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2017优化方案高考总复习·数学理(江苏专用)第十章第5讲知能训练轻松闯关


1.(2016· 江苏省四校联考)如图,已知 AB 为半圆 O 的直径,点 C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD,过点 A 作 AD⊥CD 于点 D.求证:AC 平分∠BAD. 证明:连结 OC, 因为 CD 与半圆 O 相切于点 C,所以 OC⊥CD, 又因为 AD⊥CD,所以 OC∥AD, 所以∠OCA=∠DAC. 又∠OAC =∠OCA,所以∠BAC =∠DAC, 即 AC 平分∠BAD. 2.(2016· 苏州中学高三检测)如图,AB 是⊙O 的直径,C、E 为⊙O 上的点,且 AC 平 分∠BAE,DC 是⊙O 的切线,交 AE 的延长线于点 D.求证:CD⊥AE. 证明:连结 OC,所以∠OAC=∠OCA, 又因为 AC 平分∠BAE,所以∠OAC=∠EAC. 于是∠EAC=∠OCA,所以 OC∥AD. 又因为 DC 是⊙O 的切线,所以 CD⊥OC,CD⊥AE. 3.(2016· 南京六校联考)如图,AB 是⊙O 的一条切线,切点为 B,直线 ADE、CFD、 CGE 都是⊙O 的割线,已知 AC=AB. 求证:FG∥AC. 证明:因为 AB 为切线,AE 为割线,所以 AB2=AD· AE, 2 又因为 AC=AB,所以 AD· AE=AC . AD AC 所以 = ,又因为∠EAC=∠CAD, AC AE 所以△ADC∽△ACE, 所以∠ADC=∠ACE, 又因为∠ADC=∠EGF, 所以∠EGF=∠ACE, 所以 GF∥AC. 4.(2016· 唐山摸底) 如图,AB 为圆 O 的直径,CB 是圆 O 的切线,弦 AD∥OC. (1)证明:CD 是圆 O 的切线; (2)AD 与 BC 的延长线相交于点 E,若 DE=3OA,求∠AEB 的大小. 解:(1)证明:连结 BD,与 OC 交于点 F, 因为 AB 为圆 O 的直径,所以 AD⊥BD, 又 AD∥OC,故 OC⊥BD,且 BF=DF, 所以 CD=CB,连结 OD,则△OCD≌△OCB, 由 CB⊥OB 得 CD⊥OD,所以 CD 是圆 O 的切线. (2)设 OA=1,AD=x,则 AB=2,AE=x+3, 由 AB2=AD· AE,即 x(x+3)=4 得,x=1. 则∠OAD=60°,∠AEB=30°. 5.(2016· 江苏省淮阴中学月考)已知 AB 是圆 O 的直径,P 是上半圆上的任意一点,PC 是∠APB 的平分线,E 是下半圆的中点. 求证:直线 PC 经过点 E. 证明: 连结 AE,EB,OE,则∠AOE=∠BOE=90°. 因为∠APE 是圆周角,∠AOE 为同弧上的圆心角, 1 所以∠APE= ∠AOE=45°. 2 同理可得,∠BPE=45°,所以 PE 是∠APB 的平分线. 又 PC 也是∠APB 的平分线,∠APB 的平分线有且只有一条,所以 PC 与 PE 重合. 所以直线 PC 经过点 E. 6.(2016· 泰州模拟)如图,CD 是圆 O 的切线,切点为 D,CA 是过圆心的割线且交圆 O 1 于 B 点,过 B 作⊙O 的切线交 CD 于点 E,DE= EC. 2 求证:(1)CA=3CB; (2)CA= 3CD. 证明: (1)因为 CD 是圆 O 的切线, 所以 CD2=CA· CB, 连结 OD,则 OD⊥CD, 因为 BE 是圆 O 的切线, 所以 BE=ED, 1 1 1 又 DE= EC,所以 BE= EC,所以∠C=30°,则 OD= OC, 2 2 2 而 OB=OD,所以 CB

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