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【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.2.2第3课时 排列与组合课时作业 新人教A版选修2-3


【成才之路】2015-2016 学年高中数学 1.2.2 第 3 课时 排列与组合 课时作业 新人教 A 版选修 2-3

一、选择题 1.6 个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐 4 人,则不同的乘车方法数为( A.40 C.60 [答案] B C6 2 [解析] 先分组再排列, 一组 2 人一组 4 人有 C6=15 种不同的分法; 两组各 3 人共有 2

A2 =10 种不同的分法,所以乘车方法数为(15+10)×2=50,故选 B. 2.(2015·青岛市胶州高二期中)从甲、乙等 5 名志愿者中选出 4 名,分别从事 A,B,
3

)

B.50 D.70

C,D 四项不同的工作,每人承担一项.若甲、乙二人均不能从事 A 工作,则不同的工作分
配方案共有( A.60 种 C.84 种 [答案] B [解析] 解法 1:根据题意,分两种情形讨论: ①甲、乙中只有 1 人被选中,需要从甲、乙中选出 1 人,担任后三项工作中的 1 种,由 其他三人担任剩余的三项工作,有 C2C3C3A3=36 种选派方案. ②甲、乙两人都被选中,则在后三项工作中选出 2 项,由甲、乙担任,从其他三人中选 出 2 人,担任剩余的两项工作,有 C3·A3·A2=36 种选派方案, 综上可得,共有 36+36=72 种不同的选派方案, 故选 B. 解法 2:从甲、乙以外的三人中选一人从事 A 工作,再从剩余四人中选三人从事其余三 项工作共有 C3A4=72 种选法. 3.(2014·广州市综合测试二)有两张卡片,一张的正反面分别写着数字 0 与 1,另一 张的正反面分别写着数字 2 与 3,将两张卡片排在一起组成一个两位数,则所组成的两位数 为奇数的概率是( 1 A. 6 1 C. 2 ) 1 B. 3 3 D. 8
1 3 2 2 2 1 3 1 3

) B.72 种 D.96 种

1

[答案] C 3 1 [解析] 由这两张卡片排成的两位数共有 6 个,其中奇数有 3 个,∴P= = . 6 2 4.男、女学生共有 8 人,从男生中选取 2 人,从女生中选取 1 人,共有 30 种不同的选 法,其中女生有( A.2 人或 3 人 C.3 人 [答案] A [解析] 设男生有 n 人,则女生有(8-n)人,由题意可得 CnC8-n=30,解得 n=5 或 n =6,代入验证,可知女生为 2 人或 3 人. 5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若 规定从二楼到三楼用 8 步走完,则方法有( A.45 种 C.28 种 [答案] C [解析] 因为 10 级台阶走 8 步,故可以肯定一步一个台阶的有 6 步,一步两个台阶的 有 2 步,那么只需从 8 步中选取 2 步,这两步中每一步上两个台阶即可,共有 C8=28 种选 法. 6.如图,用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A、B、C、D 中,(四种颜色可以不全用也 可以全用)要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有( )
2 2 1

) B.3 人或 4 人 D.4 人

) B.36 种 D.25 种

A C D
A.72 种 C.24 种 [答案] A

B

B.48 种 D.12 种

[解析] 解法 1:(1)4 种颜色全用时,有 A4=24 种不同涂色方法. (2)4 种颜色不全用时,因为相邻矩形不同色,故必须用三种颜色,先从 4 种颜色中选 3 种,涂入 A、B、C 中,有 A4种涂法,然后涂 D,D 可以与 A(或 B)同色,有 2 种涂法,∴共有 2A4=48 种,∴共有不同涂色方法,24+48=72 种. 解法 2:涂 A 有 4 种方法,涂 B 有 3 种方法,涂 C 有 2 种方法,涂 D 有 3 种方法,故共 有 4×3×2×3=72 种涂法. 二、填空题 7.(2014·杭州市质检)用 1、2、3、4、5 组成不含重复数字的五位数,数字 2 不出现
3 3

