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等差数列的性质


等差数列的性质
兴平市南郊高级中学 王党爱 一、教学目标 1. 知识与技能:明确等差中项的概念;能利用等差数列的性质解决相关问题。 2. 过程与方法:从等差中项出发猜想归纳出等差数列的性质,并进行验证和应用。 3. 情感、态度与价值观:通过对等差数列性质的研究,使学生体验从特殊到一般、又从一 般到特殊认识事物的规律,养成细心观察认真分析,善于总结的良好思维习惯;培养学

生主动探索、勇于发现的求知精神。 二、教学重点 等差中项;等差数列的性质。 三、教学难点: 灵活应用等差数列的性质解决具体问题。 四、教学过程 1.课题导入 上节课我们从函数的角度研究了等差数列的图像与单调性: 当公差 d>0 时, ?a n ?为递增数列; 当公差 d﹤0 时, ?a n ?为递减数列; 当公差 d=0 时, ?a n ?为常数列; 这节课我们继续探索等差数列的性质。 2.讲授新课 问题 1:观察如下的两个数之间,插入一个什么数后,就会成为一个等差数列? (1)1, 5 (2)-1, 5 (3)-12, 0 (4)0, 0 性质一: 如果在 a 和 b 之间插入一个数 A,使 a,A,b 成等差数列, 那么 A 就叫作 a 和 b 的等差 中项。 用等式表示:由定义得 A-a=b-A ? 2A=a+b ? A ?

a?b ; 2

反之, A ?

a?b ,则 a、A、b 成等差数列。 2

例1. 求下列两个数的等差中项。 (1)30 和 18 (2)-13 和 9 练习 1:若 m 和 2n 的等差中项为 4,2n 和 m 的等差中项为 5,则 m 与 n 的等差中项为



问题 2:数列 ?a n ?的通项公式为 a n ? 2n ? 1 ,请问它是等差数列吗?你能写出它的前 9 项 吗? a 3 是哪些项的等差中项? a 4 是哪些项的等差中项? a5 呢? …

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

1 分析:

3

5

7

9

11

13

15

17



可以看出 a 3 ?

a2 ? a4 a ? a5 , a3 ? 1 所以 a 2 ? a4 ? a1 ? a5 2 2

a4 ?

a3 ? a5 a ? a6 , a4 ? 2 所以 a 3 ? a5 ? a 2 ? a6 2 2 a4 ? a6 a ? a7 , a5 ? 3 所以 a 4 ? a6 ? a 3 ? a7 2 2

a5 ?
……

观察以上等式猜想:若 m+n=p+q,则 a m ? an ? a p ? aq (m,n,p,q ? N ? ) 证明:学生动手验证。 性质二:数列 ?a n ?是等差数列,m,n,p,q ? N ? 且 m+n=p+q,则 a m ? an ? a p ? aq 注意: (1)通常由 a m ? an ? a p ? aq 推不出 m+n=p+q; (2)推广:在等差数列 ?a n ?中, a1 ?a n ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ... ? ak ? an?k ?1 (k ? Z ). 例 2. 在等差数列 ?a n ?中,已知 a 2 ? a 3 ? a 23 ? a 24 ? 48 ,求 a13 . 练习 2: (1)在等差数列 ?a n ?中,已知 a 3 ? a11 ? 10 ,求 a 6 ? a 7 ? a 8 的值。 (2) 在等差数列 ?a n ?中,若 a1 ? a6 ? 9, a4 ? 7, 求a 3 和a9 . 例 3.在等差数列 ?a n ?中,已知 a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 56 ,a 4 a7 ? 187, 求a14 及 公 差 d. 练习 3:已知 a 2 ? a 3 ? a4 ? a5 ? 34 ,a 2 a5 ? 52, 求 公 差 d. 例 4.在-1 与 9 之间顺次插入 a,b,c 三个数,使这 5 个数成等差数列,求插入的三个数及等差 数列的公差。 3 课堂测验 (1)-2 与 6 的等差中项是 ;1- 2 与 1+ 2 的等差中项是 。 。 。

(2) 在等差数列 ?a n ?中, a 3 ? a8 ? 22, a6 ? 7, 则a5 ?

(3)在等差数列 ?a n ?中, a 3 ? a7 ? 37, 则a 2 ? a4 ? a6 ? a8 ?

4.课时小结:本节的小结由学生来完成。回顾总结本节探究了等差数列的哪些重要知识?你 是如何通过旧知识来获取新知识的?你在这节课里最大的收获是什么?

五、作业 1.已知 ? ABC 的三个内角的度数成等差数列,求其中间一项的度数。 2. 在等差数列 ?a n ?中, a 2 ? a 6 ? 六、拓展 若 log3 2, log3 (2 x ? 1), log3 (2 x ? 11) 成等差数列,则 x 的值为( A.7 或-3 B. log3 7 C. log2 7 D.4 )

3? ? ,求 sin(2 a 4 ? )的值。 2 3

七、板书设计 八、课后反思


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