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2.2.光的量子性


§ 2.2 、
2.2.1 、光电效应

光的量子性

某些物质在光(包括不可见光)的照射下有电子发射出来,这就是光电效 应的现象。利用容易产生光电效应的物质制成阴极的电子管称为光电管。 图 2-2-1 所示的电来研究光电效应的规律。实验发现了光电效应的如下规 律:
?9 光电效应过程非常快,从光照到产生光电子不超过 1

0 s ,停止光照,光电

v

I

EKm
V A O

I m2 I m1

2 1

v0

v
O
P

图 2-2-1

效应也立即停止。 各种材料都有一个产生光电效应的极限频率 v0 。入射光的效率必须高于 v0 才能产生光电效应;频率低于 v0 的入射光,无论其强度多大,照射时间多长, 都不能产生光电效应。不同的物质,一般极限频率都不同。 逸出的光电子的最大初动能可以这样测定,将滑动变阻器的滑片逐渐向左 移动,直到光电流截止,读出这时伏特表的读数即为截止电压 U。根据动能定 理,光电子克服反向电压作的功等于动能的减小,即
eU ? 1 2 mv m 2

实验结果表明,当入射光频率一定时,无论怎样改变入射光的强度,截止 电压都不会改变;入射光频率增大,截止电压也随着呈线性增大。这说明,逸
259

出的光电子的 最大初动能只能随入射光频率增大而增大,与入射光强度无关。最大初动 能与入射光频率的关系如图 2-2-1 所示。 在入射光频率一定条件下,向右移动变阻器的滑动片,光电流的强度随着 逐渐增大,但当正向电压增大到某一值后继续再增大时,光电流维持一个固定 图 2-3 值不变,此时光电流达到饱和。增大入射光的强度 P ,饱和光电流也随着 成正比地增大。如图 2-2-1 所示。

2.2.2 、光子说
光电效应的四个特点中,只有第四个特点够用电磁来解释,其他特点都与 电磁场理论推出的结果相矛盾。爱因斯坦于 1905 年提出的光子说,完美地解释 了这一现象。 光子说指出:空间传播的光(以及其他电磁波)都是不连续的,是一份一 份的,每一份叫做一个光子。光子的能量跟它的频率成正比即 E=hv 式中 h 为普朗克恒量。光子也是物质,它具有质量,其质量等于
m? E hv ? c2 c2

光子也具有动量,其动量等于
p ? mc ? hv hv ? c c

根据能量守恒定律得出:
1 2 mv m ? hv ? W 2

上式称为爱因斯坦光电效应方程。式中 W 称为材料的逸出功,表示电子从 物而中逸出所需要的最小能量。某种物质产生光电效应的极限频率就由逸出功

260

决定:
v0 ? W h

不同物质电子的逸出功不同,所对应的极限频率也不同。 在图 2-3 中,图线与 v 轴的交点 v0 为极限频率,将图线反身延长与 E km 轴的 交点对应的数值的绝对值就是 W。图线的斜率表示普朗克恒量的数值,因此, 图示电路还可以用来测定普朗克恒量。

2.2.3 、康普顿效应
当用可见光或紫外线作为光电效应的光源时,入射的光子将全部被电子吸 收。但如果用 X 射线照射物质,由于它的频率高,能量大,不会被电子全部吸 收,只需交出部分能量,就可以打出光电子,光子本身频率降低,波长变长。 这种光电效应现象称为康普顿效应。 当 X 射线光子与静止的电子发生碰撞时,可以用 p 表示入射光子的动量, 代表散射光子的动量, mv代表光电子的动量。则依据动量守恒定律,可以用图
p? hv c ,所以

2-2-4 表示三者的矢量关系。由于
2

hv 2 hv ? 2 2h 2 (m v) ? ( ) ? ( ) ? 2 ? vv ? ? cos? c c c

mv
h?
p

由能量守恒定律得出:

mc2 ? hv? ? m0 c 2 ? hv
式中 m0 表示电们的静止质量,

p?

