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高一数学三角函数测试题(附答案)


新课标必修 4 三角函数测试题
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1. 化简

1 ? tan150 等于 ( 1 ? tan150

) B.
3 2

A.

3
??? ?

C. 3

D. 1

2. 在 ? ABCD 中,设 AB ? a , AD ? b , AC ? c , BD ? d ,则下列等式中不正确的是 ( ) A. a ? b ? c

? ????

?

??? ?

? ??? ?

? ?

? ?

?

B. a ? b ? d

? ?

? ?

C. b ? a ? d

? ?

? ?

D. c ? d ? 2a
A, 2

? ? ?

?

C 3. 在 ?ABC 中, ①sin(A+B)+sinC; ②cos(B+C)+cosA; a A ? B a C ; c B ?s ③n ④o s e c t n t 2 2 2

其中恒为定值的是( ) A、① ② B、② ③ 4. 已知函数 f(x)=sin(x+

C、② ④

D、③ ④ )

? ? ),g(x)=cos(x- ),则下列结论中正确的是( 2 2 A.函数 y=f(x)·g(x)的最小正周期为 2 ?
B.函数 y=f(x)·g(x)的最大值为 1 ? C.将函数 y=f(x)的图象向左平移 单位后得 g(x)的图象 2 D.将函数 y=f(x)的图象向右平移

? 单位后得 g(x)的图象 2

5. 下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? A. y ? sin( 2 x ?

?
3

对称的是(



?
3
2

)

B. y ? sin( 2 x ? ? )
6

C. y ? sin( 2 x ? ? ) D. y ? sin( x ? ? ) 2 6 6 ) C、 ?0,2? D、 ?? 1, 5 ?
? ? 4? ?

6. 函数 y ? cos x ? sin x 的值域是 ( A、 ?? 1,1? B、 ?1, 5 ?
? 4? ? ?

7. 设 a ?

1 3 2 tan130 1 ? cos 500 则有( cos 60 ? sin 60 , b ? ,c ? , 2 0 2 2 1 ? tan 13 2
B. a ? b ? c C. b ? c ? a

) D. a ? c ? b )

A. a ? b ? c 8. 已知 sin ? ? A.-7

3 , ? 是第二象限的角,且 tan( ? ? ? )=1,则 tan ? 的值为( 5 3 3 B.7 C.- D. 4 4

9. 定义在 R 上的函数 f (x) 既是偶函数又是周期函数,若 f (x) 的最小正周期是 ? ,且当
x ? [0,

? 时, f ( x) ? sin x ,则 f ( 5? ) 的值为( ]
2

3



A. ? 1 10. 函数 y ? A. 11.

B

2

3 2

C ) C. 2?

?

3 2

D

1 2

? 2

1 ? cos x 的周期是( sin x
B. ?

D. 4?

2002 年 8 月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由 4 个相同的直角 三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形, 若直角三角形中较小的锐角为 ? , 大 正方形的面积是 1,小正方形的面积是

1 , 则 sin 2 ? ? cos 2 ? 的值等于( 25
C.
7 25



A.1

B. ?

24 25

D. ?

7 25

12. 使函数 f(x)=sin(2x+ ? )+ 3 cos(2x ? ? ) 是奇函数,且在[0, 一个值( ) A.

? ] 上是减函数的 ? 的 4

4? 5? 2? C. D. 3 3 3 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13、函数 y ? a sin x ?1 的最大值是 3,则它的最小值______________________
? 3
B. 14、若 a ? b ? a ? b ,则 a 、 b 的关系是____________________ 15、若函数 f(χ )是偶函数,且当χ <0 时,有 f(χ )=cos3χ +sin2χ ,则当χ >0 时, f(χ )的表达式为 . 16、给出下列命题:(1)存在实数 x,使 sinx+cosx=

? ?

? ?

?

?

? ; (2)若 ?,? 是锐角△ ABC 的 3 2 7? 内角,则 sin ? > cos ? ; (3)函数 y=sin( x)是偶函数; (4)函数 y= 3 2 ? ? sin2x 的图象向右平移 个单位,得到 y=sin(2x+ )的图象.其中正确的命题的 4 4

序号是 . 三、解答题(本大题 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17、(12 分) 求值:

2 sin 500 ? sin 800 (1 ? 3 tan100 ) 1 ? cos100

π π 3 5 18、(12 分) 已知 <α <π ,0<β < ,tanα =- ,cos(β -α )= ,求 sinβ 的值. 2 2 4 13 19、(12 分) 已知函数 y ? log1 ? sin 2 x ?. (1)求它的定义域、值域以及在什么区间上 ? ?