4

2

在首位和末位,数字 1、3、5 中有且仅有两个数字相邻,则满足条件的不同五位数的个数是 ________(注:用数字作答). [答案] 48 [解析] 按 2 的位置分三类:①当 2 出现在第 2 位时,即 02000,则第 1 位必为 1、3、 5 中的一个数字, 所以满足条件的五位数有 C3A2A2=12 个; ②当 2 出现在第 3 位时, 即 00200, 则第 1 位、第 2 位为 1、3、5 中的两个数字或第 4 位、第 5 位为 1、3、5 中的两个数字,所 以满足条件的五位数有 2A3A2=24 个;③当 2 出现在第 4 位时,即 00020,则第 5 位必为 1、 3、5 中的一个数字,所以满足条件的五位数有 C3A2A2=12 个.综上,共有 12+24+12=48 个. 8.高三某学生计划报名参加某 7 所高校中的 4 所学校的自主招生考试,其中仅甲、乙 两所学校的考试时间相同, 因此该学生不能同时报考这两所学校, 那么该学生不同的报考方 法有________种. [答案] 25 [分析] 按该学生报考的学校中是否含有甲、乙两所学校进行分类. [解析] 报考学校甲的方法有 C5,报考学校乙的方法有 C5,甲、乙都不报的方法有 C5, ∴共有 2C5+C5=25 种. 9.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四个 不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答). [答案] 1080 C6C4 [解析] 先将 6 名志愿者分为 4 组,共有 2 种分法,再将 4 组人员分到 4 个不同场馆 A2 C6·C4 4 4 去,共有 A4种分法,故所有分配方案有: 2 ·A4=1 080 种. A2 三、解答题 10.(1)计算 C100+C200; (2)求 20Cn+5=4(n+4)Cn+3+15An+3中 n 的值. 100×99 98 199 2 1 [解析] (1)C100+C200=C100+C200= +200=4950+200=5150. 2 (2)20× ?n+5?! ?n+3?! = 4(n + 4)× + 15(n + 3)(n + 2) , 即 5!n! ?n-1?!4!
5 98 199 2 2 2 2 3 4 3 3 4 1 2 2 2 2 1 2 2

n-1

2

?n+5??n+4??n+3??n+2??n+1? = 6 ?n+4??n+3??n+2??n+1?n +15(n+3)(n+2),所以(n+5)(n+4)(n+1)- 6 (n+4)(n+1)n=90,即 5(n+4)(n+1)=90.所以 n +5n-14=0,即 n=2 或 n=-7.注意 到 n≥1 且 n∈Z,所以 n=2.
3
2

[点评] 在(1)中应用组合数性质使问题简化,若直接应用公式计算,容易发生运算错 误,因此,当 m> 时,特别是 m 接近于 n 时,利用组合数性质 1 能简化运算. 2

n

一、选择题 11.已知集合 A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集 合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( A.33 C.35 [答案] A [解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含 1 的有 C2·A3=12 个; ②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 1 个 1 的有 C2·A3+A3=18 个; ③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 2 个 1 的有 C3=3 个. 故共有符合条件的点的个数为 12+18+3=33 个,故选 A. 12. (2014·太原五中月考)如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了 3 个水果, 且 从这周的第二天开始,每天所吃水果的个数与前一天相比,仅存在三种可能:或“多一个” 或“持平”或“少一个”,那么,小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有 ( ) A.50 种 C.140 种 [答案] D [解析] 按第二天到第七天选择持平次数分类得 C6+C6A2+C6C4C2+C6C6C3=141 种. 13. 如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆, 每天最多只安排一 所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( A.50 种 C.120 种 [答案] C [解析] 先安排甲学校的参观时间, 一周内两天连排的方法一共有 6 种: (1,2)、 (2,3)、 (3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为 C6,然后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地安排 其余两所学校参观, 安排方法有 A5种, 按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法 C6·A5 =120 种,故选 C. 14.(2015·衡水市枣强中学高二期中)某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学 生发言,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加,则他们发言时不能相 邻.那么不同的发言顺序种数为( )
4
2 1 2 1 6 4 2 2 2 2 0 3 3 1 1 3 3 1 3

