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平面向量的基本概念及其线性运算


龙文教育一对一个性化辅导教案
学生 科目 王歆怡 高中数学 学校 教师 恒福中学 年级 徐慧武 日期 高一 2016-4-4 次数 时段 第 4 次 17-19

课题 平面向量的基本概念及其线性运算
教学 重点 教学 难点 教学 目标
平面向量的基本概念、平面向量的线性运算法则

向量的综合运用 1.理解平面

向量的基本概念; 2.掌握平面向量的线性运算法则. 一、教学衔接: 1.通过沟通了解学生的思想动态和学生在校的学习内容; 2.检查上次课的作业,并进行疑难解答. 二、内容讲解: 错题回顾 知识梳理 典例讲解 考点一:平面向量的基本概念---P3 考点二:平面向量的线性运算---P3 考点三:向量在平面几何中的应用---P4 巩固练习 三、课堂总结与反思: 带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结

教 学 步 骤 及 教 学 内 容

四、作业布置: 安排巩固练习中的部分题目让学生课后完成

管理人员签字:

日期:







1、学生上次作业评价: 备注: 2、本次课后作业:

○ 好

○ 较好

○ 一般

○ 差

作 业 布 置

课 堂 小 结

家长签字:

日期:







平面向量的基本概念及其线性运算
学生姓名: 授课时间:

【错题回顾】
【例 1】函数 y ? 3cos ?

?? ? ? 2 x ? 的递减区间是( ?3 ?
B. ? k? ?

).

A. ? k? ?

? ?

?
12

, k? ?

5? ? (k ?Z ) 12 ? ?
(k ?Z ) 6? ?

? ?

5? 11? ? (k ?Z ) , k? ? 12 12 ? ?

C. ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??

D. ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ?Z ) 3 ? ?

?? ? 【例 2】已知函数 f ( x) ? A sin ? ? x ? ? ? A ? 0, ? ? 0 ? 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标 6? ?
分别为 ? x0 , 2? 和 ? x0 ?

? ?

?

? , ?2 ? ,则函数 f ( x) 的解析式是 2 ?

.

【例 3】已知函数 f ? x ? ?

?? ? 2a sin ? x ? ? ? a ? b . 4? ?

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调递减区间; (2)当 a ? 0 时,在 ? 0, ? ? 上的值域为 ? 2,3? ,求 a , b 的值.

【知识梳理】
◆ 知识点 1:平面向量的基本概念 1.向量:既有大小、又有方向的量叫做向量.
??? ? ??? ? ??? ? 2.向量的模:向量 AB 的大小,称作向量 AB 的长度(或称模) ,记作 AB .

3.零向量:长度为 0 的向量叫做零向量,记作 0 . 4.单位向量:长度等于 1个单位的向量,叫做单位向量.

?

5.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.如向量 a, b 平行,记作 a∥b . 注意:①规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量 a ,都有 0∥a ; ②由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上,故平行向量也叫做共线向量. 6.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 7.相反向量:与向量 a 长度相等,方向相反的向量,叫做向量 a 的相反向量,记作 ? a . ◆ 知识点 2:平面向量的线性运算 1.向量加法运算的几何意义:
??? ? ??? ? ???? ①向量加法的三角形法则:如图 1,根据定义,有 AB ? BC ? AC ;②向量加法的平行四边形法则:如图 2,以

? ?

? ?

?

? ?

?

?

?

同一点 A 为起点的两个已知向量 a, b 为邻边作平行

? ?

四边形 ABCD , 则以 A 为起

? ? ???? 点的对角线 AC 就是向量 a 与 b 的和.

2.向量减法运算的几何意义:

? ? ??? ? ??? ? ??? ? 如图 3 所示,已知向量 a, b ,在平面内任取一点 O ,作 OA ? a , OB ? b ,则 BA ? a ? b ,即 a ? b 可以表示从
向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量(可简记为:共起点,连两终点,指向被减向量的终点).

图3 3.向量的数乘运算: (1)向量的数乘:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,对它的长度与方向规定如下: ① ?a ? ? a ; ②当 ? ? 0 时,?a 的方向与向量 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,?a 的方向与向量 a 的方向相反.

特别地,当 ? ? 0 时, ?a ? 0 . (2)设 ?,? 为实数, a,b 为向量,则有: ① ? (? a ) ? (?? )a ; ② (? ? ? )a ? ? a ? ? a (第一分配律) ; ③ ? (a ? b) ? ? a ? ? b (第二分配律) ; 特别地,有 (?? )a ? ?(? a) ? ? (?a) ; ? (a ? b) ? ? a ? ? b . 4.向量共线的条件:

如果向量 a (a ? 0) 与 b 共线,那么有且只有一个实数 ? ,使 b ? ?a ,即 b ∥ a (a ? 0) ? b ? ? a ( ? 唯一确定).

【典型例题】
考点一:平面向量的基本概念 【例 1】判断下列叙述是否正确: ①若 a ∥ b,b ∥ c ,则 a ∥c ; ②向量 b 与向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 ? ,使得 b ? ?a ;
??? ? ??? ? ③ AB ? BA ? 0 ;

④若 ?a ? ?b ,则 a ? b . 【变式 1】下列命题中正确的是( A.若 a ? b ,则 a ? b C.若 a ? b ,则 a ∥b 考点二:平面向量的线性运算 【例 1】化简: AB ? BD ? AC ? CD ? ( A. AD ).