图 2-2-4

m 表示运动电子的质量,有图 2-4

m?

m0 v 1 ? ( )2 c

261

联立上述各式,并将

??

c v 代入整理得

?? ? ? ? ? ? ?

h ? (1 ? cos? ) m0 c

2.2.4、光压
光压就是光子流产生的压强,从光子观点看,光压产生是由于光子把它的 动量传给物体的结果
p ? (1 ? ? )

?
c

? 为入射光强, ? 为壁反射系数。

2.2.5 、波粒二象性
由理论和实验所得结果证明,描述粒子特征的物理量( E , p )与描述波动 特征的物理量( v , λ )之间存在如下关系。
E ? hv
p? h

?

事实上,这种二象性是一切物质(包括实物和场)所共有的特征。

例 1 、图 5-1 中纵坐标为光电效应实验中所加电压( U ) ,横坐标为光子的频 率( v) 。若某金属的极限频率为 v0 ,普朗克恒量为 h ,电子电量为 e,试在图中 画出能产生光电流的区域(用斜线表示) 。 分析:在 U-v 图第一象限中能产生光电流的区域,可根据极限频率 v0 很容 易地作出。关键在于如何确定第四象限中能产生光电流的区域,但我们可以利 用爱因斯坦的光电方程找出这一区域。
U

mv ? hv ? W 解:爱因斯坦的光电方程 2 .

2


O v

262

图 2-2-5

根据极限频率 v0 可知 W ? hv0



m v2 由于光电子具有最大初动能为 2 ,则它可克服反向电压作功为 Ue ,故有

图 5-1
U
2

mv ? Ue 2


O

A B v0 C

将②、③式代入①式可得

v

Ue ? hv ? hv0
图 2-2-6

Ue ? h(v ? v0 )
U h ? v ? v0 e

此即为图 2-2-5 中 BC 斜率的绝对值。据此可作出图 2-2-6,图中画有斜线 区域即为能产生光电流的区域。
?7 例 2 、一光电管阴极对于波长 ? ? 4.91? 10 m 的入射光,发射光电子的遏止

电压为 0.71V ,当入射光的波长为多少时,其遏止电压变为 1.43V ?(电子电量
e ? 1.6 ? 10?19 C ,普朗克常量 h ? 6.63? 10?34 J ? s ) 。

1 mv 2 ? hv ? W 分析:根据爱因斯坦的光电方程 2 ,可知,当加在光电管上的

反向电压达到一定值时可有 Ue=hv-W ,此时光电管无光电流产生,这个电压 U 即为遏止电压。知道了遏止电压 U 即可由光电方程求出逸出功 W。对于一个光
263

电管,它的阴极逸出功 W 是不变的,因而也可利用 W 求出对应不同遏止电压的 入射光的频率(或波长) 。
(hv ? W ) e ,式中 U a 为遏止电压,W 为阴极材料的逸出

解:光电方程为

Ua ?

功, v 为入射光的频率。 设所求入射光的波长为 ? ? , 将 ? 和 ? ? 两次代入光电方程, 消去逸出功 W,得
0.71 ? 1.43 ? hc ( 1 ? 1 )/e ??

?

代入数据得

? ? ? 3.8 ? 10?7 m

例 3、 一波长为 ?i 的光子与一运动的自由电子碰 撞。碰撞的结果使电子变为静止,并且波长为 ?0 的

?i ?
2-2-7

?0

0 光子在与原先方向的夹角为 ? ? 60 的方向上前进。此光子员另一静止的自由电

?10 子碰撞,然后以波长 ? j ? 1.25?10 m 的光子前进,其方向在碰撞后改变了

? ? 600 。计算第一个电子在碰撞前的德布罗意波长。 (普朗克常数
?31 h ? 6.6 ? 10?34 J ? s ,电子质量 me ? 9.1?10 kg ,光速 c ? 3.0 ? 108 m ? s ?1 )