1 2 2?

?

是增函数; (2)判断它的奇偶性; (3)判断它的周期性。
? x 1 ? sin x ? 2 sin 2 ( ? ) 4 2 ? 3 sin x 的最大值及取最大值时相应的 x 的集合. 20、 (12 分)求 f ( x) ? x 2 4 sin 2

21、(12 分) 已知定义在 R 上的函数 f(x)= a sin ?x ? b cos?x(? ? 0) 的周期为 ? , 且对一切 x ? R,都有 f(x) ? f ( ? ) ? 4 ;
12

(1)求函数 f(x)的表达式; (2)若 g(x)=f(

?
6

? x ),求函数 g(x)的单调增区间;

22、(14 分) 函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等,请选择适 当的探究顺序,研究函数 f(x)= 1 ? sin x ? 1 ? sin x 的性质,并在此基础上,作出其 在 [?? , ? ]上的图象。

参考答案 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 题号 选项 1 A 2 B
0

3 B

4 D
0

5 B
0

6 D

7 D

8 B

9 B

10 C

11 D

12 B

1 ? tan15 tan 45 ? tan15 ? ? tan ? 450 ? 150 ? ? tan 600 ? 3 1 ? tan150 1 ? tan 450 ? tan150 ??? ? ???? ? ???? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ???? ??? ? ? ? ? 2.解:∵在 ? ABCD 中, AB ? a , AD ? b , AC ? c , BD ? d ∴ a ? b ? AB ? AD ? DB ? ?d
1.解;∵ 3.解:①sin(A+B)+sinC=2sinC;②cos(B+C)+cosA=0;③ tan A ? B tan C ? 1 ;④ cos B ? C sec A ? tan A 2 2 2 2 2 4.解:f(x)=sin(x+

?) ? cos x ,g(x)=cos(x- ? ) ? sin x 2 2

5.解:∵最小正周期为 ? ,∴ ?

?2

又∵图象关于直线 x ? ? 对称 ∴ f ? ? ? ? ?1 ? ?
3

?3?

6.解: y ? cos2 x ? sin x ? 1 ? sin 2 x ? sin x ? ? ? sin x ? 1 ? ? 5 且 sin x ?? ?11? ∴ y ? 5 ,y ? f ?1? ? ?1 ∵ , max min ? ? 4 2? 4 ?
2

7.解: a ? 1 cos 60 ?

2

3 2 tan130 1 ? cos500 sin 60 ? ? sin 240 , b ? ? tan 260 , c ? ? sin 250 2 0 2 1 ? tan 13 2

tan 260 / sin 250 > tan 250 / sin 250 ? 1/ cos 250 > 1 ? tan 260 > sin 250
8.解:∵ sin ? ? ∴ ? ? tan ?
3 1 ? tan ? 4 3 4

3 , 是第二象限的角,∴ 3 tan ? ? tan ? ? tan ? ? ? ,又∵ tan ?? ? ? ? ? ?1 5 4 1 ? tan ? tan ?

? 1 ? tan ? ? 7

9.解:由已知得: f ( 5? ) ? f (2? ? ? ) ? f (? ? ) ? f ( ? ) ? sin ? ? 3 3 3 3 3 3 2 10.解:
1 ? cos x y? ? sin x x? ? 1 ? ?1 ? 2sin 2 ? sin x 2? ? 2 ? tan x ? T ? ? ? 2? ? x x x 1 2 2sin cos cos 2 2 2 2
2

11.解:∵ ? cos ? ? sin ? ? ?

1 1 ? ?? ,又 ? ? ? 0, ? ? cos ? ? sin ? ? ? 25 25 ? 4?

∴ cos ?

? sin ? ?

1 25


2 cos ? sin ? ?
∴ sin
2

24 25

? ? cos2 ? ? ?sin? ? cos? ??sin? ? cos? ? ? ? ? sin ? ? cos ? ?
1 1 24 7 1 ? 2sin ? cos ? ? ? 1 ? ?? 5 5 25 25

1 5

??

