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湖北省武汉市江岸区2015-2016学年八年级(上)期末数学试卷(解析版)


2015-2016 学年武汉市江岸区八年级(上)期末数学试卷
一、选择题 1.下列各图中,不是轴对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

2.给出下列式子: 、 A.5 个 3.分式 A.x≠2 B.4 个



、 + 、9x+ C.3 个 ) C.x=2 ) C.

,其中,是分式的有( D.2 个



有意义,则 x 的取值范围是( B.x≠﹣2

D.x=﹣2

4.下列分式从左至右的变形正确的是( A. B.

D. ) D.﹣2 ) D. )

5.若 x+m 与 x+2 的乘积中不含 x 的一次项,则 m 的值为( A.2 B.1 C.0

6.下列各式可以写成完全平方式的多项式有( A.x2+xy+y2 B.x2﹣xy+

C.x2+2xy+4y2

7.边长分别为 a 和 2a 的两个正方形按如图的样式摆放并连线,则图中阴影部分的面积为(

A.3a2

B.

C.2a2 的值为( C.1 )

D.

8.若 xy﹣x+y=0 且 xy≠0,则分式 A. B.xy

D.﹣1

9.某次列车平均提速 v 千米/小时,用相同的时间,列车提速前行驶 s 千米,提速后比提速前多行 驶 50 千米,设提速前列车的平均速度为 x 千米/小时,下列方程不正确的是( A. B.x+v= C. D. )

10.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,∠A=20°,AB 上一点 D 使 AD=BC,过点 D 作 DE∥BC 且 DE=AB, 连接 EC,则∠DCE 的度数为( )

A.80°

B.70°

C.60°

D.45°

二、填空题 11.(﹣2x2)2= . .

12.一种病毒的直径为 0.000023m,这个数用科学记数法表示为 13.如果分式 的值为零,则 x= . .

14.若 x2+2(m﹣3)x+16=(x+n)2,则 m=

15.如图,△ABC 中,AC=BC,AB=4,∠ACB=90°,以 AB 的中点 D 为圆心 DC 长为半径作 圆 DEF, 设∠BDF=α(0°<α<90°),当 α 变化时图中阴影部分的面积为 的面积= ) ( 圆:∠EDF=90°, 圆

16.已知△ABD≌△CDB,AD=BD,BE⊥AD 于 E,∠EBD=20°,则∠CDE 的度数为



三、解答题 17.分解因式: (1)12x2﹣3y2 (2)3ax2﹣6axy+3ay2. 18.解方程: = .

19.求值:x2(x﹣1)﹣x(x2+x﹣1),其中 x= . 20.如图:在 4×4 的网格中存在线段 AB,每格表示一个单位长度,并构建了平面直角坐标系.

(1)直接写出点 A、B 的坐标:A(



),B(



); 三角形(判断其形状);

(2)请在图中确定点 C(1,﹣2)的位置并连接 AC、BC,则△ABC 是

(3)在现在的网格中(包括网格的边界)存在一点 P,点 P 的横纵坐标为整数,连接 PA、PB 后得 到△PAB 为等腰三角形,则满足条件的点 P 有 个.

21.若 x2+y2=5,xy=2,求下列各式的值; (1)(x+y)2= (2)x﹣y (3) = (直接写出结果) (直接写出结果)

22.小明用 a 小时清点完一批图书的一半,小强加入清点另一半图书的工作,两人合作 小时清点 完另一半图书.设小强单独清点完这批图书需要 x 小时. (1)若 a=3,求小强单独清点完这批图书需要的时间. (2)请用含 a 的代数式表示 x,并说明 a 满足什么条件时 x 的值符合实际意义.

23.已知在△ABC 中,AB=AC,射线 BM、BN 在∠ABC 内部,分别交线段 AC 于点 G、H. (1)如图 1,若∠ABC=60°、∠MBN=30°,作 AE⊥BN 于点 D,分别交 BC、BM 于点 E、F.

