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高中竞赛之重要不等式


高中竞赛之重要不等式
1.柯西不等式(给了两列数,或一列数,有平方和和平方) 定理 1 对任意实数组 ai , bi (i ? 1, 2,?, n) 恒有不等式“积和方不大于方和积”,即

等式当且仅当

时成立。本不等式称为柯西不等式。

证不等式最基本的方法是作差比较法,柯西不等式的证明也可首选此法。 证明

1

左= ? ai2bi2 ? 2? aibi a j b j
i ?1 i? j

n

∴右-左=

当且仅当 柯西不等式的两个推论: ⅰ.设 同号(

时,等式成立。

),则

当且仅当 ⅱ.若 ,且

时取等号。 ,则

(分母作和) 由柯西不等式可以证下面的不等式。3 次可以推广为 4、5 等 n 次。
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(a13 +a 23 +a33 )(b13 +b23 +b33 )(c13 +c23 +c33 ) ? (a1b1c1 +a 2b2c2 +a3b3c3 )3
证明:对 (a13 +a 23 +a33 )(b13 +b23 +b33 ) 和 (c13 +c23 +c33 )(a1b1c1 +a 2b2c2 +a 3b3c3 )3 分别用柯西不等式,可得到两个不等式,将这两个不等式相乘,再用一次柯西不等式即可证 明原不等式.

柯西不等式的推广:闵可夫斯基不等式 设 , ,?, ; , ,?, 是两组正数, k ? 0 且 k ? 1 ,则





( 当且仅当
a a1 a2 ? ? ? ? n 时等号成立。 b1 b2 bn



闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式,当 时得平面上的三角形不等式:

右图给出了对上式的一个直观理解。 若记 , ,则上式为

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特例:

(a1 ? a2 ? ? ? am )2 ? (b1 ? b2 ? ? ? bm )2 ? a12 ? b12 ? a22 ? b22 ? ? ? am 2 ? bm2

(a1 ? a2 ? ? ? am )2 ? (b1 ? b2 ? ? ? bm )2 ? (c1 ? c2 ? ? ? cm )2 ? a12 ? b12 ? c12 ? a22 ? b22 ? c22 ? ? ? am2 ? bm2 ? cm2
多个根式可转化为一个根式。 赫尔德不等式 已知 ( )是 个正实数, ,则

上式中若令 ? ? ? ? 等式。

1 , 2



,则此赫尔德不等式即为柯西不

2〔排序不等式,排序原理〕 (给的是两列数且为对称的) 设 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn ,则有

? ai bn?1?i ? ? ai bti ? ? ai bi .
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

即“反序和” ? “乱序和” ? “同序和” .其中 ?t1 , t 2 ,?, t n ? ? ? ,2,?, n?.当且 1 仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 时等号成立. 〔切比雪夫不等式〕 实数 a i ,bi 满足 a1 ? a2 ? ? ? an ,b1 ? b2 ? ? ? bn( i ? 1 ,2 ,?,n ) .则

1 n ? 1 n ?? 1 n ? 1 n ai bi ? ? ? ai ?? ? bi ? ? ? ai bn?1?i . ? n i ?1 ? n i ?1 ?? n i ?1 ? n i ?1
当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 时等号成立. 下面给出一个 时的契比雪夫不等式的直观理解。
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如图,矩形 OPAQ 中, , , 显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和, (这可沿 图中线段 MN 向上翻折比较即知)。于是有 ,也即

3 琴生不等式 〔凸函数定义〕 1.设 f ?x ? 是定义在闭区间 ?a, b? 上的函数,若对任意 x , y ? ?a, b?和任意

? ? ?0,1? ,有 f ??x ? ?1 ? ? ?y ? ? ?f ?x? ? ?1 ? ? ? f ? y ?
成立,则称 f ?x ? 是 ?a, b ? 上的凸函数(也称下凸函数或凹函数) . 2.设 f ?x ? 是定义在 ?a, b? 上的函数,若对任意 x , y ? ?a, b? 且 x ? y 和任 意 ? ? ?0,1? ,有 f ??x ? ?1 ? ? ?y ? ? ?f ?x? ? ?1 ? ? ? f ? y ? 成立,则称 f ?x ? 是 ?a, b? 上的严格凸函数. 3. f ?x ? 是定义在 ?a, b? 上的函数, 设 若对任意 x ,y ? ?a, b?和任意 ? ? ?0,1? , 有 f ??x ? ?1 ? ? ?y ? ? ?f ?x? ? ?1 ? ? ? f ? y ? 成立,则称 f ?x ? 是 ?a, b ? 上的上凸函数. 凸函数的定义表明了,上(下)凸函数的两个自变量的算术平均值处的函数值不
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小(大)于其函数值的算术平均值.从图象上看,表明联结上(下)凸函数图形上 任何两点的弦的中点恒位于图形的对应点之下(上).见图 1.