12.解:∵f(x)=sin(2x+ ? )+ 3 cos(2 x ? ? ) ? 2 cos(2x ? ? ? 又∵f(x)在[0, ? ]上是减函数 ∴当 ?

? 是奇函数,∴f(x)=0 知 A、C 错误; )
3

?

4

2? 时 f(x)=-sin2x 成立。 3

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。

13、解:∵函数 14、解:∵

y ? a sin x ? 1 的最大值是 3,∴ 3 ? a ? 1 ? a ? 2 , ymin ? 2 ? ? ?1? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? b ∴ a 、 b 的关系是: a ⊥ b

15、∵函数 f(χ )是偶函数,且当χ <0 时,有 f(χ )=cos3χ +sin2χ ,则当χ >0 时,f(χ )的表达式为:

f ? x ? ? f ? ?x ? ? cos3? ?x ? ? sin 2 ? ?x ? ? cos3x ? sin 2x
16、解:(1) sin x ? cos x ? 2 sin ? x ? ? ? ? ? ? ? 2,2 ? 成立; ? ? ? 4? 3 ? ? (2)锐角△

ABC 中 ? ? ? ?

?
2

?? ?

?

?? ? 2 7? ? ?? ?2 ? ? ? sin ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? cos ? 成立 (3) y ? sin ? x ? ? ? ? sin ? x ? 4? ? ? ? 2 2 ? 2? ?2 ? ?3 ?3

cos

2 是偶函数成立;(4) y ? sin 2 x 的图象右移 ? 个单位为 ?? ?? ? ? x y ? sin 2 ? x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ,与 y 3 4 4? 2? ? ?

=sin(2x+

? )的图象不同;故其中正确的命题的序号是: 、 (1)(2)(3) 、 4
0 0 2sin 500 ? cos100 ? 3 sin100 2sin 500 ? 2sin 400 2sin 50 ? 2cos50 ? ? 2 cos50 2 cos50 2 cos50

三.解答题 17、解: 原式=

?

2 2 sin ? 500 ? 450 ? 2 cos 50

?

2 2 sin 950 2 2 cos 50 ? ?2 2 cos 50 2 cos 50

18、 ∵ ? ? ? ? ,? ? 且 tan ? 解:

? ?2

? ?

??

3 4

∴ sin ?

3 4 ? ? , cos ? ? ? ; ? ? ? ? ,? ? ,? ? ? 0, ? ∵ ? ? ? ? 5 5 ?2 ? ? 2?
5 13
∴ sin( ? ? ? ) ? 1 ? ? 5 ? ? ? 12 ? ? 13 ? 13 ?
2

∴ ?? ? ? ??, ? ? , ? ? ? ? ? ??,0? ?

? ?

? 2?

又∵ cos( ? ? ? ) ?

∴ sin ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? ? sin( ? ? ? ) cos ? ? cos( ? ? ? )sin ? ? ? ? ? 19、解: (1)①∵ ∴

12 ? 4 ? 5 3 63 ??? ? ? ? ? 13 ? 5 ? 13 5 65

1 2? sin 2 x ? ? 0, ∴ sin 2x? ? 0, , 2x ? ?2k?,? ? 2k? ?? k ? Z ? 1? 2
? 2?
②∵ x ? ? k? , k? ? ?

f ? x ? 定义域为 ? k? , k? ? ? ? , ? k ? Z ? ? ?

??

?

, ? , ? k ? Z ? 时, sin 2x? ? 01 2?
③设 t

?



1 ? 1? sin 2 x ? ? 0, ? ∴ log 1 ? 1 sin 2 x ? ? ?1, ? ? ? ? ? 2 ? 2? ? 2 ?2



f ? x ? 值 域 为 ?1, ?? ?

1 ? sin 2 x 2



1 ? 1? 1 ∵ 则只需取 t ? sin 2 x ,t ? ? 0, ? 的 t ? ? 0, ? 则 y ? log 1 t ; y ? log 1 t 单减 ∴为使 f ? x ? 单增, ? 2 ? 2? ? 2? ? 2 2
单减区间,∴ 2 x ? ? ? ? 2k?,? ? 2k? ? ? k ? Z ? ? ?

?2

?



f ? x ? 在 ?k? ? ? , k? ? ? ? ? k ? Z ? 上是增函数。
? ? 4 2? ?

