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高二数学竞赛不等式重要题型


高二数学竞赛辅导不等式(1)
平均不等式 设 a1 , a2 ,......,an 是 n 个正数,则

a1 ? a 2 ? ... ? a n n ? a1a2 ...an . n

1. 设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明: (1) ab ? bc ? ca ?

1 3



(2)

a 2 b2 c2 ? ? ?1 b c a
1 1 ? ? ab a b

2.若 a ? 0, b ? 0 ,且

(1)求 a 3 ? b3 的最小值; (2)是否存在 a ? 0, b ? 0 ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由 3.若 a ? b ? c ,求证:

1 1 4 ? ? a ?b b?c a ?c

柯西(Cavchy)不等式: 设 a1 、 a2 、 a3 ,…, an 是任意实数,则
2 2 2 2 (a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn ) 2 ? (a12 ? a2 ? ? ? an )(b12 ? b2 ? ? ? bn ).

等号当且仅当 bi ? kai (k 为常数, i ? 1,2, ?, n) 时成立. 1. 设 a, b, m.n ? R, 且 a2 ? b2 ? 5, ma ? nb ? 5 ,则 m ? n 的最小值为
2 2

2. 已知 2 x ? 3 y ? 6 ,求证 x ? 2 y ? 11
2 2

3. 若 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,且 4. 设 x, y, z ? R ,且

1 1 1 ? ? ? 1 ,求证: a ? 2b ? 3c ? 9 a 2b 3c

x2 y 2 z 2 ? ? ? 1 ,求 x ? y ? z 的取值范围. 16 5 4

a2 b2 c2 ? ? ? a?b?c 5. 设 ?ABC 的三边长分别为 a, b, c 求证: b ?c ?a c ? a ?b a ?b ?c
6.已知 a, b, c 是互不相等的正数,求证:

2 2 2 9 ? ? ? a?b b?c c?a a ?b?c

排序不等式 设 a1 ? a2 ? ... ? an ,

b1 ? b2 ? ... ? bn

j1 , j2 ,..., jn 是 1,2,...,n 的 一 个 排 列 , 则

a1bn ? a2bn?1 ? ... ? an b1 ? a1b j1 ? a2b j2 ? ... ? an b jn ? a1b1 ? a2b2 ? ... ? an bn .
1. a, b, c ? R , 求证a ? b ? c ?
?

a 2 ? b 2 b 2 ? c 2 c 2 ? a 2 a 3 b3 c3 ? ? ? ? ? . 2c 2a 2b bc ca ab

【思路分析】中间式子中每项均为两个式子的和,将它们拆开,再用排序不等式证明.
2 2 2 【略解】不妨设 a ? b ? c, 则a ? b ? c ,

1 1 1 ? ? , c b a 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 则 a ? ? b ? ? c ? (乱序和) ? a ? ? b ? ? c ? (逆序和) , c a b a b c 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 同理 a ? ? b ? ? c ? (乱序和) ? a ? ? b ? ? c ? (逆序和) c a b a b c
两式相加再除以 2,即得原式中第一个不等式.再考虑数组

1 1 1 ? ? ,仿上可证第二个不等式. bc ac ab 3 3 3 2 2 2 2.已知 a, b, c 为正数,求证: 2 a ? b ? c ? a ? b ? c ? ? b ? a ? c ? ? c ? a ? b ? a 3 ? b 3 ? c 3及

?

?

3.设 a1 , a2 ,?, an 为正数,试分别用柯西不等式与排序不等式证明

a 2 a2 a12 a22 ? ? ? ? n?1 ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an a2 a3 an a1

高二数学竞赛辅导不等式(2)

2 2 1.已知 m ? 0, n ? 0, p ? 0 ,求证: m ? mn ? n ?

p 2 ? np ? n 2 ? m ? n ? p

2. a, b, c, d ? R ,且满足 ?

a?b?c?d ? 3 ,求证: 1 ? a ? 2 2 2 2 2 ?a ? 2b ? 3c ? 6d ? 5 ?

2. 已知 x, y, z 都是正数,求证:

z 2 ? x2 x2 ? y 2 y 2 ? z 2 ? ? ?0 x? y y?z z?x

5 5 5 3 3 2 4. 已知 a, b, c 都是正数,求证: a ? b ? c ? a bc ? b ac ? c ab


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