求 b .

?

高一数学试题 第 2 页(共 4 页)

17. (本小题满分14分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 经过 A(2, ?2) , B(1,1) 两点,且圆心在直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 上. (1)求圆 C 的标准方程; (2) 设直线 l 与圆 C 相交于 P, Q 两点, 坐标原点 O 到直线 l 的距离为 求直线 l 的方程.

1 2 , 且 ?P O Q 的面积为 , 5 5
y B · O ·A x

第 17 题

18. (本小题满分16分) 根据国际公法, 外国船只不得进入离我国海岸线 12 海里以内的区域 (此为我国领海, 含分界线) . 若外国船只进入我国领海,我方将向其发出警告令其退出. 如图,已知直线 AB 为海岸线, A, B 是相距 12 海里的两个观测站,现发现一外国船只航行于点 P 处,此时我方测得 ?BAP ? ? , ?ABP ? ? ( 0 ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? ). (1)试问当 ? ? 30 , ? ? 120 时,我方是否应向该外国船只发出警告?
? ?

(2)若 tan ? ?

1 ,则当 ? 在什么范围内时,我方应向该外国船只发出警告? 2

P

?
A

?
B
第 18 题

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19. (本小题满分16分) (A) (四星级高中学生做) 15 前 4 项的和为 . 2

已知数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 d 的等差数列;数列 ?bn ? 是公比为 2 的等比数列,且 ?bn ? 的

(1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若 d ? 3 ,求数列 ?an ? 中满足 b8 ? ai ? b9 (i ? N * ) 的所有项 ai 的和; (3)设数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn ,若 c5 是数列 ?cn ? 中的最大项,求公差 d 的取值范围. (B) (三星级高中及普通高中学生做) 15 前 4 项的和为 . 2 (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若 d ? 3 ,求数列 ?an ? 中满足 b8 ? ai ? b9 (i ? N * ) 的所有项 ai 的和; 取值范围. (3)设数列 ?cn ? 满足 cn ? an ? bn , 数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,若 Tn 的最大值为 T5 ,求公差 d 的

已知数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 d 的等差数列;数列 ?bn ? 是公比为 2 的等比数列,且 ?bn ? 的

20. (本小题满分16分) (A) (四星级高中学生做) (1)求证:函数 f ( x) ? 2 ? 2 在 [0, ??) 上是单调递增函数;
x ?x

(2)求函数 f ( x) ? 2 ? 2 ( x ? R) 的值域;
x

?x

(3)设函数 g ( x) ?

4x ? 2x?k ? 1 ,若对任意的实数 x1 , x2 , x3 ,都有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g ( x3 ) ,求 4 x ? 2 x ?1 ? 1

实数 k 的取值范围. (B) (三星级高中及普通高中学生做) (1)求证:函数 f ( x) ? 2x ? 2? x 在 [0, ??) 上是单调递增函数; (2)求函数 f ( x) ? 2x ? 2? x ( x ? R) 的值域; (3)设函数 h( x) ? 4 ? 4
x ?x

? a(2x ? 2? x )(a ? R) ,求 h( x) 的最小值 ? (a) .

高一数学试题 第 4 页(共 4 页)

2012/2013 学年度第二学期期终调研考试

高一数学参考答案
一、填空题:每小题 5 分,共计 70 分. 1.1 8.16 2. 4? 9.20 3. 2 10.①④ 4.120°( 11.3

2? ) 3
12. -1

5. 2 13.8

6.

2 3

7.48

14.(? 2, 2 ? 2]

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.证明:(1)在 ?A ……4 分 1B 1C1 中,因为 E , F 分别是 AC 1C1 , 1 1, A 1B 1 的中点,所以 EF // B 又 EF ? 面 BB1C1C , B1C1 ? 面 BB1C1C ,所以 EF // 平面 BB1C1C . (2)因为 AC ? C1C ,且 E 是 A1C1 的中点,所以 EC ? A1C1 ,故 EC ? AC , 1 又侧面 ACC1 A1 ? 底面 ABC , 且 EC ? 侧面 ACC1 A1 , 所以 EC ? 底面 ABC . …………11 分 又 EC ? 面 ECF , 所以面 ECF ? 面 ABC . 16.解: (1)当 A ? …………14 分 …………3 分 …………6 分 …………7 分

?
3

时, n ? ( ,

3 3 ), 2 2

所以 | n |? ( )2 ? (

3 2

3 2 ) ? 3. 2

(2)因为 m ? n ? 3(1 ? cos A) ? sin A ? 2sin( A ? 所以当 m ? n 取最大值时, A ?

?
3

)? 3 ,
…………10 分

?
6

.
2

又 a ? 1, c ? 3 ,则由余弦定理得 1 ? b ? 3 ? 2b ? 3 ? cos 解之得 b ? 2 或 b ? 1 .

