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2016高考数学(理)一轮突破热点题型:第2章 第2节 函数的单调性与最值


第二节

函数的单调性与最值

考点一

函数单调性的判断与证明

[例 1] 已知函数 f(x)= x2+1-ax,其中 a>0. (1)若 2f(1)=f(-1),求 a 的值; (2)证明:当 a≥1 时,函数 f(x)在区间[0,+∞)上为单调减函数. [自主解答] (1)由 2f(1)=f(-1),可得 2 2-2a= (2)证明:任取 x1,x2∈[0,+∞),且 x1<x2, f(x1)-f(x2)= = = x2 1+1-
2 x1 -x2 2 2 x1 +1+

2+a,所以 a=

2 . 3

x2 1+1-ax1-

x2 2+1+ax2

x2 2+1-a(x1-x2) x2 2+1 -a(x1-x2)

=(x1-x2)? ∵0≤x1<

x1+x2 ? -a? ?. 2 ? x1+1+ x2 ? 2+1 x2 1+1,0<x2< x2 2+1,∴0< x1+x2 <1. 2 x1+1+ x2 2+1

又∵a≥1,∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)在区间[0,+∞)上为单调减函数. 【方法规律】 利用定义证明函数单调性的步骤 取值 ― → 作差 ― → 变形 ― → 确定符号 ― → 得出结论

ax 试讨论函数 f(x)= 2 ,x∈(-1,1)的单调性(其中 a≠0). x -1 解:设-1<x1<x2<1,则 f(x1)-f(x2)= ax1 ax2 a?x2-x1??x1x2+1? - 2 = . 2 x2 - 1 x ?x2 1 2-1 1-1??x2-1?

2 ∵-1<x1<x2<1,∴x2-x1>0,x2 1-1<0,x2-1<0,-1<x1x2<1,∴x1x2+1>0.

1



?x2-x1??x2x1+1? >0.因此,当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0, 2 ?x1 -1??x2 2-1?

∴f(x1)>f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数; 当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2),此时函数在(-1,1)上为增函数.

考点二

求函数的单调区间

[例 2] 求下列函数的单调区间: 1 (1)y=-x2+2|x|+1;(2)y=log (x2-3x+2). 2

[自主解答]

2 2 ? ? ?-x +2x+1?x≥0?, ?-?x-1? +2?x≥0?, (1)由于 y=? 2 即 y=? 2 ?-x -2x+1?x<0?, ?-?x+1? +2?x<0?. ? ?

画出函数图象如图所示,单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0] 和[1,+∞).

1 (2)令 u=x2-3x+2,则原函数可以看作 y=log u 与 u=x2-3x+2 的复合函数. 2 令 u=x2-3x+2>0,则 x<1 或 x>2. 1 ∴函数 y=log (x2-3x+2)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞). 2 3 又 u=x2-3x+2 的对称轴 x= ,且开口向上. 2 ∴u=x2-3x+2 在(-∞,1)上是单调减函数,在(2,+∞)上是单调增函数. 1 1 而 y=log u 在(0,+∞)上是单调减函数,∴y=log (x2-3x+2)的单调减区间为(2,+ 2 2 ∞), 单调增区间为(-∞,1). 【互动探究】 若将本例(1)中的函数变为“y=|-x2+2x+1|”,则结论如何?

2

解:函数 y=|-x2+2x+1|的图象如图所示.由图象可知,函数 y=|-x2+2x+1|的单调 递增区间为(1- 2,1)和(1+ 2,+∞);单调递减区间为(-∞,1- 2)和(1,1+ 2).

【方法规律】 函数单调区间的求法 (1)函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先求出函 数的定义域.对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、对数 函数、指数函数等. (2)如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的 单调性,再根据“同则增,异则减”的法则求解函数的单调区间.

求函数 y= x2+x-6的单调区间. 解:令 u=x2+x-6,y= x2+x-6可以看作 y= u与 u=x2+x-6 的复合函数. 由 u=x2+x-6≥0,得 x≤-3 或 x≥2. ∵u=x2+x-6 在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,而 y= u在(0,+ ∞)上是增函数.∴y= x2+x-6的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞).

