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湖北省武汉市武昌区2014届高三元月调考数学文试题 Word版含答案


湖北武昌区 2014 届高三上学期期末学业质量调研

数学(文)试题
本试题卷共 22 题。满分 1 50 分,考试用时 1 20 分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡指定位置。 认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的 指定位置 o 2.选择题的作答:选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。 3.非选择题的作答:用黑色墨水的签字笔直接答在答题卡上的每题所对应的答题区域 内。答在试题卷上或答题卡指定区域外无效。 4.考试结束,监考人员将答题卡收回,考生自己保管好试题卷,评讲时带来。 一、选择题:本大题共 1 0 小题,每小题 5 芬,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={x|x>3) ,B={ x | ?2 ? x ? 4}, 则A ? B = A.[—2,+∞) 2.已知 i 是虚数单位,则 A. B. (3,+∞) C.[-2,4] D. (3,4]

2?i 3?i
B.

1 1 ? i 2 2

7 1 ? i 2 2

C.

1 1 ? i 2 2

D.

7 1 ? i 2 2

3.‘ x ? 0, y ? 0 ”是“xy>0”成立的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.1 440 B.1 200 C.960 D.720 5.如图,直线 l 和圆 C,当 l 从 l0 开始在平面上绕点 O 按逆时针方向匀速转动(转动角度不 超过 90°)时,它扫过的圆内阴影部分的面积 s 是时间 t 的函数,这个函数的大致图象 是

6.如果执行下面的程序框图,那么输出的 S=

A.2 450

B.2 500

C.2 550

D.2 652

7.设 a,b 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则 A.若 a / /? , b / /? , 则a / / b C.若 a / /b, a ? ? , 则b ? ? 8.函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0, 如图所示,则 ? , ? 的值分别是 A. 2, ? C. 4, ? B.若 a / /? , a / / ? , 则? / / ? D.若 a / /? , ? ? ? , 则? ? ?

?? ? ? ? ? ) 的部分图象 2 2

?
?
3

B. 2, ? D. 4,
2

?
6

6

? 3

9.过双曲线 M: x ?

y2 ? 1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l,若 l 与双曲线肘的两条渐近 b2

线分别相交于 B、C, .且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 A. 10 B. 5 C.

10 3

D.

5 2

10.已知函数 f ( x) ?

x , x ? (?1,1) ,有下列结论: . | x | ?1

① ?x ? (?1,1), 等式f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立; ② ?m ? [0, ??), 方程|f ( x) |? m 有两个不等实根; ③ ?x1 , x2 ? (?1,1), 若x1 ? x2则一定有f ( x1 ) ? f ( x2 ); ④存在无数个实数 k,使得函数 g(x) ? f ( x) ? kx在(?1,1) 上有 3 个零点.

其中正确结论的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.某公司 300 名员工 201 2 年年薪情况的频率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 , 由 图 可 知 , 员 工 中 年 薪

在 1.4—1.6 万元的共有 人. 12.同时掷两枚质地均匀的骰子,则 (I)向上的点数相同的概率为 (Ⅱ)向上的点数之和小于 5 的概率为
2

; 。
2

13.已知过点 M(一 3,0)的直线 l 被圆圆 x ? ( y ? 2) ? 25 所截得的弦长为 8,那么直线 l 的方程为 。

?2 x ? y ? 2 ? 0, ? 14.已知实数 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 且目标函数z ? kx ? y 的最大值为 11, ?3 x ? y ? 3 ? 0, ?
k= 则实数 ·

15.给出以下结论: ①在三角形 ABC 中,若 a=5,b=8,C=60°,则 BC ? CA ? 20; ②已知正方形 ABCD 的边长为 l,则 | AB ? BC ? AC |? 2 2; ③已知 AB ? a ? 5b, BC ? 2a ? 8b, CD ? 3(a ? b), 则A, B, C 三点共线. 其中正确结论的序号为 。 16.如图,在圆内画 1 条线段,将圆分成两部分;画 2 条相交线段,将圆分割成 4 部分;画 3 条线段,将圆最多分割成 7 部分;画 4 条线段,将圆最多分割成.11 部分,那么, (I)在圆内画 5 条线段,将圆最多分割成 部分; (Ⅱ)在圆内画 n 条线段,将圆最多分割成 部分。

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ????

??? ?

??? ?

??? ?

17.过函数 y= x 2 (0 ? x ? 1) 图象上一点 M 作切线 l 与 y 轴和直线 y=1 分别交于点 P、Q,点 N(0,1) ,则△ PQN 面积的最大值为 .

