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顺义区2011-2012高三一模(理科)数学试题及答案


顺义区 2012 届高三第一次统练 高三数学(理科)试卷 2012.1

一. 选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四 个选项中,选出符合题目要求的一项) 1. 已知全集 U ? R , M ? ?x | 0 ? x ? 3? , N ? ?x | x ? 2? , M I (CU N ) ? ( A. ?x | 0 ? x ? 2? B. ?x | 0 ? x ? 3? C. ?x | 2 ? x ? 3? D. ?x | x ? 3? ( C. ?2 ? i D. ?2 ? i ) )

2.已知 i 为虚数单位,则 i(2i ? 1) ? A. 2 ? i B. 2 ? i

3.下列函数中,既是偶函数,又在区间 ? 0, ??? 上单调递减的函数为 ( A. f ( x) ? x ?1 B. f ( x) ? cos x C. f ( x) ? 2 x D. f ( x) ? log 1 x
2

)

4. 执行右边的程序框图,若 p ? 4 , 则输出的 S 值为 (
3 4 15 C. 16

)
7 8 31 D. 32

A.

B.

5.在直角坐标系 xoy 中,极点与原点重合,极 轴正半轴重合,已知圆 C 的参数方程为: ?
? x ? cos ? ? y ? 1 ? sin ?

轴 与 x
(? 为参数,

1

? ?R) ,则此圆圆心的极坐标为

(
?
2

) D. (1, ? )

A. (1, ? )
2

?

B. (1, 0)

C. (1, )

6. 设 等 差 数 列 ?an? 的 前 n 项 和 为 Sn , 则 a5 ? a6 ? 0 是 S8 ? S2 的 ( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

7.10 名同学进行队列训练,站成前排 3 人后排 7 人,现体育教师要从 后排 7 人中抽 2 人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同 调整方法的总数为 A. C72 A55 B. C72 A52 ( ) C. C72 A32 D. C72 A42

8.已知映射 f : P(m, n) ? P ' ( m , n ) (m ? 0, n ? 0) .设点 A(1,3), B(3,1) ,点 M 是线段 AB 上一动点, f : M ? M ' ,当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运 动到点 B 时,点 M 的对应点 M ' 所经过的路线长度为 ( A.
? 6

)

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

二.填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横 线上) 9.已知 sin ? ?
5 ,则 cos 2? ? _____________. 5

10. 抛 物 线 y 2 ? 16 x 的 焦 点 F 的 坐 标 为 __________, 点 F 到 双 曲 线
x2 ? 3 y 2 ? 12 的渐近线的距离为______________.

11. ( x ? )6 的展开式中,常数项为_____________.

2 x

2

12.如图所示: AB 是半径为 1 的圆 O 的直 径,BC ,CD 是圆 O 的切线,B, D 为切点, 若 ?ABD ? 300 , 则 AD ? OC 的 值 为 ________________.
O

A D

B

C

13. 已 知 两 个 非 零 向 量 a ? ( m ?1 , n ? 1, )
r r r b ? (m ? 3, n ? 3) ,且 a 与 b 的夹角为钝角或直角,则 n ? m 的取值范围

r

是________________. 14.已知函数 f ( x) ?
x ( x ? R ),给出下列命题: 1? x

(1)对 ? ? R ,等式 f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立; (2)函数 f ( x) 的值域为 ? ?1,1? ; (3)若 x1 ? x2 ,则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; (4)函数 g ( x) ? f ( x) ? x 在 R 上有三个零点. 其中正确命题的序号为___________ (把所有正确命题的序号都填上)

三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤) 15. (本小题共 13 分) 已知向量 a ? (
r r
r

r 3 1 , ? ) , b ? (1, 3) . 2 2

(Ⅰ)求证 a ? b ;
3

(Ⅱ)如果对任意的 s ? R ? ,使 m ? a ? (1? 2s)b 与 n ? ? k a ? (1 ? )b 垂直, 求实数 k 的最小值 .

u r

r

r

r

r

1 r s

16. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 4sin x cos( x ? ) ? 3 ( x ? R )
3

?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期与对称轴方程;
?? (Ⅱ)求 f ( x) 在 ? ?0, ? 上的最大值和最小值.
? 2?

17. (本小题共 13 分) 某学校教学实验楼有两部电梯,每位教师选择哪部电梯到实验室 的概率都是 ,且相互独立,现有 3 位教师准备乘电梯到实验室. (Ⅰ) 求 3 位教师选择乘同一部电梯到实验室的概率;
4

1 2

(Ⅱ)若记 3 位教师中乘第一部电梯到实验室的人数为 ? ,求 ? 的分 布列和数学期望.

18. (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)ekx ,( k 为常数, k ? 0 ). (Ⅰ)当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间;
5

(Ⅲ)若函数 f ( x) 在区间 ? 0,1? 上是单调增函数,求实数 k 的取值范围.