B.若 a ? b ,则 a ? b D.若 a ? b ,则 a 与 b 不是共线向量

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

).

????

B. 0

?

C. BC

??? ?

D. DA

??? ?

【变式 1】在 △ ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2 DC ,则 AD ? (

??? ?
5 3

?

??? ?

?

??? ?

????

????

).

2 1 1 2 b? c D. b ? c 3 3 3 3 ??? ? ??? ? ??? ? 【变式 2】设 P 是 ?ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则( ).
A. B. c ? C. A. PA ? PB ? 0

2 1 b? c 3 3

2 b 3

??? ? ??? ?

B. PC ? PA ? 0

??? ? ??? ?

C. PB ? PC ? 0

??? ? ??? ?

D. PA ? PB ? PC ? 0

??? ? ??? ? ??? ?

【例 2】 在平行四边形 ABCD 中,BD ? 3ED ,AE 的延长线与 CD 交于点 F .若 AC ? a ,BD ? b , 则 AF ? ( A. ).

??? ?

??? ?

????

1 1 a? b 4 2

B.

3 1 a? b 4 4

C.

1 1 a? b 2 4

D.

1 3 a? b 4 4

??? ? ???? 【变式 3】四边形 ABCD 是以向量 AB ? m , AD ? n 为邻边的平行四边形, AC 与 BD 交于 O 点, M,N 分别

???? ? ???? ? ????? ???? ? 1 ???? ???? 1 ???? 是 BD,AC 上的点,且 DM ? DO , ON ? OC ,试用 m , n 表示 AM , AN , MN . 4 3

考点三:向量在平面几何中的应用 【例 1】在四边形 ABCD 中,如果 AB ? CD ? 0 ,那么四边形 ABCD 的形状是( A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 ) .

??? ? ??? ?

?

).

??? ? ??? ? ???? 【例 2】已知 A, B, C 是不共线的三点,G 是 △ABC 内一点,若 GA ? GB ? GC ? 0 ,则点 G 是 △ ABC 的(

A.垂心

B.外心

C.重心

D.内心

【变式 1】 O 为平面内的动点,A、B、C 是平面内不共线的三点,满足 OA ? OB ? ?OC ? 0 ,则点 O 轨迹必过

??? ? ??? ?

??? ?

?

?ABC 的(
A.垂心

) . B.外心 C.重心 D.内心 ) .

??? ? ??? ? ??? ? ? 【例 3】 设 O 在 ?ABC 的内部且满足 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 , 则 ?ABC 的面积与 △ AOC 的面积之比为 (
A. 2 B.

3 2

C. 3

D.

5 3

【巩固练习】
1.在平行四边形 ABCD 中, BC ? CD ? BA 等于( A. BC

??? ? ??? ? ??? ?
C. AB

).

D. AC ??? ? 2.如图所示, D 是 ?ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD ? ( B. DA

??? ?

??? ?

??? ?

????
).

C

D A B

??? ? 1 ??? ? ? BC ? BA 2 ??? ? 1 ??? ? B. ? BC ? BA 2 ??? ? 1 ??? ? C. BC ? BA 2 ??? ? 1 ??? ? D. BC ? BA 2
A.

3.如图,在 ?ABC 中,点 D 是 BC 边上靠近 B 的三等分点,则 AD ? (

).

A.

2 1 AB ? AC 3 3

B.

1 2 AB ? AC 3 3

C.

2 1 AB ? AC 3 3

D.

1 2 AB ? AC 3 3
).

4.设 | a |? m(m ? 0) ,与 a 反向的单位向量是 b0 ,则 a 用 b0 表示为( A. a ? mb0 B. a ? ?mb0 C. a ?

1 b0 m

D. a ? ?

1 b0 m

5. D、E、F 分别为 ?ABC 的边 BC、CA、AB 上的中点,且 BC ? a , CA ? b ,则下列命题中正确命题的个数 是( ).

① AD ? ? ③ CF ? ? A. 1 个

1 a?b; 2 1 1 a? b; 2 2
B. 2 个

② BE ? a ?

1 b; 2

④ AD ? BE ? CF ? 0 . C. 3 个 D. 4 个

6.在 ?OAB 中,点 P 在边 AB 上, PB ? 3 AP ,设 OA ? a , OB ? b ,则 OP ? (

uur

uu u r

uur

uu u r

uu u r

).

O b B P
C.

a A

A.

1 2 a? b 3 3

B.

2 1 a? b 3 3

1 3 a? b 4 4
??? ? ????

D.

3 1 a? b 4 4
????

7.在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O , AB ? AD ? ? AO ,则 ? ? _______. 8.如图, 在四边形 ABCD 中,DC ?

????

? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? AB ,E 为 BC 的中点,且 AE ? x ? AB ? y ? AD , 则 3x ? 2 y ? _______. 3
D E A B C

9.如图, G 是△ OAB 的重心, P 、 Q 分别是边 OA 、 OB 上的动点,且 P 、 G 、 Q 三点共线. (1)设 PG ? ? PQ ,将 OG 用 ? 、 OP 、 OQ 表示;

O

1 1 (2)设 OP ? xOA , OQ ? y OB ,证明: ? 是定值. x y
Q

P A

G
M
B


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