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防错纠错3 三角函数(教师版)


苏州市高三数学二轮复习资料

防错纠错

防错纠错 3
一、填空题 1.函数 y ? sin x cos x ? 1 的最小正周期为 【解析】 y=

三角函数


1 sin 2 x ? 1 知函数的最小正周其为π . 2

【 易错、易失分点点拨 】解题中有如下错解:∵函数 y ? sin x cos x ? 1 ∴函数的最小正周期为 T= 2 π . 点拨:解答错在最小正周期的计算,应化简后考虑. 2.将函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? ? ? 0 ? ? ? ?? 的图象上所有点向右平移 ? 个单位后得到的图象关于原点 ? 对称,则 ? 等于 .

【 解 析 】 解 : 由 平 移 后 的 函 数 y ? sin ? 2( x ?

? ?

π π ? ) ? ? ? ? sin( 2 x ? ? ? ) 关 于 原 点 对 称 得 : 6 3 ?

??

π π ? kπ( k ? Z ) ,又因为 0 ? ? ? π ,所以 ? ? . 3 3

【易错、易失分点点拨】解题中有如下错解: y ? sin ?( 2 x ? 点拨:上面解答错在错因:未注意平移变换中系数的影响. 3.函数 f ( x) ?

? ?

π ? )??? 6 ?

的值域为 . 1 ? sin x 2 sin x ? ( 1 2sx in ) 1 1 ? 2 si xn ? ( 1 x s ? in ? ) x2 ? ( s 2i ? n ,sin ) x ? ( ?1,1] ,∴函数 【解析】 f ( x )? 1? s i n x 2 2 1 f ( x) 值域为 ( ?4, ] . 2 【易错、易失分点点拨】本题在化简后得到 f ( x) ? 2sin x(1 ? sin x) ,易忽视 1 ? sin x ? 0 ,导致 默认 sin x ?[?1,1] 而出错.点拨:此类问题应注意化简后函数的定义域对结果的影响. 4 . 在 ?ABC 中 , 已 知 AB ? 为 .

2 sin x cos 2 x

4 6 6 , cos B ? , AC 边 上 的 中 线 BD ? 5 , 则 s i nA 的 值 3 6

【解析】设 E 为 BC 的中点,连接 DE,则 DE//AB,且 DE=

1 2 6 AB ? , 设BE ? x, 2 3

在△BDE 中利用余弦定理可得: 5 ? x 2 ?

8 2 6 6 ? 2? ? x, 3 3 6
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7 解得x ? 1, x ? ? (舍去), 3 故BC ? 2, 从而AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos B ?
即AC ? 2 21 , 3

28 , 3

2 21 3 , sin A ? 70 . 14 30 6 【易错、易失分点点拨】解题中容易出现思路混乱,导致结果算不出来 点拨:解三角形问题要注意正弦定理、余弦定理、以及挖掘图形的几何性质. 30 2 又 sin B ? ,故 ? 6 sin A
5.已知 sin ? ?

5 10 ,且 ? , ? 为锐角,则 ? ? ? 的值为 ,sin ? ? 5 10



【解析】 ∵α、 β 为锐角, sinα=

5 10 2 5 3 10 , sinβ= , ∴cosα= 1-sin2α= , cosβ= 1-sin2β= , 5 10 5 10 2 5 3 10 5 10 2 · - · = . 5 10 5 10 2 ∵0°<α+β<180°,∴α+β=

∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= 45°.

【易错、易失分点点拨】本题容易得到错误答案 角的范围和选择合适的三角函数.

π 3π , 点拨:错误原因:要挖掘特征数值来缩小 4 4

?? 4 ?? ? ? 6.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? , 则 sin ? 2? ? ? 的值为 6? 5 12 ? ? ?
【解析】



?? 4 ? π π 由 ? 为锐角及 cos ? ? ? ? ? 知 0 ? ? ? ? , 6? 5 6 3 ?

