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高考数学总复习之简单几何体的面积与体积


第5讲 简单几何体的面积与体积
【2014年高考会这样考】

1.以三视图为载体,考查简单几何体的表面积与体积.
2.利用展开图考查简单几何体的侧面积与表面积.

抓住2个考点

突破3个考向

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考点梳理
1.柱体、锥体、台体的侧面积

和表面积

(1)旋转体的侧面展开图的形状
名称 侧面展开图形状 侧面展开图

圆柱

矩形

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圆锥

扇形

圆台

扇环

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(2)多面体的侧面积和表面积

因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是
侧面展开图的面积,表面积是侧面积与底面积的和. (3)旋转体的侧面积和表面积 ①若圆柱的底面半径为r,母线长为l,则 2πr(r+l) 2πrl ,S表=___________. S侧= ______

②若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则 π r( r+ l ) . S侧= _____ πrl ,S表=__________
③若圆台的上下底面半径分别为r′、r,则 2+r′l+rl+r2) π( r ′ π(r+r′)l ,S = __________________ . S = __________
侧 表

4πR2 ④若球的半径为R,则它的表面积S= _______.
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2.几何体的体积公式 πr2h 所有棱柱和圆柱的体积公式可 (1)圆柱的体积公式 V= _____.

Sh ,其中 S 为底面积, h 为高. 以统一为 V 柱= ___
1 2 1 (2)圆锥的体积公式 V= πr h, 棱锥的体积公式 V= Sh.圆锥 3 3 1 V 锥 = Sh ,其中 S 为底面 和棱锥的体积公式可以统一为 __________ 3 积, h 为高.

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1 (3)圆台的体积公式为 V= π(r′ 2+ r′ r+ r2)h,棱台的体积 3 1 公式为 V= (S′+ SS′+ S)h,圆台和棱台的体积公式可 3 1 以统一为 V 台 = (S′+ S′ S+ S)h, 其中 S′、 S 分别为上、 3 下底的底面积, h 为高. 4 3 πR 3 (4)球的体积公式为 V= ______.

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【助学· 微博】 两点提醒 (1)关于公式 要注意几何体的表面积公式和体积公式中各个数据的准确

性,不能用错公式.
(2)关于组合体转化 对于生产生活中遇到的物体,可以转化为由简单的几何体

组合而成,它们的表面积与体积可以转化为这些简单的几
何体的表面积的和与体积的和.

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两个关注点 与球有关问题的关注点

(1)“切”“接”问题
一般要过球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空间问 题转化为平面问题,从而寻找几何体各元素之间的关系. (2)特殊图形可以用补图的方法解答.

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考点自测
1.圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那 么这个圆柱的侧面积是
A.4πS
解析

(
C.πS 2 3 D. πS 3

).

B.2πS

设圆柱底面圆的半径为 r,高为 h,则 r=

S , π

又 h= 2πr=2 πS ,∴S 圆柱侧=(2 πS)2=4πS.

答案

A

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2.(2012· 湖北)已知某几何体的三视图
如图所示,则该几何体的体积为 (
8π A. 3 10π C. 3 B.3π D.6π
2

).

1 解析 由三视图可知该几何体的体积 V= π×1 ×2 + 2 ×π×12×2=3π.

答案

B
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3.(2012· 安徽)某几何体的三视图如图所示,该几何体的 表面积是________.

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解析

通过三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的直 1 四棱柱. 所以该几何体的表面积是 2× ×(2+5)×4+2×4 2 +4×5+4×4+4×5=92.

答案

92

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4.(2012· 上海)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半 圆面,则该圆锥的体积为________.
解析 因为半圆的面积为 2π,所以半圆的半径为 2,底 面圆的周长为 2π,所以圆锥的母线长为 2,底面圆的半 1 3 2 径为 1,所以圆锥的高为 3,体积为 π×1 × 3= π. 3 3
答案 3 π 3

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5.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2 3,则棱锥 O-ABCD 的体积为________.

解析

依题意棱锥 O-ABCD 的四条侧

棱长相等且均为球 O 的半径, 如图连接 AC,取 AC 中点 O′,连接 OO′.易知 AC = AB2+BC2=4 3,故 AO′=2 3.在 Rt△OAO′ 中 , OA = 4 , 从 而 OO′ = 1 4 -12=2.所以 VO-ABCD= × 2× 6× 2 3 3
2

=8 3.
答案 8 3
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考向一

几何体的表面积

【例1】?(2012· 北京)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱

锥的表面积是

(

).

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A.28+6 5 C.58+12 5

B.30+6 5 D.60+12 5

[审题视点] 根据几何体的三视图画出其直观图,利用直观

图的图形特征求其表面积. 解析 由几何体的三视图可知,该三棱锥的
直观图如图所示,其中AE⊥平面BCD, CD⊥BD,且CD=4,BD=5,BE=2, ED=3,AE=4.∴AD=5. 又CD⊥BD,CD⊥AE,

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则 CD⊥平面 ABD, 故 CD⊥ AD,所以 AC= 41且 S△ACD= 10. 在 Rt△ ABE 中, AE= 4, BE= 2,故 AB= 2 5. 在 Rt△ BCD 中, BD= 5, CD= 4, 故 S△ BCD= 10,且 BC= 41. 在△ ABD 中, AE= 4, BD= 5,故 S△ ABD= 10. 在△ ABC 中, AB= 2 5, BC= AC= 41, 1 则 AB 边上的高 h= 6,故 S△ABC= × 2 5× 6= 6 5. 2 因此,该三棱锥的表面积为 S= 30+ 6 5.

