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银川一中2012—2013学年度高一上学期期中考试数学试卷


银川一中 2012/2013 学年度(上)高一期中考试 数 学 试 卷 班级___ 姓名___ 学号__
命题人:赵冬奎
一、选择题(每小题 4 分,共 48 分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1.集合 M ? ?x |1 ? x ? 9, x ? N *? , N ? ?1,3,5,7,8? ,则 M ? N ? ( A. ?3,5,7

,8? B. ?1,3,5? ) C. y ? x
1 2

)

C. ?1,3,5,7,8?

D. ?1,3,5,7?

2.下列函数在 R 上单调 递增的是( A. y ?| x | B. y ? lg x

D. y ? 2x )

3.如图所示,U 是全集,A,B 是 U 的子集,则阴影部分所表示的集合是( A.A∩B B.A∪B C.B∩?UA ) C.y ? D.A∩?UB

4.与函数 y ? x 相等的函数是( A.y ? ( x ) 2 B.y ? 3 x 3

x2 x 5. 函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? ? x ? 1 , 则当 x ? 0 时,f ( x ) 等于(

x2

D. .

y?

)

A. ? x ? 1

B. ? x ? 1

C. x ? 1 )

D. x ? 1

6.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象经过点(2, 2 ),则 f (4) ? ( A.2 B.

1 2

C.

2 2

D. 2 2

7.某学生在校运动会参加 3000 米项目,匀速跑步前进一段路程后,因体力不足,减缓了跑步速度 并且坚持到达了终点,下图横轴表示出发后的时间,纵轴表示该学生离到达终点还需跑的路程, 则较符合该学生跑法的图是( )

8.已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 x, x ? 0 ?2 ,
x

x?0

,则 f ( f (

1 )) 的值是( 2
D. ?

)

A. 2

B. ? 2

C.

2 2

2 2

1

9. 下列各式中成立的是( A. (
1 m 7 ) ? n7 m 7 n

)
4 B. 12 ( ?3) ? 3

?3

C.

4

x3 ? y 3 ? ( x ? y ) 4

3

D.

3

9 ?33
) D.b<c<a

10.三个数 a ? 0.32 , b ? log2 0.3, c ? 20.3 之间的大小关系是( A.b<a<c B.a<c<b C.a<b<c )

11.函数 f ( x) ? ln | x ? 1 | 的图象大致是(

12.设 f ( x ) 是偶函数,且在 (0, ??) 内是增函数,又 f (?3) ? 0 ,则 x ? f ( x) ? 0 的解集是( A. ?x | ?3 ? x ? 0或x ? 3? C. B. D.

)

?x | x ? ?3或x ? 3?

?x | x ? ?3或0 ? x ? 3?

?x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3?

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 已知 y ? f ( x) 在定义域 R 上为减函数,且 f (1 ? a) ? f (2a ? 1) ,则 a 的取值范围是 . 14. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx, f (1) ? 3, 则 f ( ?1) ? _______.

1 ?1? 15. 已知 y ? ? ? 的反函数为 y ? f ( x) ,若 f ( x 0 ) ? ? ,则 x0 的值是 2 ? 4? 1 x

x

.

16.用 min ?a, b? 表示 a , b 两个数中的较小值.设 f ( x) ? min{2 x ? 1, }( x ? 0) ,则 f ( x ) 的最大 值为__________. 17. 计算下列各题(每题4分) (1) 5
2 log5 3

? log4 32 ? log3 (log2 8)
? 1 3

(2) ? 0.027 ?

?1? ? 7 ?2 ?? ? ??2 ? ? ?7? ? 9?

?2

1

?

2 ?1

?

0

2 , 4 , 6

18. (本小题满分 8 分) 设集合 A ? x 1 ? a ? x ? 1 ? a ,集合 B ? x x ? ?1或x ? 5 ,分别就下列条件求实数 a 的取 值范围: (1) A ? B ? ? ; (2) A ? B ? B .

?

?

?

?

2

19. (本小题满分 8 分) 设 a>0,f(x)= (1)求 a 的值; (2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数. 20.(本小题满分 8 分) 两个重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交 通车. 已知该车每次拖 4 节车厢,一日能来回 1 6 次, 如果每次拖 7 节车厢,则每日能来回 10 次. (1)若每日来回的次数是车头 每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数解析式; (2)在(1)的条件下,每节车厢能载乘客 110 人.问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最 多?并求出每天最多运营人数 . 21. (本小题满分 12 分)
ex a ? (e ? 1) 是 R 上的偶函数. a ex

?cx ? 1 ? 已知函数 f ( x) ? ? ? x c2 ? ?2 ? 1
(1)求常数 c 的值; (2)求使 f ( x) ?

