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排列组合




高二数学理科 2—3

班级___________姓名__________________NO.2

1.2 排列与组合
教学目标 1、 知识与技能 (1) 排列的有关概念及计算方法,并能解决一些简单应用题。 (2) 理解组合的概念,能利用计数原理推导组合数公式,并能解决简单的实际问题。 2、 过程与方法

(1) 通过实际案例介绍排列的概念 (2) 从实例引出组合的概念,并区分排列与组合。 3、 情感态度与价值观 (1) 培养一题多解和一题多变。 (2) 培养同学们的辩证唯物主义观点,坚定学好数学的信心。 教学重点 1、 排列的定义,排列数公式及其应用。 2、 组合的定义,组合数公式,组合数性质及它们的应用。 教学难点 1、应用排列的定义、排列数公式来解决一些简单实际问题。 2、应用组合的定义、组合数公式来解决一些简单实际问题。 课堂新知识 一、排列(Arrangement) 一般地,从 n 个不同元素中任取 m( n, m ? N ? 并且 m

? n )个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做

从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 注意: (1)一个排列就是完成一件事的一种方法;不同的排列就是完成一件事的不同方法。 (2)只有当元素完全相同,并且元素排列的顺序也完全相同时,才是同一个排列。 1、排列数 从 n 个不同元素中取出 m( n, m ? N ? 并且 m 取出 m 个元素的排列数,用符号 An 表示。
m 排列数公式: An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ? 1)

? n )个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同元素中

m

注意: (1) n, m ? N ? 并且 m

?n

( 2 )公式右边是 m 个由大到小排列的连续正整数之积,其中最大的因数是 n ,最小的因数是

(n ? m ? 1)
2、全排列 (1 ) 、全排列定义:一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的一个全排列。这时 在排列数公式中 m=n,则有 An (2 ) 、 n 的阶乘
n

? n ? (n ? 1) ? (n ? 2)?? 3 ? 2 ?1

我们把正整数由 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘,用 n! 表示。并规定 0! ? 1
n 全排列数的阶乘形式: An ? n!

二、组合(Combination)

排列数公式阶乘形式: An ?
m

n! (n ? m)!

一般地,从 n 个不同元素中,任意取出 m( m ? N , n ? N

?

, 并且 m ? n )个元素并成一组,叫做从 n

个不同元素中任取 m 个元素的一个组合。 注意:一个组合就是完成一件事的一种方法;不同的组合就是完成一件事的不同方法。 1

新 1、组合数

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?

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从 n 个不同元素中,任意取出 m( m ? N , n ? N

, 并且 m ? n )个元素的所有组合的个数,叫做从 n
m
m An m Am

个不同元素中,任意取出 m 个元素的组合数,用符号 Cn 表示。 排列数与组合数关系:
m m m m ,即 C n ? An ? Cn ? Am

组合数公式
m Cn ?

n(n ? 1)( n ? 2) ? (n ? m ? 1) m!

m Cn ?

n! m!(n ? m)!

n 特例:1、 Cn ?1

0 2、 Cn ?1

2、 2、组合数性质
m n?m m m m?1 1、 Cn 2、 Cn ? Cn ?1 ? Cn ? Cn

课堂巩固练习 2、 1、 一个纸箱中有大小相等质地均匀的红球、黄球、白球各一个,从这三个小球中任取两个,分别放 入甲、乙盒子里,不同的放法是_____6_______种。 2、 一个纸箱中有大小相等质地均匀的红球、黄球、白球各一个,从这三个小球中任取两个,放入同 一个小盒子里面,不同的放法是_____3_______种。 3、 4、 5、 (教科书 2—3 例题 1)从 a, b, c, d 这 4 个元素中,取出 3 个元素构成集合,可以构成集合的个 数是__个,这些集合分别是__________________________________ 从 a, b, c, d 这 4 个元素中,取出 1 个元素构成集合,可以构成集合的个数是__个,这些集合分 别是__________________________________ 从 a, b, c, d 这 4 个元素中,取出 3 个元素排在如下的表格中,可以构成的排列的个数是__个。 用树形图表示分别是_______________________________ 6、 把 a, b, c 这 3 个元素全部取出排在如下的表格中,可以构成的排列的个数是__个。用树形图表示 分别是_______________________________ 7、 (教科书 2——311 页例题 2)求证:
m m?1 m An ? mA ? An n ?1