高频考点

考点三

函数单调性的应用

1.高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现,有时也应用于解答题中 的某一问中. 2.高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角度: (1)利用函数的单调性比较大小; (2)利用函数的单调性解决与抽象函数有关的不等式问题; (3)利用函数的单调性求参数; (4)利用函数的单调性求解最值(或恒成立)问题. [例 3] (1)(2014· 济宁模拟)已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称,当 1? x2>x1>1 时,[f(x2)-f(x1)]· (x2-x1)<0 恒成立,设 a=f? ?-2?,b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的 大小关系为( A.c>a>b C.a>c>b ) B.c>b>a D.b>a>c

3

(2)(2013· 天津高考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递 1 增.若实数 a 满足 f(log2a)+f(log a)≤2f(1),则 a 的取值范围是( 2 A.[1,2] 1 ? C.? ?2,2? 1? B.? ?0,2? D.(0,2] )

? ??3a-1?x+4a,x<1, f?x1?-f?x2? (3)已知函数 f(x)=? 满足对任意的实数 x1≠x2 都有 <0 成 x1-x2 ?logax,x≥1 ?

立,则实数 a 的取值范围为( A.(0,1) 1 1? C.? ?7,3?

) 1? B.? ?0,3? 1 ? D.? ?7,1?

1 1 (4)函数 f(x)= 在区间[a,b]上的最大值是 1,最小值是 ,则 a+b=________. 3 x-1 [自主解答] (1)根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,且在(1,+∞)上是 减函数. 1? ?5? a=f? ?-2?=f?2?,所以 b>a>c. 1 (2)由已知条件得 f(-x)=f(x),则 f(log2a)+f(log a)≤2f(1)?f(log2a)+f(-log2a)≤2f(1)? 2 f(log2a)≤f(1) ,又 f(log2a) = f(|log2a|) 且 f(x) 在 [0 ,+ ∞) 上单调递增,所以 |log2a|≤1 ? - 1 1≤log2a≤1,解得 ≤a≤2. 2 3a-1<0, ? ? (3)据题意要使原函数在定义域 R 上为减函数,只需满足?0<a<1, ? ??3a-1?×1+4a≥loga1, 1 1 解得 ≤a< . 7 3 (4)易知 f(x)在[a,b]上为减函数, f?a?=1, ?a-1=1, ? ? ∴? 即? 1 1 1 f?b?= , ? 3 ? ? =3, b-1 [答案] (1)D (2)C (3)C (4)6 1
?a=2, ? ∴? ∴a+b=6. ?b=4. ?

函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

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(1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函 数的单调性解决. (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号 脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数.①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数 的单调区间,与已知单调区间比较求参数;②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该 函数在此区间的任意子集上也是单调的. (4)利用单调性求最值.应先确定函数的单调性,然后再由单调性求出最值.

1? 1.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f? ?x?>f(1)的实数 x 的取值范围是( A.(-∞,1) C.(-∞,0)∪(0,1) B.(1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

)

x-1 1 解析:选 D 依题意得 <1,即 >0,所以 x 的取值范围是 x>1 或 x<0. x x 2.(2014· 杭州模拟)已知减函数 f(x)的定义域是实数集 R,m、n 都是实数.如果不等式 f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立,那么下列不等式成立的是( A.m-n<0 C.m+n<0 B.m-n>0 D.m+n>0 )

解析:选 A 设 F(x)=f(x)-f(-x),由于 f(x)是 R 上的减函数, ∴f(-x)是 R 上的增函数,-f(-x)是 R 上的减函数,∴F(x)为 R 上的减函数, ∴当 m<n 时,有 F(m)>F(n),即 f(m)-f(-m)>f(n)-f(-n)成立, 因此当 f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立时,不等式 m-n<0 一定成立,故选 A. x 3.已知 f(x)= (x≠a),若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,则 a 的取值范围为 x-a ________. 解析:任设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= a?x2-x1? x1 x2 - = . x1-a x2-a ?x1-a??x2-a?

∵a>0,x2-x1>0,∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立. ∴a≤1.综上所述,a 的取值范围是(0,1]. 答案:(0,1]

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悟]———————————————— ?1 个防范——函数单调区间的表示
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单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写, 不能用符号“∪”联结,也不能用“或”联结. ?2 种形式——单调函数的两种等价变形 设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么 f?x1?-f?x2? f?x1?-f?x2? (1) >0?f(x)在[a,b]上是增函数; <0?f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 x1-x2 (2)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a, b]上是减函数. ?2 条结论——函数最值的有关结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一 定在端点取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值). ?3 种方法——函数单调性的判断方法 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论. (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数. (3)图象法:利用图象研究函数的单调性.

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