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专题四:分类讨论思想在解题中的应用


专题四:分类讨论思想在解题中的应用
一.知识探究: 分类讨论是一种重要的数学思想方法, 当问题的对象不能进行统一研究 时,就需要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的 结果,最终综合各类结果得到整个问题的解答。 1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类 讨论的原因大致可归纳为如下几种: (1) 涉及的数学概念是分类讨论的; 如绝对值|a|的定义分 a>0、 a=0、 a<0 三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 (2)运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的;如等 比数列的前 n 项和的公式, 分 q=1 和 q≠1 两种情况。这种分类讨论题型可 以称为性质型。 (3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性; (4)数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值导致不同的结果 的;如解不等式 ax>2 时分 a>0、a=0 和 a<0 三种情况讨论。这称为含参型。 (5)较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解 决的。 2.分类讨论是一种逻辑方法,在中学数学中有极广泛的应用。根据不 同标准可以有不同的分类方法,但分类必须从同一标准出发,做到不重复, 不遗漏 ,包含各种情况,同时要有利于问题研究; 3.分类原则: (1)对所讨论的全域分类要“即不重复,也不遗漏”(2) 在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行(3)对多级讨论,应逐级进行, 不能越级; 4.分类方法: (1)概念和性质是分类的依据(2)按区域(定义域或值域) 进行分类是基本方法(3)不定因素(条件或结论不唯一,数值大小的不确定, 图形位置的不确定)是分类的突破口(4)二分发是分类讨论的利器(4)层次 分明是分类讨论的基本要求; 5.讨论的基本步骤: (1)确定讨论的对象和讨论的范围(全域) (2)确 定分类的标准,进行合理的分类( 3)逐步讨论(必要时还得进行多级分类)
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(4)总结概括,得出结论; 6.简化和避免分类讨论的优化策略: (1)直接回避。如运用反证法、求 补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论; (2)变更主元。如分离参数、变 参置换,构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论; (3)合 理运算。 如利用函数奇偶性、 变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以 简化甚至避开讨论; (4)数形结合。利用函数图象、几何图形的直观性和对称 特点有时可以简化甚至避开讨论。 二.命题趋势 分类讨论思想是一种重要的数学思想, 它在人的思维发展中有着重要的作 用,因此在近几年的高考试题中,他都被列为一种重要的思维方法来考察。 分类讨论是每年高考必考的内容, 预测对本专题的考察为: 将有一道中档 或中档偏上的试题,其求解思路直接依赖于分类讨论,特别关注以下方面:涉 及指数、 对数底的讨论, 含参数的一元二次不等式、 等比数列求和, 由 S n 求 an 等。 三.例题点评 题型 1:集合中分类讨论问题 1.已知集合 M={a2, a+1,-3}, N={a-3, 2a-1, a2+1}, 若 M∩N={-3}, 则 a 的值( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 2 2 . 设 a ? R , 函 数 f ( x) ? ax ? 2x ? 2a. 若 f ( x) ? 0 的 解 集 为 A ,

B ? ?x |1 ? x ? 3?, A B ? ? ,求实数 a 的取值范围。

题型 2:函数、方程中分类讨论问题 3.在 xoy 平面上给定曲线 y 2 ? 2 x 。设点 A 坐标为(a,0) , a ? R 。求曲线上 的点到点 A 距离的最小值 d,并写出 d ? f (a) 的函数表达式。

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题型 3:解析几何中的分类讨论问题 4.一条直线过点(5,2) ,且在 x 轴,y 轴上截距相等,求这直线方程。

5.已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C:x2+y2=1,动点 M 到圆 C 的切线长 与|MQ|的比等于常数 λ (λ >0) 。求动点 M 的轨迹方程,说明它表示什么曲 线。

6. 设k ? R,问方程(8 ? k ) x 2 ? ( k ? 4) y 2 ? (8 ? k )( k ? 4) 表示什么曲线?

7.已知圆 x2+y2=4,求经过点 P(2,4) ,且与圆相切的直线方程。

题型 4:不等式中分类讨论问题 ( x ? 4a )( x ? 6a ) 1 8.解不等式 >0 (a 为常数,a≠- ) 2a ? 1 2

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9. 解关于x的不等式:ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0

1 10. 解关于x的不等式: log a (1 ? ) ? 1 x

11. 解不等式 5 ? 4 x ? x 2 ? x

。 题型 5:数列中分类讨论问题 12.设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 是前 n 项和。 ①. 证明:
lg S n ? lg S n ? 2 <lgS n?1 ; 2
lg( S n ? c ) ? lg( S n ? 2 ? c ) =lg(S n?1 -c)成立?并 2

②.是否存在常数 c>0,使得 证明结论。

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13.已知等比数列的前 n 项之和为 Sn ,前 n+1 项之和为 Sn ?1 ,公比 q>0,令
Tn ? Sn ,求 lim Tn 。 n?? S n ?1

14.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 满足条件

(Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 记 bn ? an pan ( p ? 0) , 求数列 ?bn ? 的前 n 项 和 Tn 。

S 2 n 4n ? 2 ? , n ? 1, 2, Sn n ?1



题型 6:三角函数与三角形中分类讨论问题 15. ?ABC中,已知 sin A ?
1 5 , cos B ? ,求 cos C . 2 13

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? ? 16.若函数 f(x)=a+bcosx+csinx 的图象经过点(0,1)和 ( ,1), 且x ? [0, ] 时, 2 2 |f(x)|≤2 恒成立,求实数 a 的取值范围。

题型 7:实际问题中分类讨论问题 17.某城市用水收费方法是:水费=基本费+超额费+排污费,若每月水量不超 过最低限量 am3 时,只付基本费 8 元和每户每定额排污费 c 元;若用水量超过 am3 时,除了付给同上的基本费和排污费外,超过部分每方米付 b 元的超额 费. 已知每户每月的排污费不超过 4 元, 该市一家庭今年第一季度的用水量和 支付费用如下表所示: 月份 1 2 3 用水量(m3) 8 15 13 水费(元) 9 19 15

18. 某车间有 10 名工人,其中 4 人仅会车工,3 人仅会钳工,另外三人车工钳工都会, 现需选出 6 人完成一件工作,需要车工,钳工各 3 人,问有多少种选派方案?

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