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高中数学难题(含答案)


东莞龙文教育高中数学试卷(24)
第Ⅰ卷(选择题
共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个 项是符合题目要求的。 1.若集合 M={-1,0,1} ,N={0,1,2} ,则 M∩N 等于 A. {0,1} B. {-1,0,1} C. {0,1,2} D. {-1

,0,1,2} 3 2.i 是虚数单位 1+i 等于 A.i B.-i C.1+i D.1-i 3.若 a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条 件 4.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名。 现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本, 已知在高一年级 的学生中抽取了 6 名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A.6 B.8 C . 10 D.12 5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是 A.3 B.11 C.38 D.123 2 6.若关于 x 的方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的 取值范围是 A. (-1,1) B. (-2,2) C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D. (-∞,-1)∪(1,+∞) 7.如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的重点,若在矩形 ABCD 内部随 机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于

1 4 1 C. 2
A.

1 3 2 D. 3
B.

8.已知函数 f(x)= A.-3 9.若 a∈(0, B.-1

。若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于 C.1 D.3

1 ? ) ,且 sin2a+cos2a= ,则 tana 的值等于 4 2
B.

A.

2 2

3 3

C.

2

D.

3

10.若 a>0,b>0,且函数 f(x)= 4 x ? ax ? 2bx 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于
3 2

A.2

B.3

C.6

D.9

11.设圆锥曲线 I 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 I 上存在点 P 满足 PF1 : F1 F2 : PF2 =4: 3:2,则曲线 I 的离心率等于

1 3 2 2 1 C. 或2 2
A. 或

2 3 2 3 D. 或 3 2
B. 或2

12.在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ,记为[k],即[k]={5n+k 丨 n ∈Z},k=0,1,2,3,4。给出如下四个结论: ①2011∈[1] ②-3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] ④“整数 a,b 属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]” 。 其中正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

第 II 卷(非选择题

共 90 分)

注意事项: 用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上。 13.若向量 a=(1,1) ,b(-1,2) ,则 a·b 等于_____________. 14.若△ABC 的面积为 3 ,BC=2,C= 60? ,则边 AB 的长度等于_______. 15. 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=2。 点 E 为 AD 的中点, F 在 CD 上, EF∥平面 AB1C, , 点 若 则线段 EF 的长度等于________.

16.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,及根据商品的最低销售限价 a,最高销 售限价 b(b>a)以及常数 x(0<x<1)确定实际销售价格 c=a+x(b-a) ,这里,x 被称为乐

观系数。 经验表明,最佳乐观系数 x 恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,据此可得,最 佳乐观系数 x 的值等于_____________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (I)求数列{an}的通项公式; (II)若数列{an}的前 k 项和 =-35,求 k 的值.

18. (本小题满分 12 分) 如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A。 (I)求实数 b 的值; (11)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.

19. (本小题满分 12 分) 某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1.2.3.4.5.现从一批 该日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: X 1 2 3 4 5 f a b C 0.2 0.45 (I)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 4 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,求 a、 b、c 的值; (11)在(1)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1,x2,x3,等级系数为 5 的 2 件日 用品记为 y1,y2,现从 x1,x2,x3,y1,y2,这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可 能性相同) ,写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。

20. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB。 (I)求证:CE⊥平面 PAD; (11)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2 ,∠CDA=45°,求四棱锥 P-ABCD 的体积

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f( ? )= 3 sin ? ? cos ? ,其中,角 ? 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负 半轴重合,终边经过点 P(x,y) ,且 0 ? ? ? ? 。 (1)若点 P 的坐标为 ( ,

1 3 ) ,求 f (? ) 的值; 2 2

? x+y ? 1 ? (II)若点 P(x,y)为平面区域Ω : ? x ? 1 ,上的一个动点,试确定角 ? 的取值范围,并 ?y ? 1 ?
求函数 f (? ) 的最小值和最大值。

22. (本小题满分 14 分) 已知 a,b 为常数,且 a≠0,函数 f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的 底数) 。 (I)求实数 b 的值; (II)求函数 f(x)的单调区间; (III)当 a=1 时,是否同时存在实数 m 和 M(m<M) ,使得对每一个 t∈[m,M],直线 y=t 与 曲线 y=f(x) (x∈[

1 ,e])都有公共点?若存在,求出最小的实数 m 和最大的实数 M; e

若不存在,说明理由。

东莞龙文教育高中数学试卷(24)
参考答案
一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 60 分。 1——12 ADABBCCADDAC 二、填空题:本大题考查基础知识的基本运算,每小题 4 分,满分 16 分。 13.1 14.2 15. 2 16.

5 ?1 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.本小题主要考查等差数列的基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,满分 12 分。 解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d,则 an ? a1 ? (n ? 1)d .

由 a1 ? 1, a2 ? ?3可得1 ? 2d ? ?3. 解得 d=-2。 从而, an ? 1 ? (n ? 1) ? (?2) ? 3 ? 2n. (II)由(I)可知 an ? 3 ? 2n , 所以 Sn ?

n[1 ? (3 ? 2n)] ? 2n ? n2 . 2
2

进而由 S1 ? ?35可得2k ? k ? ?35, 即 k ? 2k ? 35 ? 0 ,解得 k ? 7或k ? ?5.
2

又 k ? N , 故k ? 7 为所求。
*

18.本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、 数形结合思想,满分 12 分。 解: (I)由 ?