(0 ? x ? c) (c ≤ x ? 1)

满足 f (c ) ?
2

9 . 8

2 ? 1 成立的 x 的取值范围. 8

22. (本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? loga ( x ? 1), g ( x) ? loga (1 ? x) , (a>0 且 a≠1)
f ( x) ? g ( x) 的定义域;

(1)求函数 F ( x) ? (2)判断 F ( x) ?

f ( x) ? g ( x) 的奇偶性,并说明理由;

(3)确定 x 为何值时,有 f ( x) ? g ( x) ? 0 .

3

高一期中数学试卷参考答案答题卷
一、选择题: 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 B 5 B 6 A 7 D 8 C 9 D 10 A 11 B 12 C

二、填空题:
2 13. (??, ) 3

14. -3

15. 2

16. 1

三、解答题: 17. (1)
21 2

(2)-45

18.

当 A= ? 时,1-a>1+a ? a<0 时满足条件。 所以:a<0 19.解:(1)依题意,对一切 x∈R,都有 f(x)=f(-x), ex a 1 ∴ + x= x+aex. a e ae (2)设 0<x1<x2, 1 1 1 ∴(a- )(ex- x)=0. ∴a- =0,即 a2=1. 又 a>0,∴a=1; a a e
1

f(x1)-f(x2)=ex1-ex2+

1


e

x1

e

x2

=(ex2-ex1)(

1

e

x1

?

x2

-1)

1-e ? =ex1(ex2-x1-1)· , x1 ? x2 e ∵x2>x1>0,∴x2-x1>0,x1+x2>0, 又由 e>1 知 y=ex 在 R 上为增函数, ∴ex2-x1-1>0,1-ex1+x2<0. ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
20. 解: (1)设每日来回 y 次,每次挂 x 节车厢,由题意 y ? kx ? b 由已知可得方程组: ? ………1 分

x1

x2

?4k ? b ? 16 ?7k ? b ? 10 解得: k ? ?2, b ? 24

…………2 分 ………3 分 ……………4 分

?

y ? ?2 x ? 24

( x ? 0, x ? N * )

(2)设每日火车 来回 y 次,每次挂 x 节车厢, 设每日可营运 S 节车厢. 由题意知,每日挂车厢最多时,营运人数最多. 则 S ? xy ? x(?2x ? 24) ? ?2x ? 24x ? ?2( x ? 6) ? 72
2 2

…………6 分

4

所以当 x ? 6 时,

S max ? 72 (节)

…………7 分

此时 y=12,故每日最多运营人数为 110×72=7920(人) 答:这列火车每天来回 12 次,才能使运营人数最多。每天最多运营人数为 7920 人. …………8 分
2 解: (1)因为 0 ? c ? 1 ,所以 c ? c ;由 f (c ) ?
2

9 9 1 3 ,即 c ? 1 ? , c ? . 8 8 2

?1 1? ? ?? ? x ? ? ? 2 x ? 1, 2? ? ? (2)由(1)得 f ( x) ? ? ?? ? ?2?4 x ? 1, ? ≤ x ? 1? ? ?? ? ?
由 f ( x) ?

1 2 1 2 ?x? , ? 1 得,当 0 ? x ? 时,解得 2 4 2 8 1 1 5 当 ≤ x ? 1 时,解得 ≤ x ? , 2 2 8 ? 2 5? 2 ? ? 所以 f ( x) ? ? x ? ?. ? 1 的解集为 ? x 8? 8 ? 4 ? ?

f ( x) ? loga ( x ? 1), g ( x) ? loga (1 ? x) , (a>0 且 a≠1) (1)求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的定义域.(2)判断 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的奇偶性,并说
22. (本题 12 分)已知函数 明理由. (3)解不等式 f ( x) ? g ( x) ? 0

?1 ? x ? 0 22.解(1)由? , 解得: ?1 ? x ? 1 ?1 ? x ? 0 即f ( x ) ? g ( x )的定义域为 ( ?1 , 1). ( 2) f ( x ) ? g ( x ) ? loga (1 ? x ) ? loga (1 ? x ) ? f ( ? x ) ? g ( ? x ) ? loga (1 ? x ) ? loga (1 ? x ) ? ?[ f ( x ) ? g ( x )] ? f ( x ) ? g ( x )为奇函数 . (3) f ( x ) ? g ( x ) ? 0, 即 loga (1 ? x ) ? loga (1 ? x ) ?0 ? a ? 1 时, 0 ? 1 ? x ? 1 ? x, 解得: ? 1 ? x ? 0. a ?1 时, 1 ? x ? 1 ? x ? 0.解得: 0 ? x ? 1. 即0 ? a ? 1 时,f ( x ) ? g ( x ) ? 0的解集为 ( ?1 , 0); a ?1 时,f ( x ) ? g ( x ) ? 0的解集为 (0, 1)

5


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