1

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1 8. (本小题满分 l 2 分) 在等差数列 {an }中,已知a3 ? 0, S6 ? 6. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)若数列 {bn }满足bn ? ( 2) n , 求数列{bn }的前n项和Tn .
a

19. (本小题满分 1 2 分) 在锐角△ A BC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 b ? ac, 且 sin A sin C ? .
2

3 4

(I)求角 B 的大小。 (II)求函数 f ( x) ? f sin( x ? B) ? sin x(0 ? x ? ? ) 的最大值和最小值。

20. (本小题满分 1 3 分) 如图,在三棱锥 V—A BC 中,∠VAB=∠VAC=∠A BC=90°,VA= 3 AC ,点 E 为 VC 的中 点. (I)当 b=l 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 b ? a 时, 若存在x0 ? (0, e]使得f ( x0 ) ? 0 成立,求实数 a 的取值范围.
2

22. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F,离心率为 ,过点 F 且与 x 轴垂 a b 2
直的直线被椭圆截得的线段长为 2 ,O 为坐标原点. (I)求椭圆 C 的方程; (II)设经过点 M(0,2)作直线 A B 交椭圆 C 于 A、B 两点,求△ AOB 面积的最大值; (Ⅲ)设椭圆的上顶点为 N,是否存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使点 F 为△ PQN 的 垂心?若存在,求出直线 Z 的方程;若不存在,请说明理由.

武昌区 2014 届高三年级元月调研考试 文科数学试题参考答案及评分细则
一、选择题: 1.D 2.C 二、填空题: 11.72 14.4 3.A 4.B 5.C 6 .C 7.C 8.A 9.A 10.C

12. (Ⅰ) 15.②③

6 1 6 1 (Ⅱ) ? ; ? . 36 6 36 6

13. 5 x ? 12 y ? 15 ? 0 或 x ? ?3

16. (Ⅰ)16; (Ⅱ) 1 ?

n?n ? 1? 2

17.

8 27

三、解答题: 18.解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d ,因为 a3 ? S 6 ? 0 ,

?a1 ? 2d ? 0, ? 所以 ? 解得 a1 ? ?4 , d ? 2 . 6?5 6a1 ? d ? 6. ? 2 ?
所以 a n ? ?4 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 6 .…………………………………………(6 分) (Ⅱ)因为 bn ? ( 2 ) 所以数列 {bn } 是以
an

? 2 n ?3 ?

1 n?1 ?2 , 4

1 为首项,2 为公比的等比数列. 4

1 ? (1 ? 2 n ) b1 (1 ? q ) 4 2n ? 1 所以 S n ? .……………………………………(12 分) ? ? 1? q 1? 2 4
n

19.解: (Ⅰ)因为 b ? ac ,由正弦定理得 sin B ? sin A sin C .
2 2

又 sin A sin C ? 因为 0 ? B ?

3 3 3 ,所以 sin 2 B ? .因为 sin B ? 0 ,所以 sin B ? . 2 4 4
,所以 B ?

?
2

?
3

. …………………………………………(5 分)

(Ⅱ)因为 B ?

?
3

, 所 以 f ( x) ? s i nx(? B) ? s i n x ? s i nx(?

?
3

)?s in x

? sin x cos

?
3

? cos x sin

?
3

? sin x ?

3 3 ? sin x ? cos x ? 3 sin(x ? ) . 2 2 6

? 0 ? x ? ? ,? ?
当 x? 当 x?

?
6

? x?

?
6

?

5? . 6
1 3 3 ? (? ) ? ? ; 2 2

?
6

??

?
6

, 即 x ? 0 时 , f ( x) m i n?

?
6

?

?
2

,即 x?

2? 时 , f ( x) m a x? 3 ? 1 ? 3 . 3
3 .…………………………(12 分) 2

所以,函数 f ( x) 的最大值为 3 ,最小值为 ?
?

20.解: (Ⅰ)? ?VAB ? ?VAC ? 90 ,?VA ? AB , VA ? AC .

分) (Ⅱ)如图,过点 E 作 EF ? AC 于点 F,连 BF,则 EF // VA . ? VA ? 平面 ABC,? EF ? 平面 ABC. B ? ?EBF 为 BE 与平面 ABC 所成的角. ?点 E 为 VC 的中点,?点 F 为 AC 的中点.

? VA ? 平面 ABC.? VA ? BC . ? ?ABC ? 90 ? ,? AB ? BC . ? BC ? 平面 VBA . 又 BC ? 平面 VBC , (6 ?平面 VBA ? 平面 VBC .………………………………………… V

E

? BF ?

1 1 AC , EF ? VA . 2 2

C

F

A

在 Rt ?EFB 中,由 tan ?EBF ?

EF VA ? ? 3 ,得 ?EBF ? 60 ? . BF AC
?

所以,直线 BE 与平面 ABC 所成的角为 60 .………………………………(13 分) 21.解: (Ⅰ)当 b ? 1 时, f ( x) ? a ln x ?

1 a 1 ax ? 1 . ,定义域为 (0, ??) . f ?( x) ? ? 2 ? x x x x2

若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 ,所以,函数 f ( x ) 在 (0,??) 上单调递减; 若 a ? 0 ,则当 x ?

1 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 . a a

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ,?? ) ,单调递减区间为 (0, ) .………(6 分) (Ⅱ)当 b ? a 2 时, f ( x) ? a ln x ?

