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05-06概率论与数理统计 试卷A评分标准


山东经济学院 2005~2006 学年第二学期期末考试

《概率论与数理统计》试卷(A) 标准答案和评分标准
一、选 择 题(6×3 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 C 5 B 6 B

二、填 空 题(9×3 分)
(x?2) 24
2

1、

0.2<

br />
2、

1 3

3、

25 37

4、 f ( x ) ?

1 2 6?

?

e

5、

一定有

6、

1 2

7、

1

?

8、

1

?

2

9、 lim P {|
n? ?

1

? n

n

X i ? a |? ? } ? 1

i ?1

三、 计 算 题(3×6 分+4×7 分+1×9 分) 1. 解 :
B ? {能发芽 }
一 个 A i ? {取的是第 i 等品 } i ?1 , 2 , , 易 3 , 见 4

A1 , A 2 , A 3 , A 4 是 ? 的

划 分 -----------------2 分

P ( A1 ) ? 0 . 94 , P ( A 2 ) ? 0 . 03 , ( A 3 ) ? 0 . 02 , P ( A 4 ) ? 0 . 01 P

P ( B | A1 ) ? 0 . 98 , P ( B | A 2 ) ? 0 . 95 , ( B | A 3 ) ? 0 . 9 , P ( B | A 4 ) ? 0 . 85 -----------4 分 P

由全概率公式,得 P ( B ) ?

? P(A
i ?1

4

i

) P ( B | A i ) ? 0 . 9754

-----------------------6 分

2、解:由题意知:离散型随机变量 X 的可能取值是:-1,1,3, ---------------2 分 因为离散型随机变量的分布函数 F ( x ) ?
? ?1 X ~ ? ? 0 .4 ? 1 0 .3
xi ? x

?

p i ,得

-------------------4 分

3 ? ? -----------------------------6 分 0 .3 ? ?

3、解: (1) F ( x ) ?

?

x

??

f ( t ) dt
F (x) ? 1

当 x ? 0,

? 2

x

??

e dt ?
t

1 2

e ----------------------------------2 分

t

当 x ? 0,

F (x) ?

1 2

[ ? e dt ?
t ??

0

?

x

e dt ? 1 ?

?t

1 2

e

?t

--------------------4 分
? 1 2 e
? 10

0

(2) P ( ? 10 ? X ? 15 ) ? F (15 ) ? F ( ? 10 ) ? 1 ? 4. 解:(1) 1 ?

1 2

e

? 15

------------6 分

? ?
??

??

??

??

f ( x , y ) dxdy ?

??
0

1

x

Axdxdy

?

A 3

? A ? 3 (见图(1))------2 分

0

图(1) (2) P ( X ? (3)
E(X ? Y ) ?
1 4 ,Y ? 1 2
1

图(2)

)?

? ?
4 0

x

3 xdxdy ?

1 64

(见图(2))

--------------5 分

0

? ?
??

??

??

??

( x ? y ) f ( x , y ) dxdy ?

??
0

1

x

( x ? y ) 3 xdxdy ?

3 8

---------------------7 分

0

5、解:由 X 和 Y 独立,得
?e?y f ( x, y ) ? f X ( x) fY ( y ) ? ? ?0 0 ? x ? 1, y ? 0 其它

---------------------------2 分

FZ ( z ) ? P (Z ? z ) ? P ( X ? Y ? z ) ?

x? y? z

??

f ( x , y ) dxdy

? 0 ? ? z z?x ? y ?z ? ? ? ? e dxdy ? z ? 1 ? e 0 0 ? 1 z?x ? y 1? z ?z ?e ? ?0 ?0 e dxdy ? 1 ? e ?
?0 ? ?z f Z ( z ) ? F Z ( z ) ? ?1 ? e ? e 1? z ? e ? z ?

z ? 0 0 ? z ? 1 --------------------------5 分 z ?1
z ? 0 0 ? z ?1 z ?1
? 0 Y ~ ? ? 0 .3 ? 1 0 .1 2 ? ? 0 .6 ? ?

---------------------------7 分

6、解: X ~ ? ? 0 .3 ? 易
EX ? 1 . 1,

? 0

1 0 .3

2 ? ? 0 .4 ? ?


EY ? 1 . 3 EX
2


2

? 1 .9

EY

2

? 2 . 5 DX ? EX

? ( EX )

2

? 0 . 69 同理

DY ? 0 . 81

-----------3 分

COV (? , ? ) ? E ?? ? E ? E ? ? E (? X ? ? Y )( ? X ? ? Y ) ? E (? X ? ? Y ) E (? X ? ? Y ) ? E (? X
2 2

? ? Y ) ? (? EX ? ? EY )( ? EX ? ? EY ) ? ? EX
2 2 2

2

? ? EY
2

2

? [? ( EX ) ? ? ( EY ) ]
2 2 2 2

? ? DX ? ? DY ? 0 . 69 ?
2 2

2

? 0 . 81 ?

2

-------------------------------------7 分 --------------------------------------1 分 -------------------------3 分

7、解: X (即 ? n ) ~ B (100 , 0 . 05 )
EX ? np ? 5 ,

DX ? np (1 ? p ) ? 4 . 75

由中心极限定理,得
4 ? np np (1 ? p ) ) ? ?( X ? np np (1 ? p ) ) ? ? (? 6 ? np np (1 ? p ) ) ? 2? ( 1 4 . 75 ) ?1

P ( X ? 5 ? 1) ? P ( 4 ? X ? 6 ) ? P ( 1 4 . 75 X ? np np (1`? p ) 1 4 . 75

? 1

? 1 4 . 75

—7 分

? P (?

?

?

4 . 75

8、解: (1) X i ~ B ?1? p ?, i ? 1, 2 , 3 , 4 , 5 样本的联合分布列:
5 5

P ( X 1 ? x1 , X

2

? x 2 ,? , X 5 ? x 5 ) ?

? P(X
i ?1

5

i

? xi ) ?

?
i ?1

5

p (1 ? p )
xi

1? x i

? p i ? 1 (1 ? p ) x i ? 0 ,1; i ? 1 ~ 5

? xi

n?

? xi
i ?1

--3 分

(2)样本均值: X ?

1

? n
1

n

X

i

?

1

i ?1

? 5
i

5

X

i

?

3 5

------------------------4 分

i ?1

样本方差: S

2

?

? (X n ?1
i ?1

n

2

? X)

?

1

? (X 4
i ?1

5

i

?

3 5

2

)

?

6 25

-------6 分

(3)由(1)得: 似然函数 L ( p ) ? p 对数似然函数 ln L ( p ) ?

?

5

xi

n?

i ?1

(1 ? p )

?

5

xi

i ?1

--------------------7 分

?

5

x i ln( p ) ? ( n ?

i ?1

?

5

x i ) ln( 1 ? p )

i ?1

对求导并令其为 0:

d ln L ( p ) dp

?

1

? p

5

xi ?

1 1? p

(n ?

i ?1

?

5

xi ) ? 0

i ?1

? 得 p ?

1 n

?

5

x i 即为 p 的极大似然估计

---------------9 分

i ?1


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