(2)∵

f ? x ? 定义域为 ? k? , k? ? ? ? , ? k ? Z ? 不关于原点对称,∴ f ? x ? 既不是奇函数也不是偶函数。 ? ?
? 2?

(3)∵ log ? 1 sin 2 ? x ? ? ?? ? log ? 1 sin 2 x ? ∴ 1 ? 1 ? ? ?
2 ?2

?

2 ?2

?

f ? x ? 是周期函数,周期 T ? ? .

? ? x ? ?? ? sin x ? cos ?2( ? ) ? sin x ? cos ? ? x ? 20、解:∵ ? 4 2 ? ? 3 sin x ? ?2 ? ? 3 sin x ? 2sin x ? 3 sin x f ( x) ? x x 2 2 4sin x 2 4sin 4sin 2 2 2
x x x ? 4sin cos 2 2 ? 3 sin x ? cos x ? 3 sin x ? 2 sin( ? ) ? 2 6 x 2 2 2 4sin 2

x ? ? 2? x ? (k ? Z ) 时, f (x) max ? 2 . ? ) max ? 1 得 ? ? 2k? ? 即 x ? 4k? ? 2 6 2 3 2 6 2? 故 f ( x ) 取得最大值时 x 的集合为: ?x x ? 4k? ? (k ? Z )} 3 2? 21、解:(1)∵ f ? x ? ? a sin ? x ? b cos ? x ? a 2 ? b 2 sin(? x ? ? ) ,又周期 T ? ? ? ∴? ? 2 ?
∴由 sin( ∵对一切 x ? R,都有 f(x) ? f (

?
12

)?4

∴?

?

a 2 ? b2 ? 4

? ? ? ?a sin ? b cos ? 2 6 6 ?

解得: ?

? a?2 ? ?b ? 2 3 ?



f ? x ? 的解析式为 f ? x ? ? 2sin ? x ? 2 3 cos ? x
(2) ∵

g ? x? ? f (

?

?? 2? 2? ? ? ? x) ? 4sin ?2( ? x) ? ? ? 4sin(?2 x ? ) ? ?4sin(2 x ? ) 6 3? 3 3 ? 6

∴g(x)的增区间是函数 y=sin ( 2 x ? 增区间为 [ k? ?

2? ) 的减区间 3

∴由 2k? ?

?
2

? 2x ?

2? 3? 得 g(x)的 ? 2k? ? 3 2

7? 13? 5? ? , k? ? ] (k ? Z ) (等价于 [ k? ? , k? ? ]. 12 12 12 12
: ① ∵

22





?1 ? sin x ? 0 ? ?1 ? sin x ? 0



f ? x?











R





f ? ? x ? ? 1 ? sin ? ? x ? ? 1 ? sin ? ? x ? ? 1 ? sin x ? 1 ? sin x ? f ? x ? ∴f(x)为偶函数;
③ ∵f(x+ ? )=f(x), ∴f(x)是周期为 ? 的周期函数;
2 2

? ④ ∵ f ( x) ? ? sin x ? cos x ? ? ? sin x ? cos x ? ?| sin x ? cos x | ? | sin x ? cos x | ∴当 x ? [0, ] 时 ? ? ? ? 2
? 2 2? ? 2 2? 2 2 2 2

f ? x ? ? 2 cos

? x x ;当 x ? [ ,? ] 时 f ? x ? ? 2sin 2 2 2
?
2
x ] 时 f(x)= ( 1 ? sin x ? 1 ? sin x ) 2 ? 2 ? 2 | cos x | ? 2 cos ) 2

(或当 x ? [0, ∴当 x ? [0,

?

当 ] 时 f ? x ? 单减; x ? [ ,? ] 时 f ? x ? 单增; 又∵ f ? x ? 是周期为 ? 的偶函数 2 2

?

∴f(x)

的单调性为:在 [ k? ⑤ ∵当 x ? [0, 的值域为: [

?

?
2

? , k? ? ? ] 上单增,在 [ k? , k? ? ] 上单减。
2

?

? x x ] 时 f ? x ? ? 2 cos ? ? 2,? ;当 x ? [ ,? ] 时 f ? x ? ? 2sin ? ? 2,? ∴ f ? x ? 2? 2? ? 2 2 2 ? 2
⑥由以上性质可得: f ? x ? 在

2 ,2]

???,? ? 上的图象如上图所示:


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