? y ? x ? b, ?x ? 4 y
2

得x 2 ? 4 x ? 4b ? 0 , (*)
2

因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 ? ? (?4) ? 4 ? (?4b) ? 0, 解得 b=-1。 (II)由(I)可知 b ? ?1, 故方程(*)即为x ? 4 x ? 4 ? 0 ,
2

解得 x=2,代入 x ? 4 y, 得y ? 1.
2

故点 A(2,1) , 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切, 所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离, 即 r ?|1 ? (?1) |? 2, 所以圆 A 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4.
2 2

19.本小题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考 查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想,满分 12 分。 解: (I)由频率分布表得 a ? 0.2 ? 0.45 ? b ? c ? 1,即a+b+c=0.35 , 因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件, 所以 b ?

3 ? 0.15, 20 2 ? 0.1 , 20

等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c ? 从而 a ? 0.35 ? b ? c ? 0.1

所以 a ? 0.1, b ? 0.15, c ? 0.1. (II)从日用品 x1 , x2 , y1 , y2 中任取两件, 所有可能的结果为:

{x1 , x2 },{x1 , x3},{x1 , y1},{x1, y2},{x2 , x3},{x2 , y1},{x2 , y2},{x3 , y1},{x3 , y2},{ y1, y2} ,
设事件 A 表示“从日用品 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任取两件,其等级系数相等” ,则 A 包含的基本事 件为:

{x1 , x2 },{x1 , x3},{x2 , x3},{ y1 , y2 } 共 4 个,
又基本事件的总数为 10, 故所求的概率 P( A) ?

4 ? 0.4. 10

20.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,几何体的体积等基础知识;考查空间 想象能力,推理论证能力,运算求解能力;考查数形结合思想,化归与转化思想,满分 12 分 (I)证明:因为 PA ? 平面 ABCD, CE ? 平面 ABCD, 所以 PA ? CE. 因为 AB ? AD, CE / / AB, 所以CE ? AD. 又 PA ? AD ? A, 所以 CE ? 平面 PAD。 (II)由(I)可知 CE ? AD , 在 Rt ?ECD 中,DE=CD ? cos 45? ? 1, CE ? CD ? sin 45? ? 1, 又因为 AB ? CE ? 1, AB / /CE , 所以四边形 ABCE 为矩形, 所以 S四边形ABCD ? S矩形ADCE ? S?ECD ? AB ? AE ? 又 PA ? 平面 ABCD,PA=1, 所以 V四边形P ? ABCD ?

1 1 5 CE ? DE ? 1? 2 ? ?1?1 ? . 2 2 2

1 1 5 5 S四边形ABCD ? PA ? ? ?1 ? . 3 3 2 6

21.本小题主要考查三角函数、不等式等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函 数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想,满分 12 分。

? 3 , ?sin ? ? ? 2 解: (I)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得 ? ?cos ? ? 1 . ? ? 2

于是 f (? ) ? 3 sin ? ? cos ? ? 3 ?

3 1 ? ? 2. 2 2

(II)作出平面区域 ? (即三角形区域 ABC)如图所示,其中 A(1,0) ,B(1,1) ,C(0, 1) 。 于是 0 ? ? ?

?
2

.

又 f (? ) ? 3 sin ? ? cos ? ? 2sin(? ? 且

?
6

),

?
6

?? ?

?
6

?

故当 ? ?

?
6

?

?
2

2? , 3

,即? ?

?
3



f (? ) 取得最大值,且最大值等于 2;
当? ?

?
6

?

?
6

,即? ? 0 时,

f (? ) 取得最小值,且最小值等于 1。
22.本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力, 考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想,满分 14 分。 解: (I)由 f (e) ? 2得b ? 2, (II)由(I)可得 f ( x) ? ?ax ? 2 ? ax ln x. 从而 f '( x) ? a ln x.

因为a ? 0 ,故:
(1)当 a ? 0时,由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得0<x<1; (2)当 a ? 0时,由f '( x) ? 0得0 ? x ? 1,由f '( x) ? 0得x ? 1. 综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (1, ??) , 单调递减区间为(0,1) ; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为(0,1) , 单调递减区间为 (1, ??) 。 (III)当 a=1 时, f ( x) ? ? x ? 2 ? x ln x, f '( x) ? ln x. 由(II)可得,当 x 在区间 ( , e) 内变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表:

1 e

x
f '( x) f ( x)
又2?

1 e

1 ( ,1) e
-

1
0 极小值 1

(1, e)
+ 单调递增

e

2?

2 e

单调递减

2

2 1 ? 2, 所以函数f '( x) ? ( x ?[ , e]) 的值域为[1,2]。 e e
? m ? 1, 1 ,则对每一个 t ?[m, M ] ,直线 y=t 与曲线 y ? f ( x)( x ? [ , e]) 都有 e ?M ? 2

据经可得,若 ? 公 共点。

并且对每一个 t ? (??, m) ? ( M , ??) , 直线 y ? t 与曲线 y ? f ( x)( x ? [ , e]) 都没有公共点。 综上,当 a=1 时,存在最小的实数 m=1,最大的实数 M=2,使得对每一个 t ?[m, M ] ,直线 y=t 与曲线 y ? f ( x)( x ? [ , e]) 都有公共点。

1 e

1 e


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