图1 注意到在定义中, 凸函数的条件是对区间内的任意两点 x1 和 x2 都成立, 不 难看出, 这实际上就保证了函数在整个区间的凸性. 即上凸函数图象上的任一 段弧都在所对应的弦的上方; 下凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的下 方.并且由此形成的弓形是凸的区域.正因为这种函数的图象具有这种特点, 所以我们才把它形象地名之曰:凸函数. 在初等数学里,关于函数的凸性,可根据图象来判断.例如,读者不难根 据图象可以得出: 幂函数 y=xa.当 a>1 或 a<0 时,是(0,∞)上的下凸函数;当 0<a<1 时,是(0,∞)上的上凸函数. 指数函数 y=ax(a>0,a≠1).是(-∞,∞)上的下凸函数. 对数函数 y=logcx(a≠1).当 a >1 时,是(0,∞) 上的上凸函数;当 0<a <1 时,是(0,∞)上的下凸函数. 三角函数 y=sinx 是[0,π ]上的上凸函数,是[π ,2π ]上的下凸函

上述函数的凸性; 也可以根据定义用初等方法来证明. 学过微分学的读者 还可以根据函数的二阶导数的符号来判断函数的凸性.即,若函数 f(x)对在定 义域(a,b)内的所有 x 恒有 f ' ' ( x) <0,则 f(x)是(a,b)上的上凸函数;如果恒有

f ' ' ( x) >0, 则 f(x)是(a, b)上的下凸函数.
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〔琴生〔Jensen)不等式〕 (变量做和) 若 f ?x ? 是区间 ?a, b ? 上的凸函数,则对任意 x1 , x2 ,?, xn ? ?a, b ? 有

?1 n ? 1 n f ? ? xi ? ? ? f ? x i ? . ? n i ?1 ? n i ?1
当且仅当 x1 ? x2 ? ? ? xn 时等号成立.当 f ?x ? 为上凸函数时,不等式反向. 〔琴生〔Jensen)不等式推论,即加权琴生不等式〕 若 f ?x ? 是区间 ?a, b ? 上的凸函数,则对任意 x1 , x2 ,?, xn ? ?a, b ? 和对任 意满足 ? p i ? 1的正数 p1 , p2 ,?, p n ,有
i ?1 n

? n ? n f ? ? pi xi ? ? ? pi f ?xi ? .当且仅当 x1 ? x2 ? ? ? xn 时等号成立. ? i ?1 ? i ?1
若令 qi=pi/(p1+?+pn),其中 p1,?,pn 是任意正数.则琴生不等 式(2)变成:

在(2)或(3)式中,f(x)取不同的凸函数,便得不同的不等式. 例 1 令 f(x)=xk,x≥0,k>1,则 f(x)是 R+上的凸函数,因此有

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例 2 令 f(x)=lgx,x>0,则 f(x)是 R+上的凹函数,故有

取反对数,得

此即加权平均不等式.

1.设 a i 全是正数,且 s ?
n ? 2 .求证:

1? n ? ,且 n ? m , ? ? ai ? ? ai ( i ? 1 , 2 ,?, n ) m ? i ?1 ?

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(1) ?
i ?1 n

n

s ? ai n?n ? m? ; ? ai m ai nm . ? s ? ai n ? m

(2) ?
i ?1

证明:不妨设 a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 ,于是

s ? an ? s ? an?1 ? ? ? s ? a1 ,

1 1 1 ? ? ? ? .由切比雪夫不等式得 an an?1 a1

1 n s ? ai ? 1 n ?? 1 n 1 ? ? ? ?s ? ai ??? ? ? ? n i ?1 ai ? n i ?1 ?? n i ?1 ai
又由均值不等式知

? ?n ? m?s ? 1 n 1 ?? ?? ? ? ?n a n ? ? i ?1 i

? ?. ? (*) ?

n

?a
i ?1

n

1
i

?

n 1 n ? ai .又 ? ai ? m s,所以 n i ?1 i ?1

1 n 1 ? ? n i ?1 ai

n

?a
i ?1

n

?
i

n ,而 n ? m ,代入(*)后整理可得(1)成立. ms

另一方面
1 1 1 , a1 ? a2 ? ? ? an .由切比雪夫不等式得 ? ??? s ? a1 s ? a2 s ? an

?1 n 1 1 n ai ?s?a ??n?s?a ? n i ?1 i i ? i ?1
由均值不等式:

?? 1 n ? ?? ? ai ? . (**) ? n ?? i ?1 ?

n

?s?a
i ?1
n i ?1

n

1

?
i

n 1 n ?s ? ai ? ? ns ? m s ,故 1 ? 1 ? n . ? n i ?1 n n i ?1 s ? ai ?n ? m ?s

又 ? ai ? m s ,代入(**)整理后可得(2)成立.