19. (本小题共 14 分) 已知椭圆 G : 标原点. (Ⅰ)求椭圆 G 的方程;
6

3 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,短轴长为 2 ,O 为坐 2 a b 2

m ? ( 1 , 1), n?( 2, (Ⅱ) 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) 是椭圆 G 上的两点,

u r

x y a b

r

x y2 ). a b

若 m ? n ? 0 ,试问 V AOB 的面积是否为定值?如果是请给予证明,如 果不是请说明理由.

u r r

20. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?
16 x ? 7 ,数列 {an } , {bn } 满足 a1 ? 0 , b1 ? 0 , 4x ? 4

an ? f (an?1 ) , bn ? f (bn?1 ) , n ? 2,3 ???

(Ⅰ)若 a1 ? 3 ,求 a2 , a3 ;
7

(Ⅱ)求 a1 的取值范围,使得对任意的正整数 n, 都有 an?1 ? an ; (Ⅲ)若 a1 ? 3, b1 ? 4, 求证: 0 ? bn ? a n ?
1 8 n ?1

, n ? 1, 2,3 ???

顺义区 2012 届高三第一次统练 高三数学(理科)试卷参考答案及评分标准 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 C
8

2012.1 7 B 8 C

5 C

6 A

二.填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)其它答案参考给分 9. ;10. (4,0), 2 ;11. 60 ;12. 2 ;13. (2, 6) ;14 . (1) , (2) , (3) ; 三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ) Q a ? (
r r r r 3 3 3 1 ? ?0 , ? ) , b ? (1, 3) ,? a ? b ? 2 2 2 2
3 5

r r ? a ? b ————4 分 r2 u r r u r r 1 r2 (Ⅱ) Q m ? n ,故? m ? n ?? 0 ,? ?ka ? (1 ? 2s)(1 ? )b ? 0 s r2 r2 r r Q | a |? 1,| b |? 2 ,? a ? 1, b ? 4 ;————8 分
1 ? k ? 4(2s ? ? 3) ,————10 分 s

注意到 s 为正实数, “=”当且仅当 s ? ? k ? 4(3 ? 2 2) ,
2 时成立——12 分 2

? k 的最小值为 4(3 ? 2 2) .————13 分.

16. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? 4sin x ? cos x ?
?2 ?1 ? 3 sin x ? ? 3 2 ?

? 2sin x cos x ? 2 3 sin 2 x ? 3
? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ————4 分 3

?

? 周期 T ? ? ,————6 分
k? 5? ? , k ? Z ————8 分 3 2 2 12 ? ? ? 2? (Ⅱ) Q 0 ? x ? ,? ? ? 2 x ? ? ,————9 分 2 3 3 3

对称轴方程 2 x ?

?

? k? ?

?

,? x ?

9

?当 2 x ?

?
3

?? ?

?
3

时 f ( x)min ? ? 3 ,————11 分

当 2x ?

?
3

2? 时 f ( x)max ? 2 .————13 分 3

17. (本小题共 13 分) (Ⅰ)记三位教师选择同一部电梯到实验室为事件 A ,
1 ( )3 ? ;————4 分 则 P( A) ? C2

1 2

1 4

(Ⅱ) Q ? ~ B(3, ) , ? ? 0,1, 2,3
1 1 1 1 3 1 1 (1 ? )2 ? ? P(? ? 0) ? C30 ( ) 0 (1 ? )3 ? , P(? ? 1) ? C3 2 2 8 2 2 8

1 2

1 1 3 1 1 3 1 3 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 (1 ? ) ? , P(? ? 3) ? C3 ( ) (1 ? ) 0 ? ————8 分 2 2 8 2 2 8

? 的分布列为:

?

0
1 8

1
3 8

2
3 8

3
1 8

P

————10 分
E? ? 3 ? 1 3 ? (元) 2 2

————13 分

18. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ) Q f ( x) ? ( x ? 1)ekx
? f '( x) ? ekx ? kekx ( x ? 1) ? ekx (kx ? k ? 1), k ? 0 ;——2 分

当 k ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 1)ex , f '( x) ? ex ( x ? 2), , 令 f '( x) ? 0 , Q e x ? 0 ,? x ? ?2 ,
? 函数 f ( x) 在 ? ??, ?2? 递减,在 ? ?2, ?? ? 递增. ————4 分 ? 函数 f ( x) 在 x ? ?2 时取得极小值 f (?2) ? ?
1 ;————5 分 e2

(Ⅱ)由(1)知? f '( x) ? ekx (kx ? k ?1), 令 f '( x) ? 0 , Q ekx ? 0 ,? kx ? k ? 1 ? 0 ,由 k ? 0
10

? 当 k ? 0 时, x ? ?

k ?1 1 ? ?1 ? , k k 1 1 ? 当 k ? 0 时 f ( x) 在 ( ?1 ? , ?? ) 递增,在 ( ??, ?1 ? ) 递减;———7 分 k k 1 1 同理 k ? 0 时, f ( x) 在 (?1 ? , ?? ) 递减,在 (??, ?1 ? ) 递增;——9 分 k k

(Ⅲ) Q f ( x) 在 ? 0,1? 上单调递增,
? f '( x) ? ekx (kx ? k ?1) ? 0 在 ? 0,1? 上恒成立,

Q ekx ? 0 ,? kx ? k ? 1 ? 0 在 ? 0,1? 上恒成立,———11 分

法 1:设 g ( x) ? kx ? k ? 1,只需 ?

