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2.2.4面面平行性质


复习回顾: 复习回顾:

1. 直线与平面平行的判定定理 .

a ? α , b ? α , a // b ? a // α

2. 平面与平面平行的判定定理 . a ? α , b ? α , a ∩ b = P , a // β , b // β ? α // β 3. 直线与平面平行的性质定理 .
一条直线与一个平面平行, 条直线的任一 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一 一个平面平行 平面与此平面的交线与该直线平行。 平面与此平面的交线与该直线平行。 交线与该直线平行

a // α , a ? β , α ∩ β = b ? a // b

课堂练习: 课堂练习:
A 存在一条直线 a, a // α , a // β C 存在两条平行直线 a, b , 1、可以作为平面 α // 平面 β 条件的是( ) 条件的是(

B 存在一条直线 a, a ? α , a // β

a ? α , b ? β , a // β , b // α D 存在两条异面直线 a, b , a ? α , b ? β , a // β , b // α

2、 a, b, c 是三条不重合的直线, α , β , γ 是三个不 、
重合的平面。现给出以下六个命题: 重合的平面。现给出以下六个命题:

① a // c, b // c ? a // b ; ② a // γ , b // γ ? a // b ; ③ α // c, β // c ? α // β ; ⑤ α // c, b // c ? b // α ;
其中正确的命题是

④ α // γ , β // γ ? α // β ;

⑥ a // γ , α // γ ? a // α 。
(把你认为正确的都填上) 把你认为正确的都填上)

练习: 练习: 已知: 已知: a ? α,b ? β , α ∩ β =l ,且 a // b 且 求证: 求证: a // l,b // l
β
b l

α

a

例 2、如图,已知 A, B, C , D 四点不共面, 如图, 四点不共面,

AD ∩ α = F , BD ∩ α = G , BC ∩ α = H 。 求证: 是一个平行四边形; (1)求证: EFGH 是一个平行四边形; (2)若 AB = CD = a , 的周长。 试求四边形 EFGH 的周长。

且 AB // 平面 α ,CD // 平面 α ,AC ∩ α = E ,

练习: 练习:
如图, 如图,四面体 ABCD 的截面 EFGH, , 并且 AC//平面 EFGH,BD//平面 EFGH, 平面 , 平面 , 求证: 求证:EFGH 是平行四边形
A E B F C G H D

变式:若 EFGH 是平行四边形
成立吗? 请问 AC//平面 EFGH 成立吗? 平面

思考: 思考:
如图,一块木料中, 如图,一块木料中,棱 BC 平行于面 A′C ′ 。 将木料锯开,应怎样画线? (1) 要经过面 A′C ′ 内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开,应怎样画线? ) 是什么位置关系? (2) 所画的线与平面 AC 是什么位置关系? )

线面平行 线线平行 线线平行 线面平行
a

如果两个平面平行, 如果两个平面平行, 两个平面平行 那么其中一个平面内的直 其中一个平面 那么其中一个平面 内的直 另一平面平行 平面平行。 线与另一平面平行。

α // β , a ? α ? a // β

平面与平面平行的性质定理: 平面与平面平行的性质定理: 与平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平 面相交,那么它们的交线平行 平行。 面相交,那么它们的交线平行。

符号语言: 符号语言:

图形语言: 图形语言:
γ
b a

α // β ? ? α ∩ γ = a ? ? a // b β ∩ γ = b? ?

β

α

例 1、 、 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等。 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等。
已知: 已知: α // β , AB // CD ,且 且 A ∈α , C ∈α , B ∈ β , D ∈ β 求证: AB = CD 求证:
α
A C

β

B

γ

D

线线平行

线面平行

面面平行

点 P 的直线 m 与 α , β 分别交于 A, C ,

课堂练习 1、 外一点, 已知平面 α // β , P 是 α , β 外一点,过

过 点 P 的 直 线 n 与 α, β 分 别 交 于

B, D ,且 PA = 6, AC = 9, PD = 8 , 则 BD 的长为 。

2、如图,在棱长为 2cm 的正方体 AC1 中, A1 B1 如图, 的中点为 P 。问过点 A1 作与截面 PBC1 平行 的截面也是三角形吗?并求该截面的面积。 的截面也是三角形吗?并求该截面的面积。
D1 A1
P

C1
B1

D
A B

C

随堂检测: 随堂检测: 是平行四边形, 已知 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点, 的中点, 外一点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G, 过 G 和 AP 的平面交平面 BDM 于 GH, 求证: 求证:AP∥GH


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