?
6

? b 2 ? 3 ? 3b ,
…………14 分

17.解:(1)因为 A(2, ?2) , B(1,1) ,所以 k AB ? ?3 ,AB 的中点为 ( , ? ) , 故线段 AB 的垂直平分线的方程为 y ? 由?

3 2

1 2

1 1 3 ? ( x ? ) ,即 x ? 3 y ? 3 ? 0 , 2 3 2
…………4 分 …………6 分 …………7 分

? x ? 3y ? 3 ? 0 ,解得圆心坐标为 (0, ?1) . x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
2 2 2 2 2

所以半径 r 满足 r ? 1 ? (?1 ?1) ? 5 . 故圆 C 的标准方程为 x ? ( y ? 1) ? 5 . (2)因为 S ?OPQ ?

1 1 2 ? PQ ? ? ,所以 PQ ? 4 . 2 5 5
高一数学试题 第 5 页(共 4 页)

①当直线 l 与 x 轴垂直时,由坐标原点 O 到直线 l 的距离为 或 x ? ? ,经验证,此时 PQ ? 4 ,不适合题意;

1 1 知,直线 l 的方程为 x ? 5 5
…………9 分

1 5 ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? b , |b| 1 由坐标原点到直线 l 的距离为 d1 ? ? ,得 k 2 ? 1 ? 25b2 k 2 ?1 5
又圆心到直线 l 的距离为 d 2 ? 即 (1 ? b)2 ? k 2 ? 1

(*) ,

…………11 分

|1 ? b | k 2 ?1

,所以 PQ ? 2 5 ? d2 2 ? 2 5 ?

(1 ? b)2 ?4, k 2 ?1
…………13 分

(**) ,

3 ? k?? ? ? 4 由(*) , (**)解得 ? . ? b?1 ? ? 4 综上所述,直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 1 ? 0 或 3x ? 4 y ? 1 ? 0 .
18.解: (1)如图:过 P 作 PH 垂直 AB 于 H,因为 ? ? 30 , ? ? 120 ,
? ?

…………14 分

所以 ?APB ? 30 ,所以 AB=PB=12,
?

…………4 分 …………7 分

所以 PH=AB sin 60 ? 6 3 ? 12 , 所以应向该外国船只发出警告.
?

P

(2)在 ?ABP 中,由正弦定理得:

AB PB ? , sin ?? ? ? ? ? ? sin ?

12sin ? 所以 PB ? , sin ?? ? ? ? ? ?
所以 PH ? PB ? sin ?? ? ? ? ? 令 PH ? 12 ,得

?
A

?
B H

12sin ? sin ? 12sin ? sin ? ? , sin ?? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?

…………10 分

12sin ? sin ? ? 12 ,即 sin ? sin ? ? sin?? ? ? ? , sin ?? ? ? ? 所以 sin ? sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ,
1 5 2 5 ,所以 ? 为锐角,且 sin ? ? , , cos ? ? 2 5 5 5 5 2 5 所以 sin ? ? cos ? ? sin ? ,即 sin ? ? ?cos ? , 5 5 5 ? 3? 故 sin ? ? cos ? ? 0 ,即 2 sin( ? ? ) ? 0 ,解得 0 ? ? ? , 4 4 3? 所以当 0 ? ? ? 时,我方应向该外国船只发出警告. 4
又因为 tan ? ? 19. (A) (四星级高中学生做) 15 解:(1)因为 ?bn ? 是公比为 2 的等比数列,且其前 4 项的和为 , 2 高一数学试题 第 6 页(共 4 页)

…………12 分

…………14 分

…………16 分

所以 b1 (1 ? 2 ? 4 ? 8) ? 所以 bn ?

15 1 ,解得 b1 ? , 2 2

…………2 分 …………4 分

1 n ?1 ? 2 ? 2n ? 2 . 2 (2)因为数列 ?an ? 是首项为 1,公差 d ? 3 的等差数列,所以 an ? 3n ? 2 ,
由 b8 ? ai ? b9 ,得 2 ? 3i ? 2 ? 2 ,解得 22 ? i ? 43 ,
6 7

…………6 分

所以满足 b8 ? ai ? b9 的所有项 ai 为 a22 , a23 , ???, a43 , 这是首项为 a22 ? 64 , 公差为 3 的等差数列,

22 ? 21 ? 3 ? 2101 . 2 (3)由题意,得 cn ? an ? bn ? [1 ? (n ?1)d ]? 2n?2 ,
共 43-22+1=22 项,故其和为 64 ? 22 ? 因为 c5 是 ?cn ? 的最大项,所以首先有 c5 ? c4 且 c5 ? c6 , 即 (1 ? 4d ) ? 23 ? (1 ? 3d ) ? 22 且 (1 ? 4d ) ? 23 ? (1 ? 5d ) ? 24 , 解得 ?