①求证:CE=AG; ②若 BF=2AF,连接 CF,求∠CFE 的度数; (2) 如图 2, 点 E 为 BC 上一点, AE 交 BM 于点 F, 连接 CF, 若∠BFE=∠BAC=2∠CFE, 直接写出 = .

24.在平面直角坐标系中,点 A(0,a)、B(b,0)且 a>|b|. (1)若 a、b 满足 a2+b2﹣4a﹣2b+5=0. ①求 a、b 的值; ②如图 1,在①的条件下,将点 B 在 x 轴上平移,且 b 满足:0<b<2;在第一象限内以 AB 为斜边 作等腰 Rt△ABC,请用 b 表示 S 四边形 AOBC,并写出解答过程. (2)若将线段 AB 沿 x 轴向正方向移动 a 个单位得到线段 DE(D 对应 A,E 对应 B)连接 DO,作 EF ⊥DO 于 F,连接 AF、BF. ①如图 2,判断 AF 与 BF 的关系并说明理由; ②若 BF=OA﹣OB,则∠OAF= (直接写出结果).

2015-2016 学年湖北省武汉市江岸区八年级(上)期末数学试 卷
参考答案与试题解析

一、选择题 1.下列各图中,不是轴对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念求解. 【解答】解:A、是轴对称图形,故错误; B、是轴对称图形,故错误; C、不是轴对称图形,故正确; D、是轴对称图形,故错误. 故选 C. 【点评】本题考查了轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折 叠后可重合.

2.给出下列式子: 、



、 + 、9x+

,其中,是分式的有(



A.5 个 【考点】分式的定义.

B.4 个

C.3 个

D.2 个

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不 是分式. 【解答】解: 、 + 的分母中均不含有字母,因此它们是整式,而不是分式.



、9x+

,分母中含有字母,因此是分式.

故选 C. 【点评】本题主要考查分式的定义.在解答此题时要注意分式是形式定义,只要是分母中含有未知 数的式子即为分式.

3.(2012?宜昌模拟)分式 A.x≠2

有意义,则 x 的取值范围是( C.x=2

) D.x=﹣2

B.x≠﹣2

【考点】分式有意义的条件. 【分析】根据分式有意义的条件:分母不等于 0,即可求解. 【解答】解:根据题意得:x﹣2≠0, 解得:x≠2. 故选 A. 【点评】本题主要考查了分式有意义的条件,正确理解条件是解题的关键.

4.下列分式从左至右的变形正确的是( A. B.



C.

D.

【考点】分式的基本性质. 【分析】根据分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零的数(或整式),分式的值不变,可 得答案. 【解答】解:A、分子、分母、分式改变其中任意两项的符号,分式的值不变,故 A 正确;

B、分子分母加数,分式的值改变,故 B 错误; C、分子除以 y,分母不变,故 C 错误; D、当 c=0 时,分子分母都乘以 c2 无意义,故 D 错误. 故选:A. 【点评】本题考查了分式的基本性质,分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零的数(或整 式),分式的值不变.

5.若 x+m 与 x+2 的乘积中不含 x 的一次项,则 m 的值为( A.2 B.1 C.0

) D.﹣2

【考点】多项式乘多项式. 【分析】直接利用多项式乘法去括号,进而得出一次项系数为 0,进而得出答案. 【解答】解:∵x+m 与 x+2 的乘积中不含 x 的一次项, ∴(x+m)(x+2)=x2+(2+m)x+2m,中 2+m=0, 故 m=﹣2. 故选:D. 【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式,正确去括号计算是解题关键.

6.下列各式可以写成完全平方式的多项式有( A.x2+xy+y2 【考点】完全平方式. B.x2﹣xy+

) D.

C.x2+2xy+4y2

【分析】根据完全平方式的结构对各式分析判断后即可求解. 【解答】解:A、应为 x2+2xy+y2,原式不能写成完全平方式,故错误; B、 ,正确;

C、应为 x2+4xy+4y2,原式不能写成完全平方式,故错误; D、应为 故选:B. 【点评】本题是完全平方公式的应用;两数的平方和,再加上或减去它们积的 2 倍,就构成了一个 完全平方式.注意积的 2 倍. ,原式不能写成完全平方式,故错误;

7.边长分别为 a 和 2a 的两个正方形按如图的样式摆放并连线,则图中阴影部分的面积为(



A.3a2

B.