8、平面内有 10 个点,其中任何 3 个点不共线,以其中任意 2 个点为端点的线段共有_______条,有向线 段共有__________条。 10、一个纸箱中有大小相等质地均匀的四个球,分别是红一号球,红二号球,红三号球,黑球,从中取出 两个球并成一组,则构成的组数是_______组。 11、 C9
3 2 ? C9 ? ____120_____

12、甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人不区分站的位置, 则不同的站法种数是________(用数字作答). 3 3 2 1 1 解析:当每个台阶上各站 1 人时有 A3C7种站法,当两个人站在同一个台阶上时有 C3C7C6种站法,因此不 3 3 2 1 1 同的站法种数有 A3C7+C3C7C6=210+126=336(种). 2



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巩固练习 1、2008 年北京奥运会男子百米“飞人”大决赛共有 8 名运动员参加,已知运动场有从内到外编号依次为 1,2,3,4,5,6,7,8 的 8 条跑道,若指定的 3 名运动员所在的跑道编号必须是 3 个连续数字,则参加比赛的 这 8 名运动员安排跑道的方法有__4320_种。(用数字作答) 2、用 1,4,5,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为 288,则 x 是_2___ 3、 (09 全国 I)甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各 选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有____345_______种 4、 (09 全国 II)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法 共有____30__________种 5、(1) C3n
38 ? n 3n ? C21 ? n 的值为___466____

(2) C2

2

2 2 2 2 ? C3 ? C4 ? C5 ? ? ? C100 ? _166650_______

6、男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 人,选派 5 人外出比赛,在下列情形中各有多少种 选派方法? (1)男运动员 3 名,女运动员 2 名____120______, (2)至少有 1 名女运动员____246______, (3)队长中至少有 1 人参加__196________, (4)既要有队长,又要有女运动员__191_____。 7、 (09 广东)用数字 0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为 偶数的四位数共有__324________个(用数字作答) 8、已知集合 M

? {1,?2,3} , N ? {?4,5,6,?7} ,从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样

的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是______14____个。 9、 摄影师要为 5 名学生和 2 位老师拍照, 要求排成一排, 2 位老师相邻且不排在两端, 不同的排法共有 (B) A.1440 种 B.960 种 C.720 种 D.480 种 10、用 1,2,3,4,5,6,7,8 组成没有重复数字的八位数,要求 1 与 2 相邻,3 与 4 相邻,5 与 6 相邻, 而 7 与 8 不相邻,这样的八位数共有_576___________个 11 、用 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 , 7 这七个数字构成的七位正整数中,有且仅有两个偶数数字相邻的个数是 __2880___________ 12、有 6 个座位连成一排,现有 3 人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 ( C ) A.36 种 B.48 种 C.72 种 D.96 种 13、有 6 名乒乓球运动员分别来自 3 个不同国家,每一个国家 2 人,他们排成一排,列队上场,要求同一 国家的人不能相邻,那么不同的排法有 ( D ) A、720 种 B432 种 C、360 种 D、240 种 14、某城市新建一条道路上有 12 只路灯,为节约用电,关掉其中的三只,要求不能关掉两端的两只,也 不关掉相临的两只,共有 C83 _种关法 15、某市从 8 个中学的篮球队中挑选 12 人组成该市的中学生篮球代表队,每校至少一人参加,问名额分 配方案共有__330______种 16、适合方程 x ?

y ? z ? 15 的正整数解共有_91_____种

17、有不同的书 6 本分给甲、乙、丙三人,⑴如果每人得 2 本有___90______种分法; ⑵如果甲得 1 本,乙得 2 本,丙得 3 本有__60______种分法; ⑶如果一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本,有___360______种分法; ⑷平均分成三堆,每堆 2 本,有____15_____种分法 三个学校分别有 1 名、2 名、3 名学生获奖,这 6 名学生排成一排合影,要求同校的任两名学生不能相邻, 那么不同的排法有( D ) A、36 种 B、72 种 C、108 种 D、120 种 18、利用 Cn?1
m x?1 x?1 x x ?2 m m?1 ,满足 Cx?3 ? Cx?1 ? Cx?1 ? Cx?2 成立的正整数 x=____3___________ ? Cn ? Cn

19、某城市的街道如图,某人要从 A 地前往 B 地,则路程最短的走法有____10____种。

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根据题意,要求从 A 地到 B 地路程最短,必须只向上或向右行走即可, 分析可得,需要向上走 2 次,向右 3 次,共 5 次, 从 5 次中选 3 次向右,剩下 2 次向下即可, 则有 C5 =10 种不同的走法,
3

13、5 本不同的书,全部分给四个学生,每个学生至少 1 本,不同分法的种数为 ( B A.480 ) B.240 C.120 D.96

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