? g (0) ? 0 1 ,解得 k ? ? , 2 ? g (1) ? 0

1 ? k ? [? , 0) U (0, ??) ,————14 分 2

法 2:要 kx ? k ? 1 ? 0 在 ? 0,1? 上恒成立,? k ? ?
Q?

1 , x ?1

1 1 1 1 ) max ? ? ,? k ? ? 在 (0,1) 上单调递增,? (? x ?1 x ?1 2 2 1 ? k ? [? , 0) U (0, ??) 2

19. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ) 2b ? 2, ? b ? 1 , e ? ? 1 ?
c a b2 3 ————2 分 ? 2 a 2

x2 ? a ? 2 ,椭圆 G 的方程为 ? y 2 ? 1 ;————4 分 4

(Ⅱ)当 AB 的斜率不存在时, x1 ? x2 , y1 ? ? y2 , 由 m ? n ? 0 ,? ( 1 , y1 )( 1 , ? y1 ) ? 0
? x12 ? y12 ? 0 ? 2 ?4 ,解得 | x1 |? 2,| y1 |? , ?? 2 2 ? x1 ? y 2 ? 1 1 ? ?4

u r r

x 2

x 2

? SV AOB ?

1 1 | x1 || y1 ? y2 |? 2 2 ? 1 是定值. ————6 分 2 2

当 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m
11

? y ? kx ? m ? 2 ,消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 ?x 2 ? ? y ?1 ?4
x1 ? x2 ? ? 8km 4m 2 ? 4 , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

(**)————8 分

由 m ? n ? 0 ,?

u r r

x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 4

1 ? 4k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0 , 即 (**)代入解得 4k 2 ? 2m2 ? 1 ; 4

————10 分 坐标原点到直线 AB 的距离为: d ?
|m| 1? k 2

,————12 分

弦 | AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 = 1 ? k 2
? SV AOB ?

4|m| , 1 ? 4k 2

1 1 | m| 4| m| | AB | d ? 1? k 2 ? 1 是定值. ————14 分 2 2 1? k 2 1 ? 4k 2

20. (本小题共 13 分) (Ⅰ) Q f ( x) ?
? a2 ? f (a1 ) ?
16 x ? 7 , a ? f (an?1 ) 4x ? 4 n

16a1 ? 7 16 ? 3 ? 7 55 ? ? , 4a1 ? 4 4 ? 3 ? 4 16

同样可求: a3 ? f (a2 ) ? (Ⅱ) f ( x) ?

16a2 ? 7 4a2 ? 4

?

248 ————3 分 71

16 x ? 7 9 1 ? 4? ? ,则 4x ? 4 4 x ?1

9 1 9 1 9 1 1 an?1 ? an ? (4 ? ? ) ? (4 ? ? )? ( ? ) 4 an ? 1 4 an?1 ? 1 4 an?1 ? 1 an ? 1 ? 9 1 (an ? an?1 ) ————5 分 4 (an ? 1)(an?1 ? 1)

9 1 ? ( )2 (an?1 ? an?2 ) 4 (an ? 1)(an?1 ? 1)2 (an?2 ? 1)

12

9 1 ? ( )3 (an?2 ? an?3 ) 2 4 (an ? 1)(an?1 ? 1) (an?2 ? 1)2 (an?3 ? 1) 9 1 ? ( )n?1 (a2 ? a1 ) ————7 分 2 4 (an ? 1)(an?1 ? 1) (an?2 ? 1)2 ??? (a2 ? 1)

注意到 an ? 0,(n ? N * ) ,要使 an?1 ? an 只须 a2 ? a1 ? 0 , 即
7 16a1 ? 7 ? a1 , 4a12 ?12a1 ? 7 ? 0 ,解得 0 ? a1 ? .————9 分 2 4a1 ? 4

(Ⅲ)当 a1 ? 3 时,由(Ⅱ)知 an?1 ? an ,即 解得 0 ? an ?
7 7 ? 3 ? an ? 2 2

16an ? 7 ? an , , 4an ? 4

Q b1 ? 4 ,? 由(Ⅱ)知 bn?1 ? bn 即

16bn ? 7 7 ? bn , 解得 ? bn ? 4 , n ? N * 2 4bn ? 4

————11 分
9 1 9 1 9 1 1 ) ? (4 ? ? )? ( ? ) bn ? an ? ? (4 ? ? 4 bn?1 ? 1 4 an?1 ? 1 4 an?1 ? 1 bn?1 ? 1 ?
?

9 1 (bn?1 ? an?1 ) 4 (an?1 ? 1)(bn?1 ? 1)

9 1 1 (bn?1 ? an?1 ) ? (bn?1 ? an?1 ) 4 (3 ? 1)( 7 ? 1) 8 2 1 1 1 1 ? 2 (bn ?2 ? an ?2 ) ? ??? ? n ?1 (b1 ? a1 ) ? n ?1 (4 ? 3) ? n ?1 8 8 8 8 1 综上所述 0 ? bn ? an ? n?1 , n ? 1, 2,3 ??? ————13 分 8

13


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