)

B.34 D.36

B.51 种 D.141 种

)

B.60 种 D.210 种

A.360 C.600 [答案] C

B.520 D.720

[解析] 当甲、乙两人中只有一人参加时,有 C2·C5·A4=480 种方法; 当甲、乙两人都参加时,有 C2·C5(A4-A2A3)=120 种方法. 由分类加法计数原理知,不同的发言顺序共有 480+120=600 种,故选 C. 二、填空题 15.要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花, 要求相邻区域不同色, 有________种不同的种法(用数字作答).
2 2 4 2 2

1

3

4

[答案] 72 [解析] 5 有 4 种种法,1 有 3 种种法,4 有 2 种种法.若 1、3 同色,2 有 2 种种法, 若 1、3 不同色,2 有 1 种种法,∴有 4×3×2×(1×2+1×1)=72 种. 16.在空间直角坐标系 O-xyz 中有 8 个点:P1(1,1,1)、P2(-1,1,1)、?、P7(-1, -1,-1)、P8(1,-1,-1)(每个点的横、纵、竖坐标都是 1 或-1),以其中 4 个点为顶 点的三棱锥一共有________个(用数字作答). [答案] 58 [解析] 这 8 个点构成正方体的 8 个顶点,此题即转化成以正方体的 8 个顶点中的 4 个点为顶点的三棱锥一共有多少个,则共有三棱锥 C4C4+(C4C4-2×4-2)+C4C4=58 个. [点评] 用间接法求解更简便些,从正方体的 8 个顶点中任取 4 个,有不同取法 C8种, 其中这四点共面的(6 个对角面、6 个表面)共 12 个,∴这样的三棱锥有 C8-12=58 个. 三、解答题 17.有一排 8 个发光二极管,每个二极管点亮时可发出红光或绿光,若每次恰有 3 个二 极管点亮, 但相邻的两个二极管不能同时点亮, 根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同 颜色来表示不同的信息,求这排二极管能表示的信息种数共有多少种? [解析] 因为相邻的两个二极管不能同时点亮, 所以需要把 3 个点亮的二极管插放在未 点亮的 5 个二极管之间及两端的 6 个空上,共有 C6种亮灯办法. 然后分步确定每个二极管发光颜色有 2×2×2=8(种)方法,所以这排二极管能表示的 信息种数共有 8C6=160(种). 18.6 男 4 女站成一排,求满足下列条件的排法共有多少种?(列出算式即可)
3 3 4 4 1 3 2 2 3 1

5

(1)任何 2 名女生都不相邻,有多少种排法? (2)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排法? (3)男生甲、乙、丙顺序一定,有多少种排法? (4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法? [解析] (1)任何 2 名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生 的空中,共有 A6·A7种不同排法. (2)方法一:甲不在首位,按甲的排法分类,若甲在末位,则有 A9种排法,若甲不在末 位,则甲有 A8种排法,乙有 A8种排法,其余有 A8种排法, 综上共有(A9+A8A8·A8)种排法. 方法二:甲在首位的共有 A9种,乙在末位的共有 A9种,甲在首位且乙在末位的有 A8种, 因此共有(A10-2A9+A8)种排法. (3)10 人的所有排列方法有 A10种,其中甲、乙、丙的排序有 A3种,其中只有一种符合题 A10 设要求,所以甲、乙、丙顺序一定的排法有 3 种. A3 (4)男甲在男乙的左边的 10 人排列与男甲在男乙的右边的 10 人排列数相等, 而 10 人排 1 10 列数恰好是这二者之和,因此满足条件的有 A10种排法. 2
10 10 3 10 9 8 9 9 8 9 1 1 8 1 1 8 9 6 4

6


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