C.2a2

D.

【考点】整式的混合运算. 【分析】结合图形,发现:阴影部分的面积=△ABQ 的面积的﹣△BER 的面积,代入求出即可.

【解答】解:根据图形可知:

阴影部分的面积 S= ?2a?2a﹣ ?a? a= a2, 故选 B. 【点评】此题考查了整式的混合运算的应用,关键是列出求阴影部分面积的式子.

8.若 xy﹣x+y=0 且 xy≠0,则分式 A. B.xy

的值为( C.1

) D.﹣1

【考点】分式的化简求值. 【分析】首先由 xy﹣x+y=0 得出 xy=x﹣y,进一步整理分式 = ,整体代换求得数值即可.

【解答】解:∵xy﹣x+y=0, ∴xy=x﹣y, ∴ = = =﹣1.

故选:D. 【点评】此题考查分式的化简求值,掌握分式的计算方法以及整体代入的思想是解决问题的关键.

9.某次列车平均提速 v 千米/小时,用相同的时间,列车提速前行驶 s 千米,提速后比提速前多行 驶 50 千米,设提速前列车的平均速度为 x 千米/小时,下列方程不正确的是( )

A.

B.x+v=

C.

D.

【考点】由实际问题抽象出分式方程. 【分析】设提速前列车的平均速度为 x 千米/小时,则提速之后的速度为(x+v)千米/小时,根据题 意可得,相同的时间提速之后比提速之前多走 50 千米,据此列方程. 【解答】解:设提速前列车的平均速度为 x 千米/小时, 由题意得, 故选 C. 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出 合适的等量关系,列出方程. = .

10.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,∠A=20°,AB 上一点 D 使 AD=BC,过点 D 作 DE∥BC 且 DE=AB, 连接 EC,则∠DCE 的度数为( )

A.80°

B.70°

C.60°

D.45°

【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】 连接 AE. 根据 ASA 可证△ADE≌△CBA, 根据全等三角形的性质可得 AE=AC, ∠AED=∠BAC=20°, 根据等边三角形的判定可得△ACE 是等边三角形,根据等腰三角形的判定可得△DCE 是等腰三角形, 再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可求解. 【解答】解:如图所示,连接 AE.

∵AE=DE,

∴∠ADE=∠DAE, ∵DE∥BC, ∴∠DAE=∠ADE=∠B, ∵AB=AC,∠BAC=20°, ∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°, 在△ADE 与△CBA 中, , ∴△ADE≌△CBA(ASA), ∴AE=AC,∠AED=∠BAC=20°, ∵∠CAE=∠DAE﹣∠BAC=80°﹣20°=60°, ∴△ACE 是等边三角形, ∴CE=AC=AE=DE,∠AEC=∠ACE=60°, ∴△DCE 是等腰三角形, ∴∠CDE=∠DCE, ∴∠DEC=∠AEC﹣∠AED=40°, ∴∠DCE=∠CDE=(180﹣40°)÷2=70°. 故选 B. 【点评】考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,等腰三 角形的判定和性质,三角形内角和定理,平行线的性质,综合性较强,有一定的难度.

二、填空题 11.(﹣2x2)2= 4x4 . 【考点】幂的乘方与积的乘方. 【分析】利用(ab)n=anbn 进行计算. 【解答】解:(﹣2x2)2=4x4, 故答案是 4x4. 【点评】解题的关键是把每一个因式分别乘方,再相乘.

12.一种病毒的直径为 0.000023m,这个数用科学记数法表示为 2.3×10﹣5. . 【考点】科学记数法—表示较小的数. 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a×10﹣n,与较大数的科学记 数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决 定. 【解答】解:0.000023=2.3×10﹣5, 故答案为:2.3×10﹣5. 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为 a×10﹣n,其中 1≤|a|<10,n 为由原数 左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定.

