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【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修2双基限时练11]


双基限时练(十一)
一、选择题 1.如果一条直线与一个梯形的两腰所在的直线垂直,那么这条直 线与这个梯形所在平面的位置关系是( A.垂直 C.直线在平面内 ) B.平行 D.不确定

解析 梯形的两腰所在的直线为相交直线. 答案 A )

2.直线 l 与平面 α 垂直,则(

A.l 与平面 α 内的某几条直线垂直 B.l 与平面 α 内的一条直线垂直 C.l 与平面 α 内的无数条直线垂直 D.l 与平面 α 内的任意一条直线垂直 答案 D

3.如图,ABCD—A1B1C1D1 为正方体,下面结论中错误的个数是 ( )

①BD∥平面 CB1D1;②AC1⊥BD; ③AC1⊥平面 CB1D1. A.0 个 B.1 个

C.2 个

D.3 个

解析 由于 BD∥B1D1,故①正确;由于 BD⊥AC,BD⊥CC1,故 BD⊥面 ACC1,故 BD⊥AC1,故②正确;由于 AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C, 故 AC1⊥面 CB1D1,故①②③全正确,答案为 A. 答案 A

4. 如图△ADB 和△ADC 都是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形, 且∠BAC=60° ,下列说法中错误的是( )

A.AD⊥面 BDC C.DC⊥面 ABD

B.BD⊥面 ADC D.BC⊥面 ABD

解析 由题可知,AD⊥BD,AD⊥DC,∴AD⊥面 BDC,又△ABD 与△ADC 均为以 D 为直角顶点的等腰直角三角形,∴AB=AC,BD= 2 DC= 2 AB. 又∠BAC=60° , ∴△ABC 为等边三角形,故 BC=AB= 2BD, ∴∠BDC=90° ,即 BD⊥DC. ∴BD⊥面 ADC,同理 DC⊥面 ABD. ∴A、B、C 项均正确. 答案 D

5.在四面体 P—ABC 中,PA=PB=PC=AB=BC=CA,D,E,F

分别为 AB,BC,CA 的中点,下列结论中不成立的是(

)

A.BC∥面 PDF C.BC⊥面 PAE

B.DF⊥面 PAE D.AE⊥面 APC

解析 ∵D,F 分别为 AB,AC 的中点, ∴DF∥BC,故 BC∥面 PDF,故 A 项正确, 又 AB=AC,PB=PC,E 为 BC 的中点, ∴AE⊥BC,PE⊥BC,∴BC⊥面 PAE, 又 DF∥BC,∴DF⊥面 PAE,故 B、C 项正确,由于 AE 与 AP 不 垂直,故 AE 与面 APC 不垂直. 答案 D )

6.下列说法中错误的是(

①如果一条直线和平面内的一条直线垂直,那么该直线与这个平 面必相交;②如果一条直线与某一平面的垂线平行,那么该直线垂直 于这个平面;③如果一条直线和一个平面垂直,那么该直线垂直于平 面内的任何直线;④若一条直线与平面的垂线垂直,则该直线一定在 这个平面内. A.①② C.①③④ 解析 B.①④ D.②④

因为当直线与平面平行时,平面内仍存在直线与该直线垂

直,故①不正确,②显然正确,根据线面垂直的定义可知, ③正确;

当一条直线与平面的垂线垂直时,这条直线可能在平面内也可能与平 面平行,故④不正确. 答案 B

二、填空题 7.下列命题: ①过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直;②若 a∥b, a⊥α,则 b⊥α;③若直线 a 与平面 α 的两条直线垂直,则直线 a⊥α; ④若 a∥α, α∥β, 则 a∥β; ⑤若 a∥α, b∥α, 则 a∥b; ⑥若 a⊥α, b⊥α, 则 a∥b,其中正确命题有________. 答案 ①②⑥

8.在三棱锥 P—ABC 中,最多有________个直角三角形.

解析 不妨设 PA⊥AB,PA⊥AC,则△APB,△PAC 为直角三角 形,由线面垂直的判定定理,可得 PA⊥面 ABC,由线面垂直的定义, 可知 PA⊥BC,若∠ABC=90° ,则 BC⊥AB, ∴BC⊥面 PAB,即∠PBC=90° , ∴△ABC,△PBC 为直角三角形,故直角三角形最多有 4 个. 答案 4 9.如图,在四面体 ABCD 中,BC=CD,AD⊥BD,E,F 分别为 AB,BD 的中点,则 BD 与面 CEF 的位置关系是________.

解析

∵E,F 为 AB,BD 的中点,

∴EF∥AD.又 AD⊥BD,∴EF⊥BD. 又 BC=CD,F 为 BD 的中点, ∴CF⊥BD,又 EF∩CF=F, ∴BD⊥面 CEF. 答案 BD⊥面 CEF

三、解答题 10.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 B1C1,B1B 的中点.

求证:CF⊥面 EAB. 证明 在平面 B1BCC1 中,

∵E,F 分别是 B1C1,B1B 的中点,∴△BB1E≌△CBF, ∴∠B1BE=∠BCF,∴∠BCF+∠EBC=90° ,∴CF⊥BE.

又 AB⊥平面 B1BCC1,CF?平面 B1BCC1, ∴AB⊥CF,又 AB∩BE=B, ∴CF⊥平面 EAB. 11 .如图所示,空间四边形 ABCD 中, BC = AC , AD = BD. 作 BE⊥CD 于 E,AH⊥BE 于 H,求证:AH⊥面 BCD.

证明

取 AB 的中点 F,连接 CF,DF,

∵BC=AC,∴CF⊥AB. ∵BD=AD,∴DF⊥AB. 又 CF∩DF=F, ∴AB⊥面 CDF. 又 CD 面 CDF, ∴AB⊥CD.又 BE⊥CD, AB∩BE=B, ∴CD⊥面 ABE.

∵AH 面 ABE, ∴CD⊥AH. ∵AH⊥BE,又 BE∩CD=E, ∴AH⊥面 BCD. 12.如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在平面,M 是圆 周上任意一点,AN⊥PM,垂足为 N.求证:AN⊥平面 PBM.

证明

设圆 O 所在平面为 α,则已知 PA⊥α,且 BM α,

∴PA⊥BM. 又∵AB 为⊙O 的直径,点 M 为圆周上一点, ∴AM⊥BM.由于 PA∩AM=A, ∴BM⊥平面 PAM.而 AN 平面 PAM,∴BM⊥AN. 又 PM⊥AN,PM∩BM=M,∴AN⊥平面 PBM. 思 维 探 究 13.已知直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为菱形,F 为 BB1 的中点,M 为线段 AC1 的中点,

求证:(1)直线 MF∥面 ABCD; (2)MF⊥面 A1ACC1. 证明 (1)取 AC 的中点 O,连接 MO,

∵M,O 为 AC1,AC 的中点,

1 ∴MO 綊2CC1. 又 F 为 BB1 的中点,ABCD—A1B1C1D1 为直四棱柱, 1 ∴BF 綊2CC1. ∴MO 綊 BF. ∴四边形 MOBF 为平行四边形. ∴MF∥BO,又 MF?面 ABCD,BO 面 ABCD, ∴MF∥面 ABCD.

(2)∵F 为 BB1 的中点,∴AF = C1F ,又 M 为 AC1 的中点, ∴MF⊥AC1. 又 ABCD 为菱形,∴BO⊥AC. 又 MF∥BO,∴MF⊥AC. 又 AC1∩AC=A,∴MF⊥面 A1ACC1.


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