1 a

1 a

a( x ? a) a2 .令 f '( x) ? 0 ,得 x ? a . , f ?( x) ? x2 x

若在区间 (0, e] 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 成立,则 f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值 小于 0. (1)当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,所以, f ( x ) 在区间 (0, e] 上单调递减, 故 f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值为 f (e) ? a ln e ?

a2 a2 . ?a? e e

由a ?

a2 ? 0 ,得 a ? ?e .所以 ? e ? a ? 0 . e

(2)当 a ? 0 时,①若 a ? e ,则 f ?( x) ? 0 对 x ? (0, e] 成立, f ( x ) 在区间 (0, e] 上单 调递减,所以, f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值为 f (e) ? a ln e ? 意. ②若 0 ? a ? e ,当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

a2 a2 ?a? ? 0 ,不合题 e e

x
f '( x)
f ( x)

(0, a)
?
单调递减

a
0
极小值

(a, e)

?
单调递增

所以 f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值为 f (a) ? a ln a ? 由 f (a) ? a(ln a ? 1) ? 0 ,得 ln a ? 1 ? 0 ,解得 a ?

a2 ? a(ln a ? 1) . a

1 1 .所以 0 ? a ? . e e

综上可知,实数 a 的取值范围.为 (?e,0) ? (0, ) . ………………………(14 分)

1 e

22.解: (Ⅰ)设 F (c,0) ,则

c 2 ? ,知 a ? 2c . a 2

过点 F 且与 x 轴垂直的直线方程为 x ? c ,代入椭圆方程,有

( ?c ) 2 y 2 2 b. ? 2 ? 1 ,解得 y ? ? 2 2 a b

于是 2b ?

2 ,解得 b ? 1 .

又 a 2 ? c 2 ? b 2 ,从而 a ? 所以椭圆 C 的方程为

2, c ? 1.

x2 ? y 2 ? 1 . …………………………………………(4 分) 2

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) .由题意可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 2 .

? y ? k x ? 2, ? 2 2 由 ? x2 消去 y 并整理,得 ? 2k ? 1? x ? 8kx ? 6 ? 0 . 2 ? ? y ? 1, ?2
2 由 ? ? (8k ) ? 24(2k ? 1) ? 0 ,得 k ?
2 2

3 8k 6 .且 x1 ? x2 ? ? . , x1 x2 ? 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1
, AB ?

?点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

2 1? k
2

x ?x ? ?1 ? k ? ? ??
2 1 2

2

? 4 x1 x2 ? , ?

? S ?AOB

1 8(2k 2 ? 3) 2 ? | AB | d ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? . 2 (2k 2 ? 1) 2
2

设 t ? 2k ? 3 ,由 k ?
2

3 ,知 t ? 0 .于是 S ?AOB ? 2

8t ? (t ? 4) 2

8 . 16 t ? ?8 t

由t ?

2 16 7 2 .当且仅当 t ? 4, k ? 时成立. ? 8 ,得 S ?AOB ? 2 t 2

所以△ AO B 面积的最大值为

2 .…………………………………………(9 分) 2

(Ⅲ)假设存在直线 l 交椭圆于 P , Q 两点,且 F 为△ PQN 的垂心. 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ), 因为 N (0,1) , F (1,0) ,所以 k NF ? ?1 . 由 NF ? PQ ,知 k PQ ? 1 .设直线 l 的方程为 y ? x ? m , 由?

? y ? x ? m, 2 2 得 3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0 . 2 2 ? x ? 2 y ? 2,
2

2m 2 ? 2 4m 由 ? ? 0 ,得 m ? 3 ,且 x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? . 3 3
由题意,有 NP ? FQ ? 0 .因为 NP ? ( x1 , y1 ? 1), FQ ? ( x 2 ? 1, y 2 ) , 所以 x1 ( x2 ? 1) ? y 2 ( y1 ? 1) ? 0 ,即 x1 ( x2 ? 1) ? ( x2 ? m)( x1 ? m ? 1) ? 0 ,

所以 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 )( m ? 1) ? m ? m ? 0 .
2

于是 2 ?

2m 2 ? 2 4 4 ? m(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 .解得 m ? ? 或 m ? 1 . 3 3 3

经检验,当 m ? 1 时,△ PQN 不存在,故舍去 m ? 1 . 当m ? ?

4 4 时,所求直线 l 存在,且直线 l 的方程为 y ? x ? .……………(14 分) 3 3

附:部分源自教材的试题 题号 出 处 1 必修 1 第 12 页第 6 题,第 10 题. 2 选修 1-2 第 60 页例 4,第 61 第 5 题 3 选修 1-1 第 11 页例 3 4 必修 2 第 28 页习题 1.3 第 3 题. 5 选修 1-1 第 110 页 A 组第 9 题. 7 必修 2 第 61 页练习第(3)题;习题 2.2 第 1(1)题;第 65 页例 1. 12 必修 3 第 127 页例 3;第 133 页练习第 4 题 13 必修 2 第 127 页例 2. 15 ①必修 4 第 119 页 B 组第 1(1)题;②必修 4 第 108 页 A 组第 2 题; ③必修 4 第 119 页 B 组第 1(2)题. 16 必修 2-2 第 90 页 B 组第 1 题 20 必修 2 第 73 页 A 组第 3 题.


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