13.如果分式

的值为零,则 x= ﹣1 .

【考点】分式的值为零的条件. 【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零. 【解答】解:∵分式 ∴x2﹣1=0 且 x2﹣3x+2≠0. 由 x2﹣1=0 得:x=±1. 由 x2﹣3x+2≠0x≠1 且 x≠2. ∴x=﹣1. 故答案为:﹣1. 【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件,掌握分式值为零的条件是解题的关键. 的值为零,

14.若 x2+2(m﹣3)x+16=(x+n)2,则 m= 7 或﹣1 . 【考点】因式分解-运用公式法. 【分析】直接利用完全平方公式得出 n 的值,进而得出 m 的值. 【解答】解:∵x2+2(m﹣3)x+16=(x+n)2, ∴n=±4, ∴2(m﹣3)=±8,

解得:m=7 或﹣1. 故答案为:7 或﹣1. 【点评】此题主要考查了公式法因式分解,正确运用完全平方公式是解题关键.

15.如图,△ABC 中,AC=BC,AB=4,∠ACB=90°,以 AB 的中点 D 为圆心 DC 长为半径作 圆 DEF, 设∠BDF=α(0°<α<90°),当 α 变化时图中阴影部分的面积为 π﹣2 ( 圆:∠EDF=90°, 圆的面积= )

【考点】扇形面积的计算. 【分析】作 DM⊥AC 于 M,DN⊥BC 于 N,构造正方形 DMCN,利用正方形和等腰直角三角形的性质,通 过证明△DMG≌△DNH,把△DHN 补到△DNG 的位置,得到四边形 DGCH 的面积=正方形 DMCN 的面积, 于是得到阴影部分的面积=扇形的面积﹣正方形 DMCN 的面积,即可得出结果. 【解答】解:作 DM⊥AC 于 M,DN⊥BC 于 N,连接 DC,如图所示: ∵CA=CB,∠ACB=90°, ∴∠A=∠B=45°, DM= AD= AB,DN= BD= AB,

∴DM=DN, ∴四边形 DMCN 是正方形, ∴∠MDN=90°, ∴∠MDG=90°﹣∠GDN, ∵∠EDF=90°, ∴∠NDH=90°﹣∠GDN, ∴∠MDG=∠NDH,

在△DMG 和△DNH 中, ∴△DMG≌△DNH(AAS),



∴四边形 DGCH 的面积=正方形 DMCN 的面积, ∵正方形 DMCN 的面积=DM2= AB2,= ×42=2, ∴四边形 DGCH 的面积= AB2, ∵扇形 FDE 的面积= = = =π,

∴阴影部分的面积=扇形面积﹣四边形 DGCH 的面积=π﹣2, 故答案为:π﹣2.

【点评】本题主要考查了等腰直角三角形斜边中线的性质,正方形的性质,全等三角形的判定和性 质,能正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

16.已知△ABD≌△CDB,AD=BD,BE⊥AD 于 E,∠EBD=20°,则∠CDE 的度数为 125°或 15° .

【考点】全等三角形的性质. 【分析】由直角三角形的性质求出∠BDA 的度数,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ A=∠ABD=55°, 由全等三角形的性质得出∠CBD=∠BDA=70°, BC=BD, ∠BDC=∠C=55°, 分两种情况, 即可得出结果. 【解答】解:∵BE⊥AD 于 E,∠EBD=20°, ∴∠BDA=90°﹣20°=70°, ∵AD=BD,∴∠A=∠ABD=55°, ∵△ABD≌△CDB, ∴∠CBD=∠BDA=70°,BC=BD,∠BDC=∠C=55°,

分两种情况: ①如图 1 所示:∠CDE=70°+55°=125°; ②如图 2 所示:∠CDE=70°﹣55°=15°; 综上所述:∠CDE 的度数为 125°或 15°; 故答案为:125°或 15°.

【点评】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定 理;根据题意画出图形,分两种情况讨论是解决问题的关键.