答案

B
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(1)若以三视图的形式给出,解题的关键是对给
出的三视图进行分析,从中发现几何体中各元素间的位置 关系及数量关系,得到几何体的直观图,然后根据条件求 解. (2)多面积的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面

积应注意重合部分的处理.

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【训练1】 一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积



(

).

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A.372 解析

B.360

C.292

D.280

由三视图可知该几何体是由下面一个长方体,上面

一个长方体组合而成的几何体.∵下面长方体的表面积为 8×10×2+2×8×2+10×2×2=232,上面长方体的表面

积为8×6×2+2×8×2+2×6×2=152,又∵长方体表面
积重叠一部分,∴几何体的表面积为232+152-2×6×2 =360. 答案 B

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考向二

几何体的体积

【例2】?(2012· 山东)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E、 F分别为线段AA1,B1C上的一点, 则三棱锥D1-EDF的体积为

________.
[审题视点] 利用等体积转化法求解.

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解析

1 因为 E 点在线段 AA1 上,所以 S△DED1= ×1×1 2

1 = ,又因为 F 点在线段 B1C 上,所以点 F 到平面 DED1 2 1 的距离为 1,即 h=1,所以 VD1EDF=VFDED1= ×S 3 1 1 1 △DED1×h= × ×1= . 3 2 6 1 答案 6

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(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的 柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解;

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则
常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解. (3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得 到几何体的直观图,然后根据条件求解.

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【训练2】 如图,某几何体的主视图、左视图和俯视图分 别是等边三角形、等腰三角形和菱形,则该几何体体 积为 ( ).

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A.4 3 C.2 3
解析

B.4 D.2

1 由三视图可知此几何体为四棱锥,高为 3.所以 V= 3 1 1 Sh= × × 2 3×2× 3= 2 3. 3 2

答案

C

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考向三

与球有关的组合体

【例3】?某几何体的三视图如下图所示(图中长度单位:cm),

其中主视图与左视图相同,则该几何体的体积为______ cm3.

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[审题视点] 由主视图和左视图知几何体分三部分:柱、台、 球,再由俯视图确定几何体由圆柱、圆台、半球组成.
解析 由三视图可知,该几何体是由圆柱、圆台、半球组合

而成,易知圆柱的底面半径为 1,高为 2,圆台的上、下底 半径分别为 1、 4,高为 4,半球的半径为 4. ∴V 圆柱=π×12×2=2π, π V 圆台 = ×(12+42+1× 4)×4=28π, 3 1 4 128 3 V 半球 = × π×4 = π. 2 3 3 128 218 ∴几何体的体积为 V= 2π+28π+ π= π(cm3). 3 3 218 答案 π 3
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(1)已知与球有关的组合体的三视图,要将其 还原为几何体,对组合体的表面积和体积可以分割计算.

(2)处理与几何体外接球相关的问题时,一般需依据球和
几何体的对称性,确定球心与几何体的特殊点间的关 系.解决与棱柱有关的问题时需注意运用棱柱的体对角线 即为外接球直径这一知识.

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【训练 3】 已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面 的圆周都在同一个球面上. 若圆锥底面面积是这个球面面积 3 的 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高 16 的比值为________.
解析 如图,设球的半径为 R,圆锥底面
2

3 3 2 半径为 r, 由题意得 πr = × 4πR .∴r= 16 2 1 R,∴OO1= R.体积较小的圆锥的高 AO1 2 1 1 =R- R= R,体积较大的圆锥的高 BO1 2 2
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1 3 =R+ R= R.故这两个圆锥中,体积较小者的高与 2 2 1 体积较大者的高的比值为 . 3
答案 1 3

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方法优化10——巧妙求解简单几何体的表面积和体积
【命题研究】 通过近三年的高考试题分析,主要考查已 知三视图,还原几何体,求几何体的表面积和体 积.题型为选择题或填空题,题目难度中等.

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【真题探究】? (2012· 广东)某几何体的三视图如图所示, 它的体积为 ( ).

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A.12π
C.57π 一个圆柱和圆锥的组合体. 第2步 利用基本公式求解.

B.45π
D.81π

[教你审题] 第1步 还原几何体,由三视图可知,该几何体是

[优美解法 ] 由三视图可知,该几何体是由底面直径为 6,高为 5 的圆柱与底面直径为 6,母线长为 5 的圆锥组成的组合体, 1 2 因此,体积为 V=π×3 ×5+ ×π×32× 52-32= 57π. 3 [答案] C

[反思] (1)对组合体的三视图还原为几何体的问题,要从接触面 突破;(2)对组合体的表面积、体积可以分割计算;(3)在三视

图向几何体的转化过程中,有关数据要正确对应.
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【试一试】 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何 体的表面积和体积分别为________,________.

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解析 由三视图可知,该几何体的下部是一底边长为 2 的 正方形,高为 4 的长方体,上部为一球,球的直径等于正 方 形 的 边 长 . 所 以 长 方 体 的 表 面 积 为 S1 = 2× 2× 2 + 4× 2× 4= 40,长方体的体积为 V1= 2× 2× 4= 16,球的表 4 4π 2 3 面积和体积分别为 S2= 4×π× 1 = 4π,V2= ×π× 1 = , 3 3 故该几何体的表面积为 S= S1+S2= 40+ 4π, 该几何体的体 4π 积为 V= V1+ V2= 16+ . 3

答案

40+4π

4π 16+ 3

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