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2.4二次函数


2.4 二次函 数
一、选择题(每小 题 6 分,共 36 分) 1.已知 x∈R,函数 f(x)=(m-1)x +(m-2)x+(m -7m+12)为偶函数,则 m 的值是 ( ( )1 ( )2
2 2 2

)

( )3

( )4 )

2.如果函数 f(x)=x +bx

+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),那么( ( )f(2)<f(1)<f(4) ( )f(2)<f(4)<f(1) ( )f(1)<f(2)<f(4) ( )f(4)<f(2)<f(1)
2

3.(2013·长春模拟)设二次函数 f(x)=ax +bx+c,如果 f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则 f(x1+x2)等于( ( )?

)

b 2a

( )?

b a

( )c

( )

4ac ? b 2 4a
2

4.如图是二次函数 f(x)=x -bx+a 的部分图象, 则函数 g(x)=lnx+f′ (x)的零点所在的区间是( ( )(1,2) ( )( ) ( )(2,3) ( )(
2

1 1 , ) 4 2

1 ,1) 2

5.(预测题)函数 f(x)=ax +(a-3)x+1 在区间[-1,+∞)上是递减的, 则实数 a 的取值范围是( ( )[-3,0) ( )[-2,0] ) ( )(-∞,-3] ( )[-3,0]
2

6.(易错题)若不等式 x +ax+1≥0 对于一切 x∈(0,

1 ]恒成立,则 a 的最小值是 2

( ( )0 ( )2 ( )-

)

5 2

( )-3

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2012·福州模拟)已知二次函数 f(x)=a x +bx+1 的值域为[0,+∞)且 f(-1)=0,则 a=________, b=________. 8.若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式 f(x)=__________. 9.(2012·泉州模拟)若函数 y=x -3x-4 的定义域为[0,m],值域为[2 2

25 ,-4],则 m 的取值范围为 4

_________. 三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(2012·厦门模拟)已知函数 f(x)=x +(lga+2)x+lgb 满足 f(-1)=-2 且对于任意 x∈R,恒有 f(x)≥ 2x 成立. (1)求实数 a,b 的值; (2)解不等式 f(x)<x+5. 11.(2012·长沙模拟)已知函数 f(x)=x -2ax+5(a>1). (1)若 f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数 a 的值; (2)若对任意的 x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数 a 的取值范围. 【探究创新】 (16 分)已知直线 AB 过 x 轴上一点 A(2,0)且与抛物线 y=ax 相交于 B(1,-1)、 两点. (1)求 直线和抛物线对应的函数解析式. (2)问抛物线上是否存在一点 ,使 S△OAD=S△OBC?若存在, 请求出 点坐标,若不存在,请说明理由.
2 2 2

答案解析 1.【解析】选 .由已知 f(-x)=f(x)? (m-2)x=0, 又 x∈R,∴m-2=0,得 m=2. 2 2.【解析】选 .依题意,函数 f(x)=x +bx+c 的对称轴方程为 x=2,且 f(x)在[2,+∞)上为增函数, 因为 f(1 )=f(2-1)=f(2+1)=f(3),2<3<4, ∴f(2)<f(3)<f(4),即 f(2)<f(1)<f(4). 3.【解析】选 .∵f(x1)=f(x2)(x1≠x2),

x1 ? x 2 b ?? , 2 2a b b b 2 b 即 x1+x2=,∴f(x1+x2)=f(- )=a(- ) +b·(- )+c= c. a a a a


?a>0 ? b ? 4.【解析】选 .由二次函数的图象知 ?0< < 1 ? 2 ? ?12 ? b ? a ? 0 ?

?a>0 , 又 f′(x)=2x-b,∴g(x)=lnx+2x-b, ? ?1<b<2
1 1 1 1 )=ln +2× -b=ln +1-b, 2 2 2 2 1 1 ∵ln <0,1-b<0,∴g( )<0, 2 2
则 g( g(1)=ln1+2-b=2-b>0, ∴g(1)·g(

1 )<0,故选 . 2

5.【解析】选 .当 a=0 时,f(x)=-3x+1 显然成立,

?a<0 ? 当 a≠0 时,需 ? a ? 3 , 解得-3≤a<0, ? ? ?1 ? ? 2a
综上可得-3≤a≤0. 【误区警示】本题易忽视 a=0 这一情况而误选 ,失误的原因是将关于 x 的函数误认为二次函数. 2 6.【解析】选 .方法一:设 g(a)=ax+x +1, ∵x∈(0, 当 x=