三、解答题 17.(12 分)分解因式: (1)12x2﹣3y2 (2)3ax2﹣6axy+3ay2. 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【分析】(1)首先提取公因式 3,再利用平方差公式分解因式即可; (2)首先提取公因式 3,再利用完全平方公式分解因式即可. 【解答】解:(1)12x2﹣3y2 =3(4x2﹣y2) =3(2x﹣y)(2x+y);

(2)3ax2﹣6axy+3ay2 =3a(x2﹣2xy+y2) =3a(x﹣y)2.

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确应用乘法公式是解题关键.

18.解方程: = .

【考点】解分式方程. 【专题】计算题;分式方程及应用. 【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x 的值,经检验即可得到分式方 程的解. 【解答】解:去分母得:12x+6=5x, 解得:x=﹣ , 经检验 x=﹣ 是分式方程的解. 【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程时注意要进行检验.

19.求值:x2(x﹣1)﹣x(x2+x﹣1),其中 x= . 【考点】整式的混合运算—化简求值. 【分析】先去括号,然后合并同类项,在将 x 的值代入即可得出答案. 【解答】解:原式=x3﹣x2﹣x3﹣x2+x=﹣2x2+x, 将 x= 代入得:原式=0. 故答案为:0. 【点评】本题考查了整式的混合运算化简求值,是比较热点的一类题目,但难度不大,要注意细心 运算.

20.如图:在 4×4 的网格中存在线段 AB,每格表示一个单位长度,并构建了平面直角坐标系.

(1)直接写出点 A、B 的坐标:A( 0 , 1 ),B( ﹣1 , ﹣1 );

(2)请在图中确定点 C(1,﹣2)的位置并连接 AC、BC,则△ABC 是 等腰直角 三角形(判断其 形状); (3)在现在的网格中(包括网格的边界)存在一点 P,点 P 的横纵坐标为整数,连接 PA、PB 后得 到△PAB 为等腰三角形,则满足条件的点 P 有 8 个.

【考点】等腰三角形的判定;坐标与图形性质;等腰直角三角形. 【分析】(1)根据平面直角坐标系可直接写出 A、B 的坐标; (2)画出图形,利用勾股定理计算出 AB2、CB2、AC2,再利用逆定理证明△ACB 是等腰直角三角形;

(3)分别以 A、B 为圆心,AB 长为半径画圆可得 P 的位置及个数. 【解答】解:(1)根据平面直角坐标系可得 A(0,1),B(﹣1,﹣1), 故答案为:0;1;﹣1;﹣1;

(2)∵AB2=12+22=5,CB2=12+22=5,AC2=12+32=10, ∴AB2+BC2=AC2, ∴△ACB 是等腰直角三角形, 故答案为:等腰直角;

(3)如图所示:



满足条件的点 P 有 8 个, 故答案为:8.

【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定,以及平面直角坐标系中点的坐标,勾股定理和逆定理, 关键是掌握两边相等的三角形是等腰三角形.

21.若 x2+y2=5,xy=2,求下列各式的值; (1)(x+y)2= 9 (直接写出结果) (2)x﹣y (3) = ± (直接写出结果)

【考点】分式的化简求值;完全平方公式. 【分析】(1)原式利用完全平方公式展开,将已知的数值代入计算即可; (2)所求式子利用完全平方公式变形,进一步开方求得答案即可; (3)由(1)(2)求出 x+y 与 x﹣y 的值,原式计算化简后,将各自的数值代入计算即可.

【解答】解:(1)(x+y)2=x2+2xy+y2=5+2×2=9;

(2)x﹣y=±





=±1;

(3)∵x+y=±3,x﹣y=±1,xy=2, ∴ = =± .

故答案为:9,± . 【点评】此题考查分式的化简求值,掌握完全平方公式和整体代入的思想是解决问题的关键.