…………9 分

1 1 ?d ?? . 5 6

…………12 分

1 1 ? d ? ? 的条件下, c5 ? [1 ? 4d ]? 23 ? 0 , 5 6 但 n ? 7 时, cn ? [1 ? (n ?1)d ] ? 2n?2 ? 0 ,所以此时 c5 是最大的;
① 当 n ? 4 时,在 ?

…………14 分

15 ? d ?? ? 1 ? 64 ? 2 ? 8(1 ? 4d ), ? c1 ? c5 , ? ? 7 ? ? ②当 n ? 3 时,由 ? c2 ? c5 , ,得 ? 1 ? d ? 8(1 ? 4d ), ,解得 ? d ? ? . 31 ? ?c ? c ?2(1 ? 2d ) ? 8(1 ? 4d ) 5 ? 3 3 ? ? ? ? d ? ? 14 ? 1 1 综合①②,所求的公差 d 的取值范围是 ? ? d ? ? . 5 6
(B) (三星级高中及普通高中学生做) 解: (1) (2)同(A)

…………16 分

(3)因为 bn ? 2n?1 ? 0 ,若 d ? 0 ,则 an ? 0 ,所以 cn ? an ? bn ? 0 ,此时 Tn 无最大项, 所以 d ? 0 , …………12 分 …………14 分 又 an ? 1 ? (n ? 1)d ,所以 ? 此时 ?an ? 单调递减,欲 Tn 的最大项为 T5 ,则必有 c5 ? 0, c6 ? 0 ,即 a5 ? 0, a6 ? 0 ,

?1 ? 4d ? 0, 1 1 ,解得 ? ? d ? ? . 4 5 ? 1 ? 5d ? 0

…………16 分

20. (A) (四星级高中学生做) 解: (1)证明:设 x1 , x2 ?[0, ??) ,且 x1 ? x2 , 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2 1 ? 2
x ? x1

) ? (2 x2 ? 2? x2 ) ? (2 x1 ? 2 x2 ) ? (

1 1 ? x2 ) x1 2 2

高一数学试题 第 7 页(共 4 页)

? (2 x1 ? 2 x2 ) ?
因为 2 1
x ? x2

2 x2 ? 2 x1 (2 x1 ? 2 x2 )(2 x1 ? x2 ? 1) ? , 2 x1 ? x2 2 x1 ? x2 ? 0, 2x1 ? 2x2 ? 0, 2x1 ? x2 ?1 ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,

…………3分

所以 f ( x) ? 2x ? 2? x 在 [0, ??) 上是单调递增函数. (2)由(1)知,当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? [ f (0), ??) ,即 f ( x) ? [2, ??) , 又因为 f (? x) ? 2
?x x

…………5分 …………7分

? 2 ? f ( x) ,所以 f ( x) 是偶函数, 所以当 x ? R 时, f ( x ) 的值域为 [2, ??) . …………9分 (3)因为对任意的实数 x1 , x2 , x3 ,都有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g ( x3 ) ,所以 [2 g ( x)]min ? [ g ( x)]max ,
…………11分

4 ? 2 ?1 2 ? 2 ? 2 x ?x ? x ,令 2 ? 2 ? t , x x ?1 ?x 4 ? 2 ?1 2 ? 2 ? 2 t ? 2k 2k ? 2 ? 1? (t≥2) , 则 g ( x) ? r (t ) ? t?2 t?2 ①当 k ? 1 时, r (t ) ? 1 ,适合题意;
由于 g ( x) ?
x x k

x?k

?x

…………12分 …………14 分

2 ?2 2 ?2 ≤r (t ) ? 1 ,由 2 ? ≥1 ,得 k ? 1 ; 4 4 2k ? 2 2k ? 2 ≥ ③当 k ? 1 时, 1 ? r (t )≤ ,由 2 ?1 ,得 1 ? k≤log2 6 . 4 4 综上,实数 k 的取值范围为 (??,log 2 6] .
②当 k ? 1 时,
k k

…………16 分

(B) (三星级高中及普通高中学生做) 解: (1) (2)同(A) ; (3)因为 h( x) ? (2x ? 2? x )2 ? a(2x ? 2? x ) ? 2 ,令 2 ? 2
x ?x

?t ,
…………11分

则 h( x) ? m(t ) ? t ? at ? 2, t ?[2, ??) ,
2

a ,所以 2 a a a2 ?2, ①当 ? ? 2 ,即 a ? ?4 时, ? (a ) ? m(? ) ? ? 2 2 4 a ②当 ? ? 2 ,即 a ? ?4 时, ? (a) ? m(2) ? 2a ? 2 , 2 ? a2 ?? ? 2, a ? ?4 综上所述, ? (a) ? ? 4 . ? 2a ? 2, a ? ?4 ?
因为函数 m(t ) 的对称轴方程为 t ? ?

…………13分 …………15分

…………16分

高一数学试题 第 8 页(共 4 页)


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