π π 7 2 π π π 3 4 24 ? sin( 2? ? ) ? 2 sin( ? ? )cos( ? ? ) ? 2 ? ? ? , cos( 2? ? ) ? 2 cos ( ? ? ) ? 1 ? 3 6 25 3 6 6 5 5 25
? sin (2? ? π π π 2 π π 17 2 . ) ? sin [(2? ? ) ? ] ? [sin(2? ? ) ? cos(2? ? )] ? 12 3 4 2 3 3 50

【易错、易失分点点拨】本题容易出现的错误是把已知条件和所求均展开求解.点拨:给值求值 问题,常考虑利用角的变换. 7.已知

1 ? cos2? 1 ? 1 , tan(? ? ? ) ? ? ,则 tan( ? ? 2? ) 的值为 sin ? cos ? 3



【解析】由

1 tan(? ? ? ) ? tan? 1 ? cos 2? ? ?1 . ? 1 ,有 tan ? ? ,而 tan(? ? 2? ) ? sin ? cos ? 2 1 ? tan(? ? ? ) tan?

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【易错、易失分点点拨】本题学生不容易由 角函数的倍角公式,两角和与差公式.

1 1 ? cos 2? ? 1 得到点拨 tan ? ? .点拨:灵活运用三 sin ? cos ? 2

8 . 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac , 且

sin A sin C ?

3 ?1 ,则角 C = 4

. 所 以 b ? ) c? a ca 2 ? c 2 ? b2 ? ?ac 由 余 弦 定 理

【 解 析 】 因 为 (a ? b ? ) c( a ?

c oB s ?

a 2 ? c2 ? b2 1 ?? 2ac 2





B ?1

`?

2

0



A ? C ? 60?

,





c

o A?C s) ? ( c

1 A oc s C o? ss A is C ni ? n 2

,





sin A sin C ?

3 ?1 4 3 2







c

A o c sC o ?s

3 ?1 4

, 所 以

c oA ? s C) (?c o Ac s o C ?ss iA sn i C? n

, 因 为

? 180? ? A ? C ? 180? ,所以 A ? C ? ?30? 即 C ? 15? 或 C ? 45? .
【易错、易失分点点拨】本题学生不易发现余弦定理的结构, cos(A ? C ) 的构造也是难点,且不 注意 A ? C 的范围会造成漏解.点拨:学生要学会观察条件,根据所求转化问题. 二、解答题 9.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的图象的一部分如图所示.

π 2

. (1)求函数 f(x)的解析式; 2? ? (2)当 x∈?-6,-3?时,求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x 的值. ? ?
【解析】(1)由图象知 A=2,T=8=

2π π ?π ? ? x+φ?. ω ,∴ω=4,得 f(x)=2sin?4 ?

π π π π π ?π π? 由4×1+φ=2kπ+2?φ=2kπ+4,又|φ|<2,∴φ=4.∴f(x)=2sin?4x+4?. ? ? π? ?π π? ?π ?π π? ?π π? ?π π? (2)y = 2sin ?4x+4? + 2sin ?4?x+2?+4? = 2sin ?4x+4? + 2cos ?4x+4? = 2 2sin ?4x+2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? π? π π ? 3π π π 2 ? =2 2cos4x,∵x∈?-6,-3?,∴4x∈?- 2 ,-6?,∴当4x=-6,即 x=-3时, ? ? ? ?
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y 的最大值为 6;当4x=-π,即 x=-4 时,y 的最小值为-2 2.
【易错、易失分点点拨】三角函数图像及性质的熟练掌握是解决三角函数图像问题的关键,二合 一公式的正确使用。点拨:三角函数图像及性质准确应用. 10.已知 ?

π

π 1 ? x ? 0,sin x ? cos x ? , 2 5 (1)求 sin x ? cos x 的值; (2)求 tan x 的值.
(1)由 sinx+cosx= ,平方得 sin2x+2sinxcosx+cos2x=
24 49 ? . 25 25 1 5 1 24 即 2sinxcosx=? . 25 25

