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椭圆中焦点三角形的性质


椭圆中焦点三角形的性质及应用

定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三 角形。 性 质 一 : 已知椭 圆 方 程 为 设焦点三角形 PF
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ?

0 ),

两焦 点 分 别 为
2

F1 , F 2 ,

F2 1
2

中 ? F1 PF 2
? PF
2 2

? ? , 则 S ? F1 PF 2 ? b tan
cos ?

?
2



? (2c)

? F1 F 2

2

? PF 1
2

? 2 PF 1 PF

2

? ( PF 1 ? PF 2 ) ? 2 PF 1 PF 2 (1 ? cos ? )
? PF 1 PF ? ( PF 1 ? PF
2

) ? 4c
2

2

2

2 (1 ? cos ? )
b
2

?

4a

2

? 4c

2

2 (1 ? cos ? )
2

?

2b

2

1 ? cos ?

? S ?F PF ?
1 2

1 2

P F1 P F 2 s in ? ?
2 2

1 ? cos ?
y b
2 2

s in ? ? b ta n

?
2

性质二: 已知椭圆方程为 x
a

?

? 1( a ? b ? 0 ),

左右两焦点分别为

F1 , F 2 ,

设焦点三角形 PF

1

F2

,若 ? F PF 最大,则点 P 为椭圆短轴
1 2

的端点。 证明:设 P ( x
1 2
o

, yo )

,由焦半径公式可知: PF
? PF 1
2

1

? a ? ex o
2

, PF

1

? a ? ex o

在 ? F PF 中,cos ?

? PF 1

2

? F1 F 2
2

2

?

( PF 1 ? PF

2

) ? 2 PF 1 PF
2

2

? 4c

2

2 PF 1 PF

2 PF 1 PF
2

?

4a

2

? 4c

?1 ?
2

4b

2

2 PF 1 PF
2b a
2 2 2 2

2 ( a ? ex o )( a ? ex o )

?1

=

? e xo

?1

? ?a ? x0 ? a

? 0 ? xo ? a
2 2 2 2 0

2

2

?

a

2

? e a
2

2

? a

? e x
2 2 2

? a 即b
2b b
2 2

2

2

? a
2

2

? e x

2

2 0

? a

2

?

2b a

2

? 1 ?

2b a
2

? e xo

? 1 ?

? 1 即 2b
a

2

? 1 ? c o sθ ? 1

当 c o sθ

?

2b a

2

2

? 1

即 x 0 ? 0 时, ? F PF 最大,此时点 P 为椭圆
1 2

短轴的端点。 性 质 三 :已 知椭 圆 方 程 为
F1 , F 2 ,
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ),

两焦 点 分 别 为
2

设焦点三角形 PF

1

F2

中 ? F PF
1

2

??,

则 cos ?
1 2

? 1 ? 2e .

证明: PF 1 ? r1 , PF 设

2

? r 2 , 则在 ? F PF 中, 由余弦定理得:

cos ? ?

r1 ? r 2 ? F 1 F 2
2 2

2

?

( r1 ? r 2 ) ? 2 r1 r 2 ? 4 c
2

2

?

2a

2

? 2c

2

?1

2 r1 r 2

2 r1 r 2

2 r1 r 2
2

?

2a 2(

2

? 2c

2

r1 ? r 2 2

?1 ?
2

2a

2

? 2c
2

2

? 1 ? 1 ? 2e .

)

2a

命题得证。

(2000 年高考题) 已知椭圆 x
a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的两焦点分别为

F1 , F 2 ,

若椭圆上存在一点 P , 使得 ? F PF
1

2

? 120

0

,

求椭圆的离心率

e
? 1 2

的取值范围。
cos 120
0

简解:由椭圆焦点三角形性质可知
? 1 ? 2e
2

? 1 ? 2e .
2



,

于是得到 e 的取值范围是 ?
性质四:已知椭圆方程为
x a
2 2

?

? ,1 ? . ? ? 2 ? 3

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ), 两焦点分别为 F 1 , F 2 , 设焦点三角形

PF 1 F 2 , ? PF 1 F 2 ? ? , ? PF 2 F1 ?

? , 则椭圆的离心率 e ?

sin( ? ? ? ) sin ? ? sin ?


证明: ? PF 1 F 2

? ? , ? PF 2 F1 ? ? ,
F 1F 2 sin( 180
o

由正弦定理得: 由等比定理得: 而
F 1F 2 sin( ? ? ? ) ? 2c sin( ? ? ? ) F 1F 2 sin( ? ? ? ) ?

?? ? ?)
? PF

?

PF

2

sin ?

?

PF

1

sin ?

PF

1

2

sin ? ? sin ? ? PF 2a sin ? ? sin ?



PF

1

2

sin ? ? sin ?

?

∴e ?

c a

?

sin( ? ? ? ) sin ? ? sin ?



例:已知椭圆的焦点是 F1(-1,0)、F2(1,0),P 为椭 圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项. (1)求椭圆的方程; (2)若点 P 在第三象限, 且∠PF1F2=120°, tanF1PF2. 求

解:(1)由题设 2|F1F2|=|PF1|+|PF2| ∴2a=4,又 2c=2,∴b=
x
2

3

∴椭圆的方程为

?

y

2

=1.

4

3

(2)设∠F1PF2=θ ,则∠PF2F1=60°-θ
?













e ?

1 2



1 2


?

sin( 180 sin 120
o

o

??)
o

? sin( 60

??)

? 3 2

sin ? ? sin( 60
o

??)

整理得:5sinθ = ∴
sin ? 1 ? cos ? ? 3 5

3

(1+cosθ )
2? 1? 3 5 3 5 ? 3 11 25

故 tan

?
2

?

3 5

,tanF1PF2=tanθ =



例: . P 为椭圆
? P F1 F2 ? 7 5
x a
0
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

上一点, 两焦点分别为 F

1

, F2 ,

如果

, ? PF F

2 1

? 15
3 2

0

,则椭圆的离心率为( C.
2 3



A.

2 2

B.

D.

6 3


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