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高考数学总复习:第10章《计数原理、概率、随机变量及其分布》8


? 第八节 n次独立重复试验 与二项分布(理) [主干知识梳理] 一、条件概率及其性质 1.条件概率的定义 P?AB? 设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(B|A)= 为在 P?A? 事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率. 2.条件概率的求法 求条件概率除了可借助定义中的公式,还可以借助古典概率 n?AB? 公式,即 P(B|A)= n?A?

? ? ? ? ? 3.条件概率的性质 (1)条件概率具有概率的性质, 即0≤P(B|A)≤1. (2)如果B和C是两个互斥事件,则 P(B∪C|A)= P(B|A)+P(C|A . ) 二、事件的相互独立性 1.设 A,B 为两个事件,若 P(AB)= P(A)P(B) A 与事件 B 相互独立. 2.如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也 都相互独立. .则称事件 三、二项分布 在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试 k n -k 验中事件 A 发生的概率为 p,则 P(X=k)=Ck p (1 - p ) , n k=0,1,2,?,n. 此时称随机变量 X 服从二项分布,记作 X~B(n,p),并称 p 为 成功概率. [基础自测自评] 4 1.(教材习题改编)某一批棉花种子,如果每一粒发芽的概率为 , 5 那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 ( 12 A. 125 48 C. 125 C ?4?2 ?1?1 2 [P=C3×? ? ×? ? = ?5? ?5? ? ? ? ? ) 16 B. 125 96 D. 125 48 .] 125 2.(教材习题改编)某人射击,一次击中目标的概率为 0.6,经过 3 次射击,此人至少有两次击中目标的概率为( 81 A. 125 36 C. 125 54 B. 125 27 D. 125 2 P1=C2 × 0.6 ×(1-0.6)= 3 ) A [两次击中的概率 54 , 125 27 三次击中的概率 P2=0.6 = , 125 3 81 故 P=P1+P2= .] 125 3. 把一枚硬币连续抛两次, 记“第一次出现正面”为事件 A, “第 二次出现正面”为事件 B,则 P(B|A)等于 ( 1 A. 2 1 C. 6 1 B. 4 1 D. 8 ) 1 P?AB? 4 1 A [P(B|A)= = = .] P?A? 1 2 2 4.一个箱子里装有 4 个白球和 3 个黑球,一次摸出 2 个球,在已 知它们的颜色相同的条件下,该颜色是白色的概率为 ________. 解析 设颜色相同为事件 A,颜色都是白色为事件 B, n?AB? C2 4 则 P(A|B)= = 2 n?A? C4+C2 3 2 = . 3 2 答案 3 5.设袋中有大小相同的 4 个红球与 2 个白球,若从中有放回地依 次取出一个球, 记 6 次取球中取出 2 个红球的概率为________. 解析 由题意得红球个数 X 服从二项分布, 即 ? 2? ? X~B?6,3? ?, ? ? ? ? ? ? ?3? ?3? 2?2?2 ?1?4 ∴P(X=2)=C6? ? · ? ? 20 = . 243 20 答案 243 [关键要点点拨] P?AB? 1. 由条件概率 P(B|A)= .当 P(B|A)=P(B), 即 P(AB)=P(A)P(B) P?A? 时,事件 B 与事件 A 独立. 2

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