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2017届高三第一次统一考试 文科数学参考答案


绝密★启用前

2017 届高三第一次统一考试 文科数学(新课标卷)参考答案及评分标准
符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x>2},B={x|x<2m},且 A?(? RB),那么 m 的值可以是 (A)1 2.已知复数 z ? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

2016.10

一、选择题:本

大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是

3?i ,则 z ? 1? i
(B)2 (C) 5 (D)5

3.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ? 函数 f ( x) 的一个对称中心的坐标是 ( A) (?

?

) 的最小正周期为 4? ,且 f ( ) ? 1 ,则 2 3

?

2? ,0) 3
x ?1

( B ) (?

?

? 2e ? 1 4. 设函数 f ? x ? ? ? ,则 f ? ? f ? 2 ?? ?? log , x ? 2? ? 3 ? x 2 ? 1? ? ?
(A)

3 ? x ? 2?

, 0)

( C )(

2? , 0) 3

( D )(

5? , 0) 3

2 e2

( B ) 2e 2

( C ) 2e

(D) 2

5. 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线与坐标轴交于点 M , P 为抛物线第一象限上 一点,F 为抛物线焦点, N 为 x 轴上一点, 若 ?PMF ?

?
6

,? MPN

PN π = ,则 PF 2
(D) 2

(A)

3 2

(B)

4 3

(C)

2 3

x2 y 6.一个圆经过椭圆??1的三个顶点,且圆心在x正半轴上,则该圆上的点到直线的 3y=4x+9 的最大距离是 16 4
最大距离是 高三文科数学参考答案 第
1 页

(A)

1 2

(B) 3

(C)5

(D)

11 2

7.某空间几何体的三视图如图所示(其中俯视图的弧线为四分之一圆),则该几何体的体积 为

(A) 5π

(B) 3π

(C) 5π+12

(D) 3π+12

8.在区间 ?0, 4? 上随机取两个实数 x, y ,使得 x ? 2 y ≤ 8 的概率为 (A)

1 4

(B)

3 16

(C)

9 16

(D)

3 4

9. 执行右面的程序框图,若输出的结果是

31 ,则输入的 a 为 32

(A) 6

(B) 5


(C) 4



(D) 3

高三文科数学参考答案 第

2 页

1 0 . 在 三 棱 锥P ? ABC 中 , PA?C2,AB ?

7 ,BC ? 3 ,?ABC ?

? B C , 则 三 棱 锥P ?A 2

外 接 球 的 表 面 积 为

(A) 4?

(B)

16 ? 3

(C)

32 ? 3

(D) 16?

11. 函数 f (x)=ln x+x3-8 的零点所在的区间为 ( A ) (0,1) ( B ) (1,2) ( C ) (2,3) ( D ) (3,4)

12.已 知 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 y ? f ? x ? 的 导 函 数 为 y ? f ? ? x ? ,当 x ? 0 时,

f ?? x? ?

f ? x? 1 ? 0 ,若 a ? x 2

?1? ? 1? f ? ? , b ? ?2 f ? ?2 ? , c ? ? ln ? ?2? ? 2?

? 1? f ? ln ? ,则 a, b, c 的大 ? 2?

小关系正确的是 ( A) a ? b ? c ( B) b ? c ? a (C) a ? c ? b (D) c ? a ? b

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

C

A

D

C

D

B

D

B

D

B

C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线 上.
2 13.函数 y ? lg 12 ? x ? x 的定义域是

?

?

.(用集合表示)

? x ? y ? 2 ? 0, ? 14.若 x,y 满足约束条件 ? y ? 2 ? 0, 则 ?x ? 2?2 ? ? y ? 3?2 的最小值为 ? x ? y ? 2 ? 0, ?
15.在 ?ABC 中, AB ? ( 2, 3), AC ? (1, 2) ,则 ?ABC 的面积为 16. 如果 a a +

.

??? ?

??? ?

. .

b b > a b + b a ,则 a、b 应满足的条件是
3 页

高三文科数学参考答案 第

13. x ?3 ? x ? 4

?

?

9
; . 14. 2 ; 15.

1?

3 2



16. a≥0,b≥0 且 a≠b

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?a n ?的前 n 项为和 S n ,且 a4 = 2a3 , S5 = 31. (Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)求数列 {nan } 的前 n 项和 Tn . 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公比为 q ,

4 3 ì ? ? a1q = 2a1q 依题意,得 í 2 3 4 ? ? ? ? a1(1 + q + q + q + q ) = 31

? a ? 1, 解得 ? 1 ? q ? 2,

所以 an ? 2n ?1 .

----------------------------------------------------------------------6 分
-1

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得:n an = n · 2n

∴ Tn = 1· 20 + 2· 21 +3· 22 +··· +(n-1) · 2n 2·Tn =

-2

+n· 2n

-1


-1

1· 21 +2· 22 +3· 23 + ··· + (n-1)· 2n
-1

+ n· 2n



由①-②得:-Tn = 1 + (21 +22 +23 + ··· + 2n

) - n· 2n

2(1 - 2 n - 1 ) =1 + - n· 2n 1- 2
∴ Tn = (n+1) 2n-1 ----------------------------------------------------- 12 分

高三文科数学参考答案 第

4 页

18.(本小题满分 12 分) 赤峰市面向全市招聘事业编工作人员 , 由人事、 劳动、 纪检等部门联合组织招聘考试, 招聘考试分为两个阶段: 笔试和面试.现将所有参赛选手参加笔试的成绩 (得分均为整数, 满分为 100 分)进行统计,制成如下频率分布表.