1 ],∴g(a)为单调递增函数. 2

1 时满足: 2 1 1 5 a+ +1≥0 即可,解得 a≥- . 2 4 2
2

1 1 )在(0, ]上恒成立, x 2 1 1 令 g(x)=-(x+ ),则知 g(x)在(0, ] 为增函数, x 2 1 5 5 ∴g(x)max=g( )=- ,∴a≥. 2 2 2
方法二:由 x +ax+1≥0 得 a≥-(x+ 【方法技巧】关 于二元不等式恒成立问题的求解技巧: (1)变换主元法:求解二元不等式,在其中一个元所在范围内恒成立问题,当正面思考较繁或难以入手 时,我们可以变换主元,将问题转化为求 解关于另一个变量的函数的最值或值域问题,从而求解. (2)分离参数法:根据题设条件将参数(或含有参数的式子)分离到不等式的左边,从而将问题转化为求 不等式右边函数的最值问题.

??=b 2 ? 4a ? 0 ?a ? 1 7.【解析】由题意知 ? ,解得 ? . ?b ? 2 ?a ? b ? 1 ? 0
答案:1 2

8.【解题指南】化简 f(x),函数 f(x)为偶函数,则一次项系数为 0 可求 b.值域为(-∞,4],则最大值 为 4,可求 a,即可求出解析式. 2 2 【解析】∵f(x )=(x+a )(bx+2a)=bx +(2a+ab)x+2a 是偶函数,则其图象关于 y 轴对称, ∴2a+ab=0,∴b=-2 或 a=0(舍去). 2 2 又∵f(x)=-2x +2a 且值域为(-∞,4], 2 2 ∴2a =4,f(x)=-2x +4. 2 答案:-2x +4

9.【解题指南】可作出函数 y=(x【解析】y=x -3x-4=(x2

3 2 25 )的图象,数形结合求解. 2 4

3 2 25 ), 2 4

3 , 2 3 25 当 x= 时,y=, 2 4 3 ∴m≥ , 2
对称轴为 x= 而当 x=3 时,y=-4,∴m≤3.

3 ≤m≤3. 2 3 答案: ≤m≤3 2
综上: 10.【解析】(1)由 f(-1)=-2,知 lgb-lga+1=0, ……………………………………………………………………………………① ∴

a =10.…………………………………………………………………………② b
2 2

又 f(x)≥2x 恒成立,有 x +x·lga+lgb≥0 恒成立, 故Δ =(lga) -4lgb≤0. 将①式代入上式得: (lgb) -2lgb+1≤0, 即(lgb-1) ≤0,故 lgb=1,即 b=10, ∴a=100. (2)f(x)=x +4x+1,f(x)<x+5, 即 x +4x+1<x+5, ∴x +3x-4<0, 解得:-4<x<1, ∴不等式的解集为{x|-4<x<1}. 11.【解析】(1)∵f(x)=(x-a) + 5-a (a>1), ∴f(x)在[1,a]上是减函数,又定义域和值域均为[1,a] ,∴ ? a=2. (2)若 a≥2,又 x=a∈[1,a+1] ,且(a+1)-a≤a-1, 2 ∴f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a . ∵对任意的 x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4, 2 ∴f(x)max-f(x)min≤4,即(6-2a)-(5-a )≤4,
2 2 2 2 2 2 2

? ?1 ? 2a ? 5 ? a ?f ?1? ? a , ,即? 2 解得 2 a ? 2a ? 5 ? 1 f a ? 1 ? ? ? ? ?

解得-1≤a≤3, 又 a≥2,∴2≤a≤3. 2 若 1<a<2,f(x)max=f(a+1)=6-a , 2 f(x)min=f(a)=5-a , f(x)max-f(x)min≤4 显然成立, 综上 1<a≤3. 【探究创新】 【解析】(1)设直线对应的函数解析式为 y=kx+b, 由题知,直线过点 (2,0), (1,-1), ∴?

?2k ? b ? 0 , 解得 k=1,b=-2. ?k ? b ? ?1

∴直线的解析式为 y=x-2, 2 又抛物线 y=ax 过点 (1,-1),∴a=-1. 2 ∴抛物线的解析式为 y=-x . (2)直线与抛物线相交于 、 两点,故由 方程组 ?

?y ? x ? 2 ?y ? ?x
2

, 解得 、 两点坐标为

(1,-1), (-2,-4).由图象可知, S△OBC=S△OAC-S△OAB=

1 ×|-4|×22

1 ×|-1|×2=3.假设抛物线上存在一点 ,使 2
S△OAD=S△OBC, 2 可设 (t,-t ), ∴S△OAD=
2

1 2 2 ×2×t =t , 2

∴t =3,∴t=

3 或 t=-

3.

即存在这样的点 ( 3 ,-3)或(- 3 ,-3).


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