22.小明用 a 小时清点完一批图书的一半,小强加入清点另一半图书的工作,两人合作 小时清点 完另一半图书.设小强单独清点完这批图书需要 x 小时. (1)若 a=3,求小强单独清点完这批图书需要的时间. (2)请用含 a 的代数式表示 x,并说明 a 满足什么条件时 x 的值符合实际意义. 【考点】分式方程的应用. 【分析】(1)设小强单独清点这批图书需要的时间是 x 小时,根据“小明 3 小时清点完一批图书的 一半”和“两人合作 小时清点完另一半图书”列出方程,求出 x 的值,再进行检验,即可得出答 案; (2)根据小明完成的工作量加上两人合作完成的工作量为 1,列出方程解答即可. 【解答】解:(1)设小强单独清点完这批图书需要 x 小时,由题意得 +( + )× =1, 解得:x=4, 经检验 x=4 是原分式方程的解. 答:小强单独清点完这批图书需要 4 小时. (2)由题意得 +( + )× =1, ,

解得:x= a> .

所以当 a> 时 x 的值符合实际意义.

【点评】本题考查了分式方程的应用,分析题意,找到关键描述语,找到等量关系:工作总量=工作 效率×工作时间是解决问题的关键.

23.已知在△ABC 中,AB=AC,射线 BM、BN 在∠ABC 内部,分别交线段 AC 于点 G、H. (1)如图 1,若∠ABC=60°、∠MBN=30°,作 AE⊥BN 于点 D,分别交 BC、BM 于点 E、F.

①求证:CE=AG; ②若 BF=2AF,连接 CF,求∠CFE 的度数; (2) 如图 2, 点 E 为 BC 上一点, AE 交 BM 于点 F, 连接 CF, 若∠BFE=∠BAC=2∠CFE, 直接写出

=



【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】 (1)①由 AB=AC,∠ABC=60°得到△ABC 为等边三角形,根据等边三角形的性质得到∠BAC= ∠ACB=60°,AB=CA,求得∠BFD=∠AFG=60°,推出∠EAC=∠GBA 证得△GBA≌△EAC,根据全等三角 形的性质即可得到结论;②如图 1,取 BF 的中点 K 连接 AK,由 BF=2AF,推出△FAK 是等腰三角形, 根据等腰三角形的性质得到∠FAK=∠FKA,求得 ,根据全等三角形的性质得

到 AG=CE,BG=AE,∠AGB=∠AEC,推出△GAK≌△EFC,根据全等三角形的性质得到∠CFE=∠AKF 即可 得到结论; (2)如图 2,在 BF 上取 BK=AF,连接 AK,推出∠EAC=∠FBA,根据全等三角形的性质得到 S△ABK=S△
ACF

,∠AKB=∠AFC,证得△FAK 是等腰三角形,根据等腰三角形的性质得到 AF=FK,即可得到结论.

【解答】解:(1)①∵AB=AC,∠ABC=60° ∴△ABC 为等边三角形, 则∠BAC=∠ACB=60°,AB=CA,

∵AD⊥BN,∠MBN=30°, ∴∠BFD=∠AFG=60°, ∵∠ABF+∠BAF=60°, ∠BAF+∠EAC=60° ∴∠EAC=∠GBA 在△GBA 与△EAC 中, , ∴△GBA≌△EAC, ∴CE=AG; ②如图 1,取 BF 的中点 K 连接 AK, ∵BF=2AF, ∴AF=BK=FK= BF, ∴△FAK 是等腰三角形, ∴∠FAK=∠FKA, ∵∠BFD=∠FAK+∠FKA=2∠AKF, ∵∠BFD=60°, ∴ ∵△GBA≌△EAC, ∴AG=CE,BG=AE,∠AGB=∠AEC, ∴KG=BG﹣BK=AE﹣AF=FE, 在△GAK 与△EFC 中, , ∴△GAK≌△EFC, ∴∠CFE=∠AKF, ∴∠CFE=∠AKF=30°; ,

(2)如图 2,在 BF 上取 BK=AF,连接 AK,

∵∠BFE=∠BAF+∠ABF, ∵∠BFE=∠BAC, ∴∠BAF+∠EAC=∠BAF+ABF, ∴∠EAC=∠FBA, 在△ABK 与△ACF 中, , ∴△ABK≌△AFC, ∴S△ABK=S△ACF,∠AKB=∠AFC, ∵∠BFE=2∠CFE, ∴∠BFE=2∠AKF, ∵∠BFE=2∠AKF=∠AKF+KAF, ∴∠AKF=∠KAF, ∴△FAK 是等腰三角形, ∴AF=FK, ∴BK=AF=FK, ∴S△ABK=S△AFK, ∵S△ABF=S△ABK+S△AFK=2S△ABK=2S△ACF, ∴ = .