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2. 有十人各拿一只水桶去打水, 如果水龙头灌满第 i 个人的水桶需要 t i 分 钟,且这些 t i ( i ? 1 , 2 ,?, 10 )各不相等,试问: (1)只有一只水龙头供水时,应如何安排这十个人打水的次序,使他们 花费的总时间最少?这个最少的总时间是多少? (2)若有两个相同的水龙头供水时,应如何安排这十个人的次序,使他 们花费的总时间最少?这个最少的总时间是多少? 解: (1)设安某次序打水时水龙头灌满第 i 个人的水桶需要 s i 分钟,则第 一人花费的时间为分钟,第二人花费的时间为 ?s1 ? s2 ? 分钟,??,第十人花 费的时间为 ?s1 ? s2 ? ? ? s10 ?分钟.总的花费时间为

s1 ? ?s1 ? s2 ? ? ?? ?s1 ? s2 ? ? ? s10 ? ? 10s1 ? 9s2 ? ? ? 2s9 ? s10 .
其中,序列 s1 , s2 ,?, s10 是 t1 , t 2 ,?, t10 的一个排列.由题设各 t i 各 不相同,不妨设 t1 ? t 2 ? ? ? t10 ,则由排序原理知

10s1 ? 9s2 ? ? ? 2s9 ? s10 ? 10t1 ? 9t 2 ? ? ? 2t9 ? t10 .
即安任意一个次序打水花费的总时间不小于安如下顺序打水的时间:先安 打水所需时间从小到大依次排队,然后逐个打水.即此时花费时间最省,总花 费的时间为( 10t1 ? 9t 2 ? ? ? 2t9 ? t10 )分钟. (2)如果有两个水龙头,设总时间最少时有 m 个人在第一个水龙头打水, 设依次所需时间为 p1 , p2 ,?, p m ;有 10 ? m 个人在第二个水龙头打水,依 次所需时间设为 q1 ,q2 ,?,q10?m .显然必有一个水龙头的打水人数不少于 5 人,不妨设为第一个水龙头,也不可能有一个水龙头没人去打水,则
5 ? m ? 10 .由(1)知:

p1 ? p2 ? ? ? pm , q1 ? q2 ? ? ? q10?m .
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总花费的时间为:

T ? mp1 ? ?m ? 1? p2 ? ? ? pm ? ?10 ? m?q1 ? ?9 ? m?q2 ? ? ? q10?m .
其中 ?p1 , p2 ,?, pm , q1 , q2 ,?, q10?m ? ? ?t1 , t 2 ,?, t10 ?, t1 ? t 2 ? ? ? t10 . 首先我们来证明 m ? 5 .若不然,我们让在第一个水龙头打水的第一人到 第二个水龙头的第一位去,则总花费的时间变为:

T ? ? ?m ? 1? p2 ? ? ? pm ? ?11? m? p1 ? ?10 ? m?q1 ? ? ? q10?m .
T ? T ? ? ?2m ? 11? p1 ? 0 .
即当 m ? 5 时,我们让第一水龙头的第一人到第二水龙头去后,总时间减 少.故在 m ? 5 时,总时间可能取得最小值. 由于 m ? 5 ,故两个水龙头人一样多.总用时为:

T ? ?5 p1 ? 4 p2 ? 3 p3 ? 2 p4 ? p5 ? ? ?5q1 ? 4q2 ? 3q3 ? 2q4 ? q5 ? .
由于

p1 ? p2 ? ? ? p5 , q1 ? q2 ? ? ? q5 .
不妨设 p1 ? t1 .下证 q1 ? p2 .否则我们交换用时为 q1 , p2 的两人的位置 后,总用时变为

T ?? ? ?5 p1 ? 4q1 ? 3 p3 ? 2 p4 ? p5 ? ? ?5 p2 ? 4q2 ? 3q3 ? 2q4 ? q5 ? ,
T ? T ?? ? q1 ? p2 ? 0 .
即经交换后总时间变少.故 q1 ? p2 .也即 q1 ? t 2 . 类似地我们可以证明: pi ? qi ? pi ?1 ( i ? 1 , 2 , 3 , 4 ) p5 ? q5 .从而 , 最省时的打水顺序为: 水龙头一: t1 , t 3 , t 5 , t 7 , t 9 ;水龙头二: t 2 , t 4 , t 6 , t 8 , t10 . 其中: t1 ? t 2 ? ? ? t10 .
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3.在 ?ABC 中,求证下列各不等式: (1) sin A ? sin B ? sin C ? (2) tan
3 3 ; 2