分析:此题需运用能量守恒与动量守恒求解,但必须应用相对论作必要的 变换。

解:对第一次碰撞,能量守恒定律为

hv0 ? hvi ? Ee



式中 v 是光子的频率, Ee 是电子的能量。在波长为 ?0 的光子的出射方向,以及 在与它垂直方向上写出动量守恒定律(见图 2-2-7)分别为
264

h

?0
式 pe 是电子的动量。

?

h

?i

cos? ? pe cos? ,0 ?

h

?i

sin ? ? pe sin ?

从上述两方程消去 ? ,并把 λ 写成 c/v ,有
2 2 (hv0 ) 2 ? (hvi ) 2 ? 2h 2 v0 vi cos? ? pe c



利用相对论关系
2 c 2 pe ? Ee ( Ee ? 2me c 2 )



以及方程①和②得

v0 ?

vi hvi (1 ? cos? ) ? 1 me c 2


变换后得
h (1 ? cos? ) me c

? 0 ? ?i ?



对第二次碰撞可作同样的计算,得如下结果
h (1 ? cos? ) me c

?0 ? ? f ? ?



⑤⑥两式相减,得

?i ? ? f

265

?10 两次碰撞是类似的,利用⑤式得 ?0 ? 1.238?10 m 。

分别利用①和③式,可算出电子的能量和动量为

Ee ? hv(

1

?0

?

1

?i

) ? 1.56 ? 10?17 J , pe ? 2.84 ? 10?48 kg ? m / s

第一个电子的波长为

?e ?

h ? 1.24 ? 10?10 m pe 。

例 4 、一台二氧化碳气体激光器发出的激光功率为 P=1000W,射出的光束 截面积为 A=1.00mm 2 。试问:

(1)当该光束垂直入射到一物体平面上时,可能产生的光压的最大值为多 少?

(2)这束光垂直射到温度 T 为 273K , 厚度 d 为 2.00 cm 的铁板上, 如果有 80% 的光束能量被激光所照射到的那一部分铁板所吸收,并使其熔化成与光束等截 面积的直圆柱孔,这需要多少时间?

已知,对于波长为 λ 的光束,其每一个光子的动量为 k=h/ λ ,式中 h 为普
?1 ?1 朗克恒量,铁的有关参数为:热容量 c ? 26.6 J ? mol ? K ,密度

? ? 7.90?103 kg ? m?3 ,熔点 Tm ? 1798K ,熔解热 Lm ? 1.49?104 J ? mol?1 ,摩尔质量

? ? 56 ?10?3 kg 。
分析:光压即光对被照射物产生的压强,而求压强的关键在求出压力。利 用动量定理,可由光子的动量变化求出它对被照射物的压力。

解: (1)当光束垂直入射到一个平面上时,如果光束被完全反射,且反射光
266

垂直于平面,则光子的动量改变达最大值

?k ? k ? ( ? k ) ? 2 k ?

2h

?



此时该光束对被照射面的光压为最大。设单位时间内射到平面上的光子数为 n , 光压 p 的数值就等于这些光子对被照射面积 A 的冲量(也就是光子动量的改变 量)的总和除以面积 A,即
2h n ? ? A

p?



每个光子的能量为

hv ?

hc

? ,这里 c 为真空中的光速, v 为光的频率,因而
n? P ? P? /(hc ) hv

于是,由②式
2h P? 2P )( )/ A ? ? 6.67 Pa ? hc cA

p?(

(2)激光所照射到的质量为 M 那一小部分铁板在熔化过程中所吸收的热量为

Q?

M

?

(c ? ?T ? Lm ) ? P ? t ? 80%

所以

t?

M

?

(c?T ? Lm ) /(80% P) ?

Ad?

?

(c?T ? Lm ) /(80% P) ? 0.192s

267


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