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数列求和的常用方法


数列求和的常用方法
一、倒序相加法 此法来源于等差数列求和公式的推导方法。 例. 已知 解: 。 把等式①的右边顺序倒过来写,即①可以写成以下式子: ② 把①②两式相加得 ① 求

二、错位相消法 此法来源于等比数列求和公式的推导方法。 例. 求数列 解:设 的前 n 项和。

当 当

时, 时, ① ②

①式两边同时乘以公比 a,得

①②两式相减得

三、拆项分组法 把一个数列分拆成若干个简单数列(等差数列、等比数列),然后利用相应公式进行分 别求和。

例. 求数列

的前 n 项和。

解:设数列的前 n 项和为

,则

当 当

时, 时, 的情况进行讨论。

说明:在运用等比数列的前 n 项和公式时,应对 q=1 与

四、裂项相消法 用 裂 项 相 消 法 求 和 , 需 要 掌 握 一 些 常 见 的 裂 项 技 巧 。 如

例. 求数列 解:

的前 n 项和。

五、奇偶数讨论法 如果一个数列为正负交错型数列,那么从奇数项和偶数项分别总结出 行求解。 例. 已知数列 解: ①当 时, 求该数列的前 n 项和 。 与 n 的关系进

对 n 分奇数、偶数讨论求和。

②当

时,

六、通项公式法 利用 而且运算简洁。 例. 已知数列 解: 求该数列的前 n 项和 。 , 问题便转化成了求数列 的通项问题。 这种方法不仅思路清晰,



∴数列

是一个常数列,首项为

七、综合法 这种方法灵活性比较大, 平时注意培养对式子的敏锐观察力, 尽量把给定数列转化为等 差或等比数列来处理。 例. 已知 分析:注意观察到: 求

其他可依次类推。关键是注意讨论最后的 n 是奇数还是偶数。 解:①当 n 为奇数时,由以上的分析可知:

②当 n 为偶数时,可知:

由①②可得


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