故答案为: .

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰三角形的判定和性质,三角形的面积的计算, 正确的作出辅助线是解题的关键.

24.(14 分)在平面直角坐标系中,点 A(0,a)、B(b,0)且 a>|b|. (1)若 a、b 满足 a2+b2﹣4a﹣2b+5=0. ①求 a、b 的值; ②如图 1,在①的条件下,将点 B 在 x 轴上平移,且 b 满足:0<b<2;在第一象限内以 AB 为斜边 作等腰 Rt△ABC,请用 b 表示 S 四边形 AOBC,并写出解答过程. (2)若将线段 AB 沿 x 轴向正方向移动 a 个单位得到线段 DE(D 对应 A,E 对应 B)连接 DO,作 EF ⊥DO 于 F,连接 AF、BF. ①如图 2,判断 AF 与 BF 的关系并说明理由; ②若 BF=OA﹣OB,则∠OAF= 60° (直接写出结果).

【考点】全等三角形的判定与性质;坐标与图形性质. 【分析】 (1)①化简得(a﹣2)2+(b﹣1)2=0,根据非负数的性质即可求出 a、b.②利用 S 四边形 AOBC=S
△AOB

+S△ABC 即可解决.

(2)①结论:AF=FB,AF⊥FB,作 FG⊥y 轴,FH⊥x 轴垂足分别为 G、H.,先证明四边形 FHOG 是正 方形,然后证明△FGA≌△FHB 得 FA=FB,∠AFG=∠BFH 所以∠AFB=∠GFH=90°.从而得证.

②由△FGA≌△FHB 得∠FBH=∠OAF,在 RT△FBH 中,求出 cos∠FBH= 【解答】解:(1)①∵a2+b2﹣4a﹣2b+5=0,

的值即可解决.

∴(a﹣2)2+(b﹣1)2=0, ∴a=2,b=1, ②∵A(0,2),B(b,0), ∴AB= ,

∵△ABC 是等腰直角三角形, ∴BC= AB= ,

∴S 四边形 AOBC=S△AOB+S△ABC= ?AO?BO+ BC2= b2+b+1,(0<b<2). (2)①结论:FA=FB,FA⊥FB,理由如下: 如图,作 FG⊥y 轴,FH⊥x 轴垂足分别为 G、H. ∵A(0,a)向右平移 a 个单位到 D, ∴点 D 坐标为(a,a),点 E 坐标为(a+b,0), ∴∠DOE=45°, ∵EF⊥OD, ∴∠OFE=90°∠FOE=∠FEO=45°, ∴FO=EF, ∴FH=OH=HE= (a+b), ∴点 F 坐标( , ),

∴FG=FH,四边形 FHOG 是正方形, ∴OG=FH= ,∠GFH=90°, = ,BH=OH﹣OB= = ,

∴AG=AO﹣OG=a﹣ ∴AG=BH, 在△FGA 和△FHB 中,

, ∴△FGA≌△FHB, ∴FA=FB,∠AFG=∠BFH, ∴∠AFB=∠GFH=90°.

AF⊥BF,AF=BF. ②∵△FGA≌△FHB, ∴∠FBH=∠OAF, 在 RT△BFH 中,∵BF=OA﹣OB=a﹣b,BH= ∴cos∠FBH= = , ,

∴∠FBH=60°, ∴∠OAF=60°. 故答案为 60°.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、非负数的性质、三角函数等知识,解题的 关键是添加辅助线构造全等三角形,属于中考常考题型.


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