分数(分数段) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合计

频数(人数) 9 y 16 z p

频率 x 0.38 0.32 s 1

(Ⅰ)求出上表中的 x,y,z,s,p 的值; (Ⅱ)按规定,笔试成绩不低于 90 分的应聘人员可以参加面试,且面试的方式采用 单循环, 以参加面试人员胜出的场数决定是否录用 (即参加面试的所有人员中每两人必需 进行一个场次的 PK 比赛) .已知松山区有两名应聘人员取得面试资格,在所有的比赛中, 求有松山区选手参加比赛的概率. 解: (1)由题意知,参加招聘考试的人员共有 p =

16 = 50 人, 0.32

∴x =

9 = 0.18, 50

y = 50×0.38 = 19, Z = 50﹣9﹣19﹣16 = 6, S=

6 = 0.12 50

----------------------------------------------------------6 分

高三文科数学参考答案 第

5 页

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,参加面试的应聘人员共 6 人. 若参加面试的 6 人分别记为:S1 , S2 , a , b , c , d .( 其中 S1 , S2 表

示松山区的参赛选手,a , b , c , d 表示其他旗、县的选手) 则所有的比赛为: (S1 , S2 ) (S1 , a ) (S1 , d ) (a , b) (S2 , a ) ( a,c ) (S2 , b) (S1 ,b) (S1 ,c)

(S2 , c ) (S2 ,d ) ( b ,c ) (b , d )

( a ,d )

(c , d ) 共十五个场次的比赛,有松山区选手出现的比赛有 9 场. 若有松山区选手参加比赛的事件为:A 则 P(A) =

3 5

-------------------------------12 分

19.(本小题满分 12 分) 如图 , 四棱锥 P ? ABCD, 侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形 , 且与底面垂直 , 底面

ABCD是 ?ABC ? 60? 的菱形, M 为 PC 的中点.
(Ⅰ) 求证: PC ? AD ; (Ⅱ) 求点 D 到平面 PAM 的距离.
P

M

A B C

D

解:(Ⅰ)取 AD 中点 O ,连结 OP, OC , AC ,依题意可知 △ PAD ,△ ACD 均为正三角形, 所以 OC ? AD , OP ? AD , 又 OC ? OP ? O , OC ? 平面 POC , OP ? 平面 POC , 高三文科数学参考答案 第
6 页

所以 AD ? 平面 POC ,又 PC ? 平面 POC , 所以 PC ? AD . --------------------------5 分

(Ⅱ) 点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离, 由 ( Ⅰ ) 可 知 P O? A D , 又 平 面 PAD ? 平 面 A B C D , 平 面 PAD ? 平 面

ABCD ? AD , PO ? 平面 PAD ,
所以 PO ? 平面 ABCD , 即 PO 为三棱锥 P ? ACD 的体高. 在 Rt?POC 中, PO ? OC ? 3 , PC ? 在 ?PAC 中, PA ? AC ? 2 , PC ? 边 PC 上的高 AM ?

6,

6,
10 , 2

PA2 ? PM 2 ?

所以 ?PAC 的面积 S?PAC ?

1 1 10 15 , PC ? AM ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

设点 D 到平面 PAC 的距离为 h ,由 VD? PAC ? VP? ACD 得

1 1 3 S ?PAC ? h ? S ?ACD ? PO ,又 S?ACD ? ? 22 ? 3 , 3 3 4
所以 ? 解得 h ?

1 3

15 1 ?h ? ? 3? 3 , 2 3

2 15 2 15 , 所以点 D 到平面 PAM 的距离为 . -------------12 分 5 5

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的焦距为 4 ,其短轴的两个端点与长轴的一个 a 2 b2

端点构成正三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 F 为椭圆 C 的左焦点, T 为直线 x ? ?3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭 圆 C 于点 P , Q .证明: OT 平分线段 PQ (其中 O 为坐标原点).

高三文科数学参考答案 第

7 页

(Ⅰ)解:由已知可得 ?

? ?

a 2 ? b 2 ? 2b
2 2

? ?2c ? 2 a ? b ? 4



解得 a 2 ? 6 , b 2 ? 2 , 所以椭圆 C 的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1. 6 2

---------------- 5 分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得, F 的坐标是 ? ?2, 0 ? ,设 T 点的坐标为 ? ?3, m ? , 则直线 TF 的斜率 kTF ?

m?0 ? ?m . ?3 ? (?2)
1 .直线 PQ 的方程是 x ? my ? 2 . m

当 m ? 0 时,直线 PQ 的斜率 k PQ ?

