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高中数学竞赛——平面几何


高中数学竞赛——平面几何
(叶中豪)

知识要点
几何变换及相似理论 位似及其应用 复数与几何
(1) 复数的意义及运算 (2) 复数与复平面上的点一一对应 (3) 复数与向量 (4) 定比分点 (5) 重心和加权重心,三角形的特殊点 (6) 面积 (7) 90°旋转与正方形 (8) 相似与复数乘法的几何解释 (9) 三次单位根与

正三角形

例题和习题
1. (Sylvester)已知 P 是△ABC 所在平面上任一点。求证: PA ? PB ? PC ? 3PG ,其中 G 是△ABC 的重心。 2. ( Lami 定理 )已知 P 是△ABC 所在平面上任一点, P 点对于△ABC 的重心坐标为

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ?1 : ?2 : ?3 。求证: ?1 PA ? ?2 PB ? ?3 PC ? 0 。
3. (Gergonne)(1)四边形的两组对边中点连线及两条对角的中点连线共点; (2)六边形相 间的两组中点所构成的三角形的重心重合。 4. (von Aubel)以任意四边形的各边向形外作正方形,则相对两正方形的中心连线互相垂 直。 5.以△ABC 的 AB、AC 两边为直角边,向两侧作等腰直角三角形 ABD 和 ACE,使∠ABD =∠ACE=90°。求证线段 DE 的中点的位置与顶点 A 的位置无关。 6 . 已 知 △ ABC , 在 给 定 线 段 MN 的 同 侧 作 三 个 彼 此 相 似 的 三 角 形 , 使 得 △A′MN∽△NB′M∽△MN C′∽△ABC。求证:△A′B′C′∽△ABC。

1

7. (1)如图,在已知△ABC 的周围作三个相似三角形:△DBC∽△ECA∽△FAB。求证: AFDE 是平行四边形。

F

A

D

E C

B

(2) 如图, 在四边形 ABCD 周围作四个相似三角形: △EAB∽△FCB∽△GCD∽△HAD。 求证:EFGH 是平行四边形。

D A E H G F B C

8.在△ABC 的外围作三个相似三角形:△DCB∽△EAC∽△FBA。求证:△DEF 的重心 是定点。 9.若在四边形 ABCD 内存在一点 P,使得△PAB、△PBC 都是以 P 为直角顶点的等腰直角 三角形。求证:必存在另一点 Q,使得△QBC、△QDA 也都是以 Q 为直角顶点的等腰 直角三角形。 10. (上海市高中竞赛 )设△ABC 是锐角三角形。在△ABC 外分别作等腰直角三角形: △BCD、△ABE、△CAF,这三个三角形中,∠BDC、∠BAE、∠CFA 是直角。又在 四边形 BCFE 形外作等腰直角三角形△EFG, ∠EFG 是直角。 求证: (1) GA= 2 AD; (2)∠GAD=135°。 11. (第 17 届 IMO)已知任意△ABC,在其外部作△ABR、△BCP、△CAQ,使得 ∠PBC=∠CAQ=45°, ∠BCP=∠QCA=30°, ∠RBA=∠RAB=15°。 求证: (1)∠QRP=90°; (2)QR=RP。 12.在复平面上,△ABC 是正三角形的充要条件: (1) A ? B? ? C? ? 0 或 A ? B? ? C? ? 0 ;
2 2

(2) A ? B ? C ? BC ? CA ? AB ;
2 2 2

(3)

1 1 1 ? ? ? 0。 A? B B ?C C ? A
2

13. (拿破仑定理) (1)在任意三角形周围同时向外或向内作正三角形,则三个正三角形的 中心仍构成正三角形; (2)外、内两正三角形的面积差等于原三角形的面积。 14. (1941 年匈牙利数学竞赛题)六边形 ABCDEF 内接于一圆,它的边 AB,CD,EF 等于 圆的半径。求证:六边形 ABCDEF 的其它三边的中点是正三角形的顶点。 15.已知四边形 ABCD 中,∠B=∠D=30°,自 A 作 AM⊥BC 于 M,自 A 作 AN⊥CD 于 N,且 L 是 BD 中点。求证:△LMN 是正三角形。
A D L B M N C

16. 如图, 已知△ABC 是正三角形, D 是形内任意一点, 作等腰 Rt△BDE 和等腰 Rt△CDF, 并以 EF 为底向下方作底角为 30°的等腰三角形 GEF。求证:A、G、D 三点共线。
E A F G

D B C

17.设 D 是△ABC 内的一点,满足∠DAC=∠DCA=30°,∠DBA=60°,E 是 BC 边的 中点,F 是 AC 边的三等分点,满足 AF=2FC.求证:DE⊥EF。 (2007 年女子竞赛)
A
30°

F

60°

D
30°

B

E

C

18.在△ABC 的外围作三个正三角形:△DBC、△ECA、△FAB。若△DEF 是正三角形, 求证△ABC 也是正三角形。 19.在△ABC 的外围作三个相似三角形:△DCB∽△EAC∽△FBA。若△DEF 是正三角形, 求证:要么△ABC 是正三角形,要么△DCB、△EAC、△FBA 同时是以 120°为顶角 的等腰三角形。

3

20.设点 P 是正奇数边形 A1A2…A2n+1。的外接圆的弧 ? A1 A2 n ?1 上。 求证:

?
k ?0

n

PA2 k ?1 ? ? PA2 k 。
k ?0

n

21.在平面上任意给定 n 个点 P1,P2,…,Pn。求证:在单位圆上存在一点 A,满足:

? AP
k ?1

n

k

?1。

4


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