A B C ? ? tan ? tan ? 3 tan ,其中 m ? N 且 m ? 2 . m m m 3m

证明: (1)考查正弦函数 y ? sin x ,在 ?0, ? ? 为上凸函数,故
sin A ? sin B ? sin C A? B ?C ? 3 . ? sin ? sin ? 3 3 3 2

即 sin A ? sin B ? sin C ?

3 3 . 2
x ,在 ?0, ? ? 上是凸函数. m

(2)考查函数 f ? x ? ? tan

x? y . 2 1 证明:考查函数 f ?x ? ? x ln x ( x ? 0 ) ,其二阶导数 f ??? x ? ? ? 0 ,故其为 x

6.设 x ? 0 , y ? 0 ,证明: x ln x ? y ln y ? ?x ? y ? ln

凸函数.所以
? x ? y ? f ?x ? ? f ? y ? , f? ?? 2 ? 2 ?


x? y x? y 1 ln ? ?x ln x ? y ln y ? . 2 2 2

7.对正数 a1 , a2 ,?, an , 若 k ? 1 或 k ? 0 ,则
k k a1k ? a 2 ? ? ? a n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ?? ? ; n n ? ? k

若 0 ? k ? 1 ,则
k k a1k ? a 2 ? ? ? a n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ?? ? . n n ? ? k

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证明:考查函数 f ?x? ? x k ( x ? 0 ) .其二阶导数 f ???x ? ? k ?k ? 1?x k ?2 . 当 k ? 0 或 k ? 1 时, f ???x? ? 0 ,故函数 f ?x? ? x k ( x ? 0 )为凸函数; 当 0 ? k ? 1 时, f ???x? ? 0 ,故函数 f ?x? ? x k ( x ? 0 )为上凸函数. 以下由琴生不等式立得. 8.已知正实数 a i ( i ? 1 , 2 ,?, n )满足 ? ai ? 1 .
i ?1
n ? 1 求证: ? ? ai ? ? ai i ?1 ?

n

? ? 1 ? ? ?n ? ? . ? ? ? n? ?
n

5 ? ?x 2 ? 2 ? 1? ? ? 0, 证明:考查函数 f ?x ? ? ln? x ? ? , x ? ?0,1? .因 f ??? x ? ? 2 x? ? x?1 ? x 2 ?
2

?

?

故该函数为凸函数. 而 0 ? ai ? 1 ( i ? 1 , 2 ,?, n ) ,所以

? n ? ? ai 1? n ? 1 ?? ? i ?1 ? n ?? ln? ai ? ?? ? ln? n ? ? n ? i ?1 ? ai ?? n ? ? ai i ?1 ?
去掉对数符号立得.

? ? n ? ? ln? n ? 1 ? . ? ? ( ? ai ? 1 ) ? n? ? i ?1 ? ?

4.设 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 0 ,实数 p , q 都不为零,且 t ? p ? q .则 (1)若 p , q 同号,则

1 n t ? 1 n p ?? 1 n q ? ? xi ? ? n ? xi ?? n ? xi ? ; n i ?1 ? i ?1 ?? i ?1 ? 1 n t ? 1 n p ?? 1 n q ? ? xi ? ? n ? xi ?? n ? xi ? . n i ?1 ? i ?1 ?? i ?1 ?

(2)若 p , q 异号,则

证明:当 p , q 同号时,两者都是正数,由不等式单调性得
q q x1p ? x2p ? ? ? xnp , x1q ? x2 ? ? ? xn ,由切比雪夫不等式得(1)成立;

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当 p ,q 异号时, 假设 p ? 0 ,q ? 0 , 由不等式单调性得 x1p ? x2p ? ? ? xnp ,
q q x1q ? x2 ? ? ? xn ,由切比雪夫不等式得(2)成立;

5.设 a 、 b 、 c 为某一三角形三边长,求证:

a 2 ?b ? c ? a? ? b 2 ?c ? a ? b? ? c 2 ?a ? b ? c? ? 3abc.
证明:不妨设 a ? b ? c ,易证 a?b ? c ? a ? ? b?c ? a ? b? ? c?a ? b ? c ? .由排 序原理得

a 2 ?b ? c ? a? ? b 2 ?c ? a ? b? ? c 2 ?a ? b ? c?
? a ? b?c ? a ? b? ? b ? c?a ? b ? c? ? c ? a?b ? c ? a? ? 3abc .
6.设 x1 ? x2 ? ? ? xn , y1 ? y2 ? ? ? yn .求证:

? ?x
i ?1

n

i

? y i ? ? ? ? xi ? z i ? .
2 2 i ?1

n

其中 z 1 , z 2 ,?, z n 是 y1 , y 2 ,?, y n 的任意一个排列. 证明:要证 ? ?xi ? yi ? ? ? ?xi ? z i ? ,只要证
2 2 i ?1 i ?1 n n

? ?x
n i ?1 n i ?1

2 i

? yi2 ? ? ?2 xi yi ? ? ? xi2 ? z i2 ? ? ?2 xi z i ? .只要证
i ?1 i ?1 i ?1 n

?

n

n

?

?

n

? xi y i ? ? xi z i .
i ?1

由题设及排序原理上式显然成立. 7.在 ?ABC 中求证:

? 6; A B C sin sin sin 2 2 2 A B C (2) cot ? cot ? cot ? 3 3 ; 2 2 2
(1)
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1

?

1

?

1

证明: (1)考查函数 y ?

1 ? ?? ,其在 ? 0, ? 上为凸函数; sin x ? 2?

(2)考查函数 f ?x ? ? ln cot

x ? ?? ,在 ? 0, ? 上是凸函数.证明如下: 2 ? 2?

即证

1 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ?? ? f ? x1 ? x2 ? . ? ? 2 ? 2 ?
x1 x x x ? ln cot 2 ? ln cot 1 cot 2 2 2 2 2

f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ? ln cot

x ? x2 ? 2 cos 1 ? 2 ? ln?1 ? x1 ? x 2 x ? x2 ? ? cos 1 ? cos 2 2 ?

x ? x2 ? ? 2 cos 1 ? ? 2 ? ? ln?1 ? x1 ? x 2 ? ? ? 1 ? cos ? 2 ? ?

? ? ? ? ? ?

? 2 ln cot

x1 ? x 2 ? x ? x2 ? ? 2f? 1 ? .证毕. 4 ? 2 ?

8.设 0 ? xi ? ? , i ? 1 , 2 ,?, n .那么 (1)

1 n ?1 n ? sin xi ? sin? ? xi ? ; ? n i ?1 ? n i ?1 ?
n n

? ? 1 n ?? (2) ? sin xi ? ?sin ? ? xi ?? . i ?1 ? ? n i ?1 ??

证明: (1)考查函数 f ?x ? ? sin x ,其在 ?0, ? ? 上为凸函数. (2)考查函数 f ?x ? ? ln sin x ,其在 ?0, ? ?上为凸函数.证明如下: 令 x1 , x2 ? ?0, ? ? ,则

sin x1 sin x2 ?

1 ?cos ?x1 ? x2 ? ? cos ?x1 ? x2 ?? 2
2

x ? x2 ? 1 ? ? ?1 ? cos ?x1 ? x 2 ?? ? ? sin 1 ? . 2 2 ? ?
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将上述不等式两端取自然对数,得
ln sin x1 ? ln sin x 2 ? 2 ln sin x1 ? x 2 , 2


ln sin x1 ? ln sin x 2 x ? x2 ? ln sin 1 . 2 2

故函数 f ?x ? ? ln sin x 在 ?0, ? ?上为凸函数. 由琴生不等式

1 n ?1 n ? ln sin xi ? ln sin? ? xi ? . ? n i ?1 ? n i ?1 ?

? ? 1 n ?? ? sin xi ? ?sin? n ? xi ?? . i ?1 ? ? i ?1 ??
n n

4.平均值不等式 设 a1, a2 ,?, an ? R? ,对于 n ? N ? ,则

a12 ? a22 ? ? ? an 2 a1 ? a2 ? ? ? an n n ? ? a1a2 ?an ? 1 1 1 n n ? ?? ? a1 a2 an
其中等号当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 时成立。 以下为阅读材料 5.贝努利不等式 (1) 设 , 且同号, 则

(2)设

,则
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(ⅰ)当 (ⅱ) 当 等号成立。 或

时,有 时, 有

; , 上两式当且仅当 时

不等式(1)的一个重要特例是 ( 6.艾尔多斯—莫迪尔不等式 设P为 内部或边界上一点,P 到三边距离分别为 PD,PE,PF,则 , 当且仅当 为正三角形,且 P 为三角形中心时上式取等号。 )

这是用于几何问题的证明和求最大(小)值时的一个重要不等式。 7.幂平均不等式 8.权方和不等式

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