【解析】解法 1

∵(sinx?cosx)2=1?2sinxcosx=1+ 又∵-

π 7 <x<0,∴sinx<0,∴cosx>0,sinx?cosx<0.∴sinx?cosx= . 5 2

1 ? 3 ? sin x ? cos x ? sin x ? ? ? ? 3 ? 5 ? 5 (2) 联立方程 ? ∴? 故 tan x ? ? 4 4 cos x ? ?sin x ? cos x ? ? 7 ? ? 5 ? ? 5 ?
【易错、易失分点点拨】第(1)小题容易出现多解的情形,导致第二小题也出现错误 点拨:同角三角函数关系式在使用的时候,要注意角的范围. 11.如图,点 P 在 ?ABC 内, AB ? CP ? 2, BC ? 3, ?P ? ?B ? π ,记 ?B ? ? . (1)试用 ? 表示 AP 的长; (2)求四边形 ABCP 的面积的最大值,并求出此时 ? 的值. 【 解 析 】 ( 1 ) △ ABC 与 △ APC 中 , 由 余 弦 定 理 得 ,
AC 2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3cos ? ,



AC 2 ? AP2 ? 22 ? 2 ? AP ? 2cos ? ? ? ? ? , ②
由①②得 AP2 ? 4 AP cos? ? 12cos ? ? 9 ? 0, ? ? ? 0, ?? ,解得 AP ? 3 ? 4 cos ? ;
?? (2) S ? S?ABC ? S?APC ? 1 ? 2 ? 3sin ? ? 1 ? 2 ? AP sin ? ? ? ? ? , ? ? ? 0, 2 2

? ? ,所以当 ? ? ? 时, Smax ? 2 . 由(1)得 S ? 4sin? ? cos? ? 2sin2?,? ? ? 0, 4

【易错、易失分点点拨】本题第(1)小题一些学生挖掘不出两角互补的隐含条件,导致思路阻塞。 点拨:树立慎密思维的意识,重视三角形隐含条件的挖掘.强化三角变换和代数运算训练,提高 运算能力. 12.某企业有两个生产车间分别在 A 、 B 两个位置, A 车间有 100 名员工, B 车间有 400 名员工。现 要在公路 AC 上找一点 D ,修一条公路 BD ,并在 D 处建一个食堂,使得所有员工均在此食堂用餐。已 知 A 、 B 、 C 中任意两点间的距离均有 1km ,设 ?BDC ? ? ,所有员工从车间到食堂步行的总路程为
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s.
(1)写出 s 关于 ? 的函数表达式,并指出 ? 的取值范围; (2)问食堂 D 建在距离 A 多远时,可使总路程 s 最少. 解: (1)在 ?BCD 中,?
D A

BD BC CD , ? ? 0 sin ? sin(1200 ? ? ) sin 60

C

B

3 sin(1200 ? ? ) sin(1200 ? ? ) ,则 2 ∴ BD ? AD ? 1 ? , CD ? sin ? sin ? sin ?
3 cos ? ? 4 sin(1200 ? ? ) 2 ,其中 π ? ? ? 2π s ? 400 ? ? 100[1 ? ] ? 50 ? 50 3 ? sin ? sin ? sin ? 3 3

(2) s ' ? ?50 3 ?

? sin ? ? sin ? ? (cos ? ? 4) cos ? 1 ? 4 cos ? ? 50 3 ? 2 sin ? sin 2 ? 1 1 ? 2? ) 令 s ' ? 0 得 cos ? ? 。记 cos ? 0 ? , ? 0 ? ( , 4 4 3 3 1 1 当 cos ? ? 时, s ' ? 0 ,当 cos ? ? 时, s ' ? 0 , 4 4 ? 2? ) 上,单调递增, 所以 s 在 ( , ? 0 ) 上,单调递减,在 (? 0 , 3 3 1 所以当 ? ? ? 0 ,即 cos ? ? 时, s 取得最小值. 4

3 1 cos? ? sin ? sin(1200 ? ? ) 15 2 ? 1? 2 此时, sin ? ? , AD ? 1 ? sin ? sin ? 4

1 1 3 cos? 1 3 4 1 5 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 sin ? 2 2 15 2 10 4
答:当 AD ?

1 5 ? 时,可使总路程 s 最少. 2 10

【易错、易失分点点拨】学生对总路程 s 的容易理解错误,此类三角函数求导对学生来讲是难点。 点拨:注重应用题的审题和列式,学会运用导数的方法来研究三角函数问题的最值问题,提醒学 生复合函数的单调性的性质.

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