当 m ? 0 时,直线 PQ 的方程是 x ? ?2 ,也符合 x ? my ? 2 的形式. 设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立, 消去 x ,得 m 2 ? 3 y 2 ? 4my ? 2 ? 0 , 其判别式 ? ? 16m 2 ? 8 m 2 ? 3 ? 0 . 所以 y1 ? y2 ?

?

?

?

?

4m ?2 , y1 y2 ? 2 , 2 m ?3 m ?3 ?12 x1 ? x2 ? m ? y1 ? y2 ? ? 4 ? 2 . m ?3

设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为 ? 所以直线 OM 的斜率 kOM ? ?

2m ? ? ?6 , 2 ?. 2 ? m ?3 m ?3?

m m ,又直线 OT 的斜率 kOT ? ? , 3 3
---------------12 分

所以点 M 在直线 OT 上,因此 OT 平分线段 PQ . 21.(本小题满分 12 分)

定义在 R 上的偶函数 f ? x ? ,当 x ? 0 时, f ? x ? ? ln x ? ax ,又 f ? x ? ? 0 恰有 5 个实数 根.

高三文科数学参考答案 第

8 页

(Ⅰ)当 a 为常数时,求 f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)当 x ? 0 时,是否存在 a ,使 y ? 存在,说明理由. 解: (Ⅰ)由题意有 当 x = 0 时, f (x) = 0 当 x < 0 时, f (x) = ln(-x) +ax

f ? x? a2 x2

的值恒小于 1.若存在,求出 a 的范围;若不

ì ? lnx - ax, x > 0 ? ? ? x = 0 ∴ f ( x) = í 0 ? ? ? ? ? ln(-x) + ax, x < 0

--------------------------------------------5 分

(Ⅱ) 当 x ? 0 时,由方程 f (x) = 0 恰有 5 个实数根, ①若 a ≤ 0,则 f ? x ? ? ln x ? ax ,

f ' ( x) =

1 - a > 0 x

函数 f ? x ? ? ln x ? ax 在(0 , + ∞ )单调递增最多有一个零点,不符合题意. ②若 a > 0, f ' ( x) =

1 - a, x 1 a
1 a , + ∞ )上单调递减.

令 f ' ( x) = 0 ,解得 x =

此时,在(0,

1 a )上单调递增;在(

若方程 f (x) = 0 恰有 5 个实数根,则在(0 , + ∞ )上必有两个根, ∴ f ( ) = ln

1 a

1 1 - 1 > 0 ,解得 0 < a < a e

由y =

f ( x) 的值恒小于 1,则 g ( x) = f ( x) - a2 x2 ? 0 恒成立 2 2 a x
1 1 - ax - 2a 2 x 2 (1 - 2ax )(1 + ax ) - a - 2a 2 x = = x x x
9 页



g '( x ) =

高三文科数学参考答案 第

则 x =

1 是函数的极大值点 2a
得a >

∴g(

1 1 1 1 ) = ln ? 0 2a 2a 2 4

e

-

3 4

2

综上

e

-

3 4

2

< a <

1 e

--------------------------------------------------- 12 分

请考生在第 22、23 两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答 时请写清题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与 参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的 长度单位相同,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2(cos ? ? sin ? ) . (Ⅰ)求 C 的直角坐标方程;

1 ? x ? t, ? 2 (Ⅱ)直线 l : ? ( t 为参数)与曲线 C 交于 A, B 两点,与 y 轴交于 E ,求 ? 3 ? y ? 1? t ? ? 2

EA ? EB .
解: (Ⅰ)由 ? ? 2 ? cos ? ? sin ? ? 得 ? ? 2 ? ? cos ? ? sin ? ? ,
2

得直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ? 2 y ,即 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2
2 2

-----------5 分

(Ⅱ)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,化简得 t 2 ? t ? 1 ? 0 ,点 E 对应 的参数 t ? 0 ,设点 A,B 对应的参数分别为 t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ? 1 , t1t2 ? ?1 , 所以 | EA | ? | EB |?| t1 | ? | t2 |?| t1 ? t2 |?

? t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ? 5 .

-------------10 分

高三文科数学参考答案 第 10 页

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2 x ?

2 ? 2 x ? m (m ? 0). m

(Ⅰ)证明: f ( x) ? 2 2 ; (Ⅱ) 若当 m ? 2 时, 关于实数 x 的不等式 f ( x) ? t 2 ? 解: (Ⅰ)证明:? m ? 0 , f ( x) ? 2 x ?

1 t 恒成立,求实数 t 的取值范围. 2

2 2 2 ? 2x ? m ? ? m ? ? m ? 2 2 m m m
-------------------------------- 5 分



2 ? m 即 m ? 2 时取“ ? ”号 m

(Ⅱ)当 m ? 2 时 f ( x) ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? ? 2 x ? 1? ? ? 2 x ? 2 ? ? 3

1 t 恒成立, 2 1 3 2 2 则只需 f ( x) min ? 3 ? t ? t ? 2t ? t ? 6 ? 0 ? ? ? t ? 2 , 2 2 3 综上所述实数 t 的取值范围是 ? ? t ? 2 . ----------------------- 10 分 2
则 f ( x)min ? 3 ,若 ?x ? R , f ( x) ? t 2 ?

高